Apakah rel kereta Duplo menerima terlalu banyak tegangan?

 (puzzling.stackexchange.com)
2 poin oleh GN⁺ 2023-09-07 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Rel kereta Duplo buatan anak itu tampak seperti loop tertutup, tetapi ini adalah teka-teki untuk menilai lewat syarat sudut dan posisi apakah potongannya dipasang secara paksa
  • Penilaian matematis dilakukan dengan memeriksa apakah selisih jumlah belokan kiri dan kanan pada potongan lengkung merupakan kelipatan 12, lalu menghitung apakah jumlah vektor perpindahan tiap potongan sama dengan 0
  • Solusi dengan penilaian tertinggi menghitung bahwa syarat sudut memang terpenuhi, tetapi jumlah perpindahannya 4.5 -3 -2 0.5 sehingga bukan loop tanpa tegangan
  • Agar pas dengan tepat, beberapa potongan perlu dihapus dan ditambahkan; jika hanya menambahkan satu potongan, muncul opsi memasukkan potongan lurus 2-2 setelah lengkung abu-abu pertama
  • Dalam praktiknya, untuk menilai apakah tegangannya berlebihan, bisa juga dilihat kerataan rel, tekukan dan celah pada sambungan, serta apakah kereta anjlok atau gerbong terlepas saat berjalan

Menentukan apakah rel Duplo ditutup secara paksa

  • Penanya menyukai rel kereta Duplo yang dibuat anak-anaknya, tetapi ingin memastikan apakah potongan-potongannya menerima tegangan berlebihan yang bisa menyebabkan kerusakan
  • Rel terdiri dari rel lengkung dan rel lurus
    • Perlintasan jalan pada dasarnya diperlakukan setara dengan 1 rel lurus
    • 12 rel lengkung secara alami membentuk lingkaran, tetapi jika 13 rel lengkung dipaksa menjadi lingkaran, rel bisa mengalami tegangan
  • Fokus pertanyaannya ada dua
    • Apakah ada cara cepat dan logis untuk menilai ada tidaknya tegangan
    • Jika ingin mengurangi tegangan dengan menghapus atau menambah 1 potongan, potongan dan posisi mana yang lebih baik

Syarat sudut: selisih belokan kiri dan kanan pada potongan lengkung

  • Pemeriksaan pertama adalah apakah ada ketidakcocokan sudut
  • Karena 12 potongan lengkung Duplo membentuk lingkaran penuh, selisih antara jumlah potongan lengkung kiri dan kanan harus merupakan kelipatan 12
  • Solusi dengan penilaian tertinggi melacak sudut mulai dari titik perpotongan dan bergerak berlawanan arah jarum jam, lalu menilai bahwa susunan yang diberikan memenuhi syarat ini
  • Jawaban lain juga merangkum bahwa bila hanya ada potongan lengkung, “jumlah potongan yang melengkung ke dalam - jumlah potongan yang melengkung ke luar” harus 12 agar tersambung rapi
  • Namun, syarat ini lebih dekat ke syarat perlu; meskipun terpenuhi, itu belum tentu menghasilkan susunan tanpa tegangan

Syarat posisi: jumlah vektor perpindahan harus 0

  • Pemeriksaan kedua adalah ketidakcocokan posisi, yaitu dengan menjumlahkan semua vektor perpindahan dari titik awal ke titik akhir tiap potongan dan memeriksa apakah hasilnya 0
  • Jika panjang potongan lurus ditetapkan sebagai 1, vektor potongan lurus bisa dihitung menurut arahnya
    • Potongan lurus 0-0 pada sudut 0 adalah (1, 0)
    • Potongan lurus 1-1 pada sudut 1, yaitu 30 derajat, adalah (cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2)
  • Potongan lengkung diperlakukan memiliki jari-jari dua kali panjang potongan lurus
    • Lengkung 0-1 adalah (2 sin 30°, 2(1 - cos 30°)) = (1, 2 - √3)
  • Karena koordinat untuk semua arah potongan dapat dipisahkan menjadi bagian rasional dan bagian rasional yang dikalikan √3, solusinya mengekspresikan ini sebagai daftar 4 angka untuk dijumlahkan
  • Agar loop menutup tanpa tegangan, hasil penjumlahan keempat angka dari semua potongan harus berupa empat nol

Hasil perhitungan: susunan saat ini tidak menutup dengan tepat

  • Hasil penjumlahan semua potongan pada susunan yang diberikan adalah 4.5 -3 -2 0.5
  • Jika ditulis sebagai perpindahan nyata, ini setara dengan (4.5 - 3√3, -2 + 0.5√3)
  • Karena nilainya bukan 0, susunan tersebut bukan dalam keadaan tanpa tegangan
  • Jika digambar sebagai lintasan ideal secara matematis, bentuknya bukan loop tertutup melainkan memiliki titik akhir yang bergeser
  • Jawaban tersebut merangkum bahwa loop ini tidak dapat diselesaikan dengan kombinasi kurang dari 5 potongan

Usulan perbaikan: solusi tepat dan opsi penambahan satu potongan

  • Untuk membuat solusi yang benar-benar tanpa tegangan, potongan tertentu perlu dihapus dan potongan lain ditambahkan
  • Salah satu solusi menggunakan kombinasi berikut
    • Hapus 10-9, 9-10, 5-5
    • Tambahkan 1-1, 8-8
  • Solusi itu menghitung bahwa kombinasi 3-4 3-4 1-1 8-8 11-11 mengisi perpindahan yang dibutuhkan
    • Ada 3 kombinasi lima potongan lain yang menghasilkan perpindahan sama, tetapi dianggap menimbulkan ketidakcocokan sudut karena jumlah potongan lengkung menjadi ganjil
  • Jika hanya ingin perbaikan realistis dengan mengubah satu potongan, ada opsi menambahkan potongan 2-2
    • Contoh posisinya adalah setelah lengkung abu-abu pertama
  • Pendekatan penataan yang lebih sederhana adalah menempatkan potongan lurus sebagai pasangan yang saling paralel, lalu memindahkannya ke sisi berlawanan yang berjarak 6 unit lengkung bersih

Pemeriksaan praktis cepat: kerataan, sambungan, dan pengujian nyata

  • Sebelum perhitungan matematis, tanda pertama yang bisa dilihat adalah apakah rel terletak rata
    • Loop yang dipaksakan bisa sedikit melengkung ke bentuk 3D alih-alih tetap pada bidang 2D
  • “Tegangan terlalu besar” bersifat subjektif, dan sambungan masih dapat menoleransi ketidakselarasan samping sampai tingkat tertentu serta menyebarkannya ke seluruh loop
  • Tegangan berlebihan bisa tampak pada sambungan
    • Beberapa sambungan terlihat tidak lurus dan seperti melengkung
    • Celah antar rel melebar atau bergeser bertingkat
    • Ini bisa diperiksa dengan disentuh tangan
  • Uji praktis terakhir adalah menjalankan kereta sungguhan di atasnya
    • Jika lajunya cukup mulus dan stabil, berarti rel saat ini masih mampu menahan beban tersebut
  • Jawaban lain memberi tolok ukur yang lebih bernuansa main-main: jika saat menarik 2–4 gerbong gerbongnya terlepas atau anjlok, berarti rel terlalu tegang

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2023-09-07
Komentar Hacker News

  • Saya punya pertanyaan Duplo/Lego, dan penasaran apakah ada nama untuk masalah kombinatorika yang menghitung jumlah struktur yang bisa dibuat dengan N buah Lego 1×M
    Keping yang bisa diputar bebas dianggap sebagai struktur yang sama. Misalnya, dua Lego 1×2 dianggap punya 2 susunan: kasus ketika atas-bawah terhubung oleh dua stud, dan kasus ketika terhubung oleh satu stud. Koneksi satu stud bisa berotasi bebas lebih dari 270 derajat, jadi perbedaan stud kiri/kanan menjadi struktur yang sama jika simetri rotasi diperhitungkan
    Asumsikan Lego “ideal” dengan toleransi manufaktur 0, dan teknik perakitan ilegal tidak diizinkan. Saya juga penasaran apakah masalah ini terdefinisi dengan baik, apakah ada solusi bentuk tertutup, atau apakah ada program generatornya
    Jika N sudah cukup besar, derajat kebebasan rotasi bisa membuat struktur tambahan yang tersembunyi pada arah rotasi lain, jadi generatornya tampaknya akan menjadi sangat rumit

  • Saya sering membahas pertanyaan serupa dengan seorang teman: jika ada satu set rel kereta Duplo melengkung yang tetap, berapa banyak tata letak rel loop tertutup berbeda yang bisa dibuat
    Bagian lurus umumnya bisa diabaikan, karena bisa ditambahkan berpasangan di kedua sisi loop paralel. Namun ada juga bentuk segitiga menarik yang mematahkan pola itu
    Teman saya bahkan membuat program untuk benar-benar mencari solusinya, dan secara umum program itu berjalan baik serta menghasilkan tata letak yang menarik. Ia akhirnya tidak sempat menambahkan wesel
    Sering kali sulit menentukan apakah dua tata letak rel itu sama, sehingga akhirnya mengarah ke matematika masalah kalung: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_problem

  • Sebagai insinyur mesin berlisensi, secara ketat rel itu bukan sedang mengalami “tarikan”. Rel itu mengalami pembengkokan, yang merupakan gabungan tarik dan tekan
    Kalau perlu penjelasan lebih lanjut, saya bisa melanjutkannya

    • Saya membacanya sebagai “binding”, yaitu sambungan di antara keping mengalami tegangan dan menyalurkan gaya
    • Kalau begitu, bisakah kamu menggambar diagram momen lentur untuk lintasan itu? :D

  • Pengantar mendalam tentang rel Duplo di situs tertaut lebih menarik
    https://www.cailliau.org/Alphabetical/L/Lego/Duplo/Train/Rai...
    Saat kecil saya punya rel Duplo hitam “baru” dan “lama”. Bahkan ketika berusia empat tahun, saya ingat rel hitam lama itu merepotkan dan saya jauh lebih suka yang baru

    • Apakah itu tautan yang dikirim pengguna Weathervane? Saya penasaran kenapa komentar lainnya semuanya berupa string yang tidak bisa dibaca
      Semacam “gjryir frpgvbaf qb abg znxr na rknpg pvepyr, gurer vf n fznyy bireync, naq fb znxr n pv”

  • Saya punya anak berusia lima tahun, jadi sering merakit jalur kereta kayu BRIO dalam berbagai konfigurasi.
    Saat anak saya memperpanjang rel, biasanya saya diam-diam merapikan tata letaknya beberapa langkah di belakang agar tidak terlalu terkekang. Ini sederhana, tetapi menjadi pemecahan masalah yang cukup menyenangkan, dan saya senang bisa menghabiskan waktu bersama anak.

    • Hal yang bagus dari rel BRIO adalah tidak membuat rumah terlihat berantakan seperti set rel plastik lain.
      Tampilannya bagus dan enak dipegang. Keretanya lambat tetapi torsinya tinggi, sehingga memberi semacam “kesan bermassa” pada pengalaman bermain. Berbeda dari banyak mainan remote control yang, dibanding ukurannya, melaju terlalu cepat lalu tersendat di karpet atau ambang.
    • Saya juga begitu. Anak saya dan teman-temannya suka membuat jalur kereta melingkar yang besar.
      Saya juga suka, tetapi saya sedikit lebih bisa melihat di mana tegangan muncul dibanding anak-anak, jadi saya berusaha memperbaiki bagian-bagian itu.
    • Rel BRIO dirancang dengan baik sehingga bisa dikombinasikan dalam sangat banyak cara, termasuk dengan wesel dan sebagainya, tetapi celah yang biasanya muncul dapat ditutup dengan tepat oleh salah satu rel lurus yang lebih pendek.
      Artinya, jumlah variasi panjang rel lurus yang dibutuhkan dalam keseluruhan sistem hanya sejumlah kecil bilangan bulat. Sebaliknya, TrackMaster membutuhkan jauh lebih banyak.
    • Saya baru mulai perjalanan BRIO. Belum membeli setnya, dan masih tergila-gila pada Magnatiles.
      Saya penasaran apakah ada yang pernah melakukan milling sendiri untuk rel BRIO. Mungkin untuk membuat bentuk-bentuk aneh yang tidak bisa dibuat dengan komponen standar.
      Saya pernah membuat satu kendaraan pisang yang kompatibel dengan rel BRIO, tetapi belum mencoba membuat relnya.

  • Analisis matematisnya mungkin bisa lebih sederhana. Anggap setiap potongan rel sebagai vektor 2D lalu jumlahkan semuanya. Pada tata letak tanpa tegangan, jumlahnya menjadi (0, 0).
    Sebagai ukuran tegangan, kita bisa mengasumsikan ketidakcocokan posisi tersebar merata dan memodelkannya sebagai rata-rata semua vektor. Jadi untuk perpindahan yang sama, makin sedikit jumlah potongannya, makin besar maknanya.
    Ini mungkin terlihat seperti mengabaikan rotasi, tetapi sebenarnya rotasi sudah tercakup. Sebab vektor efektif suatu potongan rel merepresentasikan arah saat ini sekaligus perpindahan yang ditambahkan potongan itu. Jika dimodelkan dalam kode, kursornya memiliki sudut arah dan posisi (x, y).
    Matematika terkaitnya adalah fakta bahwa jumlah sudut luar poligon adalah 360 derajat, sehingga seberapa jauh penyimpangannya dari 360 derajat bisa dijadikan ukuran lain. Dalam kasus ini tidak berguna, tetapi saya juga teringat winding number dalam analisis kompleks: cara memahami, dengan berjalan lokal mengikuti kurva, sisi mana yang “di dalam” dan berapa kali kurva melilit suatu titik.

    • Saya tidak punya dasar kuantitatif, tetapi secara keseluruhan, meski tegangan bersihnya nol, rasanya tegangan lokal masih bisa tersisa di suatu tempat.
      Bisa saja dibuat bentuk yang sedikit berpotongan dengan dirinya sendiri lalu bagian itu didorong ke kondisi tegang, sementara bagian pelengkapnya dijumlahkan sebagai negatif dari bagian pertama tetapi tidak memiliki perpotongan diri.
    • Jika ide sudut poligon diperluas, rel-rel ini tampaknya masing-masing memiliki tekukan sekitar 30 derajat.
      Jadi jumlah rel yang berbelok ke kanan harus 360/30 = 12 lebih banyak daripada yang ke kiri, atau sebaliknya. Memang harus dihitung, tetapi saat mengikuti rel, orang bisa cepat terbiasa menambahkan +1 atau -1. Jika di akhir hasilnya 12, itu sempurna, dan jarak dari 12 menjadi estimasi tegangannya.
    • Apa bedanya itu dengan solusi yang ada di halaman?

  • Forum StackExchange lain memang bagus. Pertanyaan seperti ini dan jawaban yang muncul di sana luar biasa.
    Selama beberapa tahun, saya melihat diskusi keren di bidang penerbangan, pengalaman pengguna, dan matematika, dengan banyak wawasan menarik dalam jawaban panjang yang terperinci. Beberapa jam lalu juga ada tulisan Latin yang muncul di HN.
    Namun setidaknya bagi saya, Stack Overflow tidak lagi seperti itu. Dulu saya bertanya dan menjawab di sana, tetapi ada yang berubah. Rasanya sudah diambil alih moderator yang terlalu cerewet, dan sekarang saya hampir tidak ikut berpartisipasi lagi.

  • Saya memahami titik lemah yang berbahaya adalah bagian leher pin sambungan pada salah satu rel yang terhubung.
    Pada Duplo, kedua sisi tautan memiliki pin kunci dan lubang. Dalam kondisi sangat tidak sejajar, salah satu sisi kunci bisa menerima tekanan lateral tambahan sehingga berubah bentuk atau patah.
    Namun tegangan parah seperti ini kemungkinan besar muncul saat seseorang memaksa menyambungkan atau mengunci sambungan terakhir. Anak bisa mencobanya ketika orang tua tidak mengawasi apakah rakitan itu memungkinkan. Saat orang tua menyadarinya, mungkin sudah terlambat, atau sudah berhasil sehingga tidak perlu diperbaiki lagi.
    Jika leher kuncinya patah, berarti memang sudah takdirnya begitu. Bukan masalah besar. Kunci kedua masih menjaga sambungannya. Hanya saja, jika tidak diambil pelajaran, bagian itu akan menjadi mata rantai yang lebih lemah.
    Kalau entah bagaimana berhasil dipaksakan menjadi loop, bagus, jalankan saja lokomotifnya. Jika gerbong kereta tidak terguling di celah yang terpaksa terbuka atau bagian yang terpuntir, lanjutkan saja; kalau tidak, sesuaikan atau buat ulang.

  • Saat kecil, saya menghitung sambil mengikuti rel. Mulai dari 0, jika rel berbelok ke kiri saya menambahkan 1, dan jika berbelok ke kanan saya menguranginya 1.
    Jawabannya harus berupa nilai seperti ±12, ±24. Karena 12 potong membentuk satu lingkaran.

    • Bisa jelaskan kenapa itu benar seolah-olah menjelaskannya kepada anak lima tahun?

  • Rasanya tegangan bisa diperiksa dengan memutus loop lalu melihat offset antara potongan awal dan potongan akhir. Asumsinya, gesekan permukaan cukup rendah sehingga potongan-potongannya bisa bergerak.
    Sebagai solusi teka-teki, tetapkan offset ujung dan sudut sambungan ke potongan berikutnya untuk tiap jenis potongan, mulai dari koordinat (0, 0), telusuri potongan-potongannya sambil memperbarui posisi potongan terakhir, lalu periksa offset antara potongan awal dan akhir.
    Hasilnya akan terlihat seperti gambar pada jawaban. Namun memperbarui rel agar offset-nya minimum lebih sulit.

    • Mengenai syarat “jika gesekan permukaan cukup rendah”, dari pengalaman membuat tata letak rel yang sampai menempati sebagian besar lantai satu rumah kami, jika bagian yang tegang dibuka lalu seluruh rel digoyang sedikit maju-mundur, bahkan di lantai kayu keras pun rel cenderung menetap ke kondisi yang lebih rileks.
      Pada titik itu, potongan terkait bisa disesuaikan, dan celah yang sering kali menjadi lebih besar dapat ditutup. Tata letaknya seperti adegan kejar-kejaran kereta dalam Wallace and Gromit: The Wrong Trousers.
    • Untuk rel sebesar itu, rasanya gesekan permukaan tidak akan cukup rendah hingga seluruhnya bisa menyelaraskan ulang sendiri.
      Jika ada tegangan, ujung rel di dekat bagian yang diputus akan terbuka, tetapi sulit membayangkan seluruhnya ikut bergerak.
    • Benar. Di pertanyaannya juga disebutkan bahwa itu bisa dilakukan.
      “Saya tahu kita bisa melepas satu potong lalu memasangnya kembali dan merasakannya langsung”
    • Jadi perlu dirakit di atas meja air hockey?
      Merakitnya di lantai yang licin dan rata lalu menaburkan bubuk shuffleboard juga sepertinya bisa.