Teori Galois
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster membuka materi Teori Galois yang digunakan dalam kuliah sarjana di Edinburgh pada 2021~2023 melalui arXiv dan situs web
- Materi tersebut terdiri dari catatan kuliah, sekitar 40 video penjelasan singkat, soal latihan, dan hampir 500 soal pilihan ganda sehingga juga bisa dimanfaatkan sebagai bahan belajar mandiri
- Catatan ini tampaknya mendapat perhatian lebih besar dibanding materi Fourier analysis, general topology, linear algebra, dan category theory yang sebelumnya ia publikasikan, dengan catatan category theory sebagai kasus pengecualian yang juga diterbitkan menjadi buku
- Kuliah pertama berlangsung saat lockdown penuh Covid, sehingga interaksi tatap muka sulit dilakukan dan karena itu dibutuhkan panduan serta susunan materi yang lebih cermat dari biasanya
- Selain kelengkapan isinya, susunan visual seperti warna dan ikon kecil tampaknya juga menjadi faktor yang meningkatkan aksesibilitas, dan catatan, video, serta soalnya tetap menjadi materi terbuka yang berguna bagi pembelajar
Materi kuliah Teori Galois Edinburgh dibuka untuk umum
- Tom Leinster mengunggah catatan kuliah sarjana Galois theory di Edinburgh ke arXiv
- Kuliah tersebut berlangsung dari 2021 hingga 2023
- Catatan itu sebelumnya sudah dibagikan di situs web, tetapi pendaftaran ke arXiv ditunda agar bisa dirilis bersama sebagian besar materi kuliah lainnya
- Materi yang dibuka dapat dilihat di Galois theory course materials
- Catatan kuliah yang lengkap dan berdiri sendiri
- Sekitar 40 video penjelasan singkat
- Banyak soal latihan
- Hampir 500 soal pilihan ganda
Perbedaan dengan materi yang pernah dibuka sebelumnya
- Leinster juga pernah membuka berbagai catatan kuliah di masa lalu
- Catatan teori Galois tampaknya mendapat perhatian yang lebih besar dibandingkan semuanya
- Sebagai pengecualian, catatan category theory juga dibuat menjadi buku
Susunan yang cermat karena situasi lockdown
- Kuliah pertama berlangsung saat lockdown penuh Covid
- Mahasiswa kehilangan kesempatan untuk berinteraksi tatap muka
- Leinster menilai para mahasiswa memerlukan lebih banyak panduan daripada biasanya
- Alasan catatan ini mendapat perhatian mungkin bukan hanya karena susunan isinya yang cermat, tetapi juga tampilannya yang enak dilihat
- Warna
- Ikon kecil
- Susunan visual secara keseluruhan yang lebih mudah dibaca
Tujuan materi terbuka ini
- Leinster berharap catatan, video, dan soal yang dibuka untuk umum ini dapat memberi orang-orang kesenangan
1 komentar
Komentar Hacker News
Saya mengambil jurusan teknik elektro, tetapi mempelajari teori Galois di universitas, dan kebetulan mengikutinya di Edinburgh. Saat tahun ke-4, saya memilih Advanced Mathematics semacam sebagai laku tirakat; jumlah peserta kuliahnya sangat sedikit, dan diajar oleh “matematikawan sungguhan” yang setiap hari datang dari departemen matematika.
Saya memang mendapat banyak pendidikan matematika, tetapi rasanya hanya saat itulah saya diajar langsung oleh orang yang menciptakan matematika baru dan menulis makalah. Ia mengajarkan teori Galois dengan aplikasi teori kode sebagai contoh, dan jujur saja saya menganggapnya titik balik dalam hidup saya.
Saya tidak pernah lagi memikirkan konstruksi heptagon beraturan, dan jelas jadi menghindari duel serta Montparnasse. Di luar lelucon, rasanya seperti lampu menyala di kepala, dan belakangan sangat membantu karier saya ketika bertemu orang-orang yang ingin terlihat pintar dengan mengaku paham ECC atau ZKP. Ini benar-benar kebalikan dari orang-orang yang berkata “saya tidak pernah memakai apa pun yang saya pelajari di universitas”.
Buku Ian Stewart sangat bagus untuk belajar mandiri, dan juga memuat latar sejarah yang menarik.
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Menjelang akhir tahun ini, mungkin sekitar musim dingin, kalau progresnya lancar saya berencana mengadakan pertemuan klub buku dengan buku ini. Kalau ada yang ingin membaca buku seperti ini bersama-sama dan berbagi progres, saya ingin mengundang mereka ke kanal #bitwise di IRC dan Matrix. Kedua kanal itu di-bridge, jadi bisa masuk dari salah satu sisi.
Di kanal ini ada pengguna HN serta pengguna dari kanal lain seperti ##math, ##physics, dan #cs; ini adalah ruang online untuk berbagi progres dan isi buku-buku matematika serta komputasi yang sedang dibaca.
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
Cara teori ini diajarkan sekarang sering kali sudah direkonstruksi melalui perkembangan cara berpikir dan notasi matematika, jadi membaca makalah aslinya dari sebelum itu juga sangat menarik. Untuk tujuan seperti itu, saya sangat merekomendasikan The mathematical writings of Evariste Galois karya Peter Neumann (https://ems.press/books/hem/102). Teks asli bahasa Prancis dan terjemahan harfiah bahasa Inggris disajikan berdampingan, dengan catatan yang menjelaskan konteks dan kemungkinan alur pemikirannya. Karena saat itu saya sedang belajar bahasa Prancis, membaca lebih banyak bahasa Prancis juga terasa menyenangkan.
Bab 1 sangat bagus
Selama bertahun-tahun saya terus mengatakan bahwa kuliah matematika membutuhkan lebih banyak konteks. Kita bisa membuktikan X, Y, Z, dan mata kuliah ini mengajarkan itu, tetapi masalah motivasi yang membuat kita ingin bisa melakukan X, Y, Z hanya dibahas sepintas
Setelah memecahkan sesuatu, kita bisa membangunnya kembali dalam bentuk yang lebih umum, dan rekonstruksi itu sendiri menjadi sebuah objek. Cara kemajuan seperti ini memang luar biasa, tetapi untuk tujuan pendidikan, hal itu jauh lebih melekat di kepala orang ketika yang diajarkan bukan hanya tujuan akhirnya, melainkan juga perjalanannya. Saat mengajar Kalkulus I, memasukkan masalah apa yang ingin diselesaikan Newton dan mengapa ia melakukannya bisa membuat mahasiswa jauh lebih tertarik. Karena ada cerita yang bisa diikuti dan alasan untuk belajar
Pujian untuk penulis Bab 1. Bagian lainnya mungkin juga bagus, tetapi saat ini saya baru sempat menelusuri Bab 1 saja. Menurut saya ini berlaku bukan hanya untuk matematika, tetapi juga hampir semua mata pelajaran
Saat kuliah S1 saya bekerja di lembaga tutoring matematika, dan kelas kalkulus dibagi menjadi untuk teknik/sains dan untuk bisnis/ekonomi. Jika mekanika Newton menarik atau relevan dengan jurusan, pendekatan seperti itu sangat bagus, tetapi saya sering melihat mahasiswa dari jurusan seperti biologi atau teknik industri justru lebih kesulitan karena aplikasi fisika di buku ajar
Mahasiswa datang dengan satu masalah, yaitu “kalkulus itu sulit”, lalu tiba-tiba untuk memahami kalkulus mereka jadi punya dua masalah karena juga harus memahami fisika. Ada mahasiswa yang sebenarnya bisa melakukan diferensiasi dan integrasi dengan baik, tetapi tersendat ketika soal fisika ikut masuk. Kemampuan menerjemahkan masalah nyata ke matematika memang penting, tetapi jika bidang tertentu yang tidak diminati ikut masuk, itu menjadi hambatan yang lebih besar
Mahasiswa bisnis juga serupa. Karena sebagian besar tutor berlatar teknik, mereka kesulitan membantu mahasiswa bisnis yang memakai buku ajar penuh contoh yang membutuhkan pengetahuan dasar keuangan. Besaran finansial sering kali tidak kontinu melainkan diskret, sehingga kebingungan para tutor makin besar
Jika bisa menemukan aplikasi yang diminati mahasiswa, tentu saja pendekatan itu sebaiknya dipakai. Namun dalam buku ajar umum, pemilihan aplikasi tertentu menghambat pembelajaran banyak mahasiswa yang tidak tertarik pada aplikasi itu
Jika kita mempelajari bagaimana matematika berkembang seiring waktu dan bagaimana orang-orang dahulu menyelesaikan masalah penting, apakah itu membantu saat menyelesaikan masalah lain pada masa kini? Beberapa tahun lalu saya membeli set 3 jilid Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, tetapi belum sempat melewati beberapa bab awal. Kalau ada rekomendasi karya besar sejarah matematika semacam itu, saya tertarik
Anehnya, setelah membaca Everything and More karya David Foster Wallace, saya jadi jauh lebih memahaminya. Karena buku itu menjelaskan paradoks dan jalan buntu yang dihadapi para matematikawan sebelum Cauchy dan lainnya membuat masalahnya menjadi rigor. Wallace adalah novelis postmodern, dan saya tidak tahu mengapa ia bisa menjelaskan ketakhinggaan dengan begitu jelas. Saya tidak bisa menikmati karya-karyanya yang lain
Dengan cara berpikir programmer, baik menyelesaikan t^3 = 2 maupun menyelesaikan t^100 + t + 1 = 7 secara numerik, keduanya harus memakai metode iteratif seperti metode Newton. Argumen bahwa “ada tombol akar pangkat n” bukanlah alasan. Karena bisa saja kita memasukkan tombol Newton yang lebih umum
Keduanya tidak terlihat berbeda secara fundamental. Mengapa penting bahwa sesuatu bisa diselesaikan dengan radikal? Rasanya sama arbitrernya seperti menanyakan apakah bisa diselesaikan tanpa memakai angka 2. Saya rasa saya akan lebih tertarik pada makna keterpecahan lain seperti metode iteratif, metode Newton, dan konvergensi kuadratik
Saya juga pernah berbicara dengan mahasiswa dari beberapa kampus lain, dan mereka punya pengalaman serupa. Saat itu tidak ada yang menyukainya. Profesor saya memakai setidaknya dua jam kuliah hanya untuk menuliskan sejarah di papan, dan kami cukup bosan. Namun, kami mahasiswa pascasarjana matematika, jadi memang tidak butuh motivasi
Menurut saya teori Galois adalah penjelasan sekaligus puncak matematika teoretis yang motivasi dan isinya bisa dibicarakan bahkan di meja makan dengan orang-orang yang tidak menyukai matematika
Jika dimulai dari rumus akar persamaan kuadrat, hampir semua orang mengingat sesuatu. Kita bisa membicarakan penyelesaian x dalam polinomial, lalu beralih ke apakah x selalu bisa diselesaikan, dan apa artinya. Jika polinomial digambar sebagai grafik, ia melintasi sumbu x sehingga ada solusi, tetapi apakah itu berarti bisa diselesaikan dengan rumus yang terdiri dari koefisien-koefisiennya? Ini mengisyaratkan teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial derajat n memiliki n solusi di bilangan kompleks
Memang agak sulit menjelaskan penyelesaian dengan radikal, dan bagaimana itu terkait dengan makna memiliki rumus x dalam koefisien polinomial
Kesimpulannya, untuk polinomial umum berderajat 5 atau lebih, tidak ada rumus x yang dinyatakan dengan koefisien dan hanya menggunakan empat operasi aritmetika serta ekstraksi radikal. Teori Galois membuktikan hal ini
Alasan Galois mendapat pengakuan atas ini adalah karena dibutuhkan imajinasi luar biasa untuk memikirkan bagaimana merumuskan dan membuktikan bahwa “tidak ada rumus”. Apa arti tidak adanya rumus, serta bagaimana menyusunnya dan membuktikannya dengan benar, itulah intinya
Teori Galois memberi jauh lebih banyak wawasan, dan membuat kita memahami antara lain mengapa beberapa persamaan derajat 5 dapat diselesaikan dengan radikal. Namun Galois tidak seharusnya mendapat kredit atas pembuktian ketiadaan rumus derajat 5. Setidaknya ia bukan yang pertama
Dalam kelas aljabar abstrak di universitas, teori Galois selalu saya ingat seperti bagian penutup. Galois adalah otak matematika yang luar biasa, dan saya penasaran kontribusi apa lagi yang mungkin ia berikan jika tidak mati dalam duel pada usia 20 tahun
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Beberapa tahun lalu, saya pernah memimpin grup belajar menggunakan A Book of Abstract Algebra karya Charles C. Pinter. Bagian akhirnya mengarah ke teori Galois, dan itu salah satu buku terbaik yang pernah saya pakai dalam grup belajar matematika
Saya juga ingat bagian terkait Galois di bagian belakang buku. Ada bagian menarik tentang sejarah penyelesaian akar persamaan polinomial, terutama sejarah penyelesaian persamaan berderajat sembarang
Dari sudut pandang orang yang bukan jurusan matematika, saya penasaran apakah artikel Simple Wikipedia ini kurang lebih benar. Sebagai engineer yang rendah hati, saya selalu melihat teori Galois dalam daftar kuliah matematika dan penasaran apa itu
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Wawasan cemerlang yang ditemukan Galois adalah keterhubungan fundamental antara field dan grup, tetapi itu lebih mirip “teknik” untuk memecahkan masalah. “Mengapa repot-repot melakukan itu” sedikit lebih rumit, tetapi sederhananya Galois ingin menetapkan kriteria untuk menentukan apakah suatu polinomial dapat atau tidak dapat diselesaikan dalam suatu field
Misalnya, kita tahu x^2 = -1 dapat diselesaikan di bilangan kompleks C dengan x = i, tetapi tidak dapat diselesaikan di bilangan real. Pertanyaannya adalah apakah bukti semacam ini bisa digeneralisasi hingga dapat dijalankan secara mekanis untuk field sembarang dan polinomial sembarang
Saya mencoba memotivasi pertanyaan-pertanyaan yang mengarah ke teori Galois dengan cara yang lebih realistis dan dapat diakses programmer serta engineer di https://news.ycombinator.com/item?id=41258726
Pada semester kedua aljabar saya ada unit teori Galois, tetapi saat itu terasa seperti omong kosong abstrak dan saya tidak memahaminya. Saya ingin mengikuti materi ini untuk melihat apakah perspektif saya sekarang sudah berubah
Motivasi utama teori Galois adalah membuktikan ketidakmungkinan solusi umum persamaan derajat 5. Rumus umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 sudah diketahui selama ribuan tahun, dan setelah banyak usaha para matematikawan juga menemukan rumus untuk polinomial derajat 3 dan 4. Namun, tidak ada yang berhasil menemukan solusi bentuk tertutup untuk derajat 5
Galois dan Abel akhirnya membuktikan bahwa rumus derajat 5 tidak ada. Setidaknya, tidak dapat diekspresikan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar. Misalnya, kita dapat mengidentifikasi persamaan konkret seperti x^5 - x + 1 yang akarnya tidak dapat diekspresikan dalam bentuk seperti itu
Saya mengikuti satu kelas penuh yang membahas bukti ini, dan sebenarnya sangat menarik. Teori ini membangun korespondensi mendalam antara grup dan field, sampai-sampai teori tentang grup dapat dipindahkan menjadi teori tentang field, dan sebaliknya. Ini juga menyediakan alat yang sangat kuat untuk menganalisis simetri
Bukti sebenarnya justru terasa hampir antiklimaks. Setelah menumpuk banyak bukti mendalam tentang struktur akar persamaan polinomial, pada akhirnya kita melihat bahwa struktur simetri polinomial derajat 5 tertentu seperti x^5 - x + 1 tidak cocok dengan simetri yang dimiliki operasi matematika dasar. Secara harfiah, field dari solusi polinomial tersebut tidak berkorelasi dengan grup yang dapat diselesaikan: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Dengan alur yang hampir sama, kita juga membuktikan bahwa membagi tiga sudut hanya dengan jangka dan penggaris itu mustahil. Ini adalah masalah yang menghantui matematikawan selama ribuan tahun. Agak mengecewakan, setelah satu semester penuh mendefinisikan “omong kosong abstrak” seperti grup, field, dan perluasan field, bukti ketidakmungkinan solusi umum derajat 5 hanya memakan waktu 10 menit, dan bukti ketidakmungkinan triseksi sudut juga demikian
Ada beberapa titik menarik ketika teori Galois bersinggungan dengan compiler dan pemrograman
Interpretasi abstrak memetakan kumpulan perilaku program yang berpotensi tak hingga ke model yang lebih sederhana, sering kali hingga, diaproksimasi secara sound, dan lebih mudah untuk ditalar. Di sini digunakan koneksi Galois, yang dapat dianalogikan dengan teori Galois yang menghubungkan field tak hingga dan grup hingga. Saya sering memikirkan hal seperti ini saat mengerjakan value numbering
Selain itu, meski mungkin analoginya agak dipaksakan, menarik juga memikirkan perluasan domain komputasi seperti integer dengan nilai tambahan seperti nilai error sebagai semacam perluasan field. Seperti dalam perluasan field, terkadang muncul kompleksitas yang tidak terduga. Misalnya hilangnya faktorisasi unik, poison dan undef di LLVM, serta NaN
Pada intinya, ia memungkinkan kita mengaproksimasi secara sound himpunan state yang dapat dicapai dalam program, sehingga kita dapat memeriksa apakah state buruk tidak dapat dicapai, atau menentukan apakah suatu pemeriksaan tidak berguna dan dapat dihapus. Aplikasi lain adalah borrow checker baru Rust, yang berbasis pada beberapa pass data flow untuk menentukan variabel mana yang hidup dan dipinjam di setiap titik program
Terkait pernyataan “tidak ada cara untuk membedakan i dan -i”, sampai sekarang pun saya masih tidak tahu bagaimana membedakan sistem koordinat tangan kiri dan sistem koordinat tangan kanan secara murni aljabar
Apakah basis [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] itu kidal atau tangan kanan? Tanpa gambar, saya tidak tahu. Penasaran apakah ada yang tahu
“Kiri” dan “kanan” adalah pasangan dipol. Yang satu tidak bisa ada tanpa yang lain, dan keduanya simetris. Ini persoalan yang sama dengan konjugat yang dibahas dalam teori Galois
Sebenarnya dari sudut pandang aljabar, yaitu bukan sudut pandang urutan, aritmetika, atau analisis, menandai konjugat dari ekstensi field seperti sqrt2 atau i dengan + dan - itu sendiri bisa menimbulkan salah paham. Untuk pasangan konjugat seperti ini, Left dan Right adalah nama yang lebih baik daripada + dan -. Penggunaan + dan - baru bermakna ketika kita memberi urutan aritmetis. Misalnya, ketika x adalah bilangan real positif, kita bisa mengatakan -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x)
Jika x adalah bilangan real negatif, masalah dengan - langsung terlihat. -i dan i tidak bisa dipisahkan berdasarkan urutan terhadap 0
Bilangan kompleks pada dasarnya adalah teori ruang 2 dimensi. Pertanyaannya menyangkut ruang 3 dimensi. Kalimat yang dikutip memberi tahu bahwa secara teoretis kita tidak bisa membedakan atas dan bawah
Di dalam setiap ruang 3 dimensi terdapat ruang 2 dimensi. Ada banyak cara untuk melihatnya, tetapi yang paling mudah adalah membuang koordinat z
Jika kita mengasumsikan bahwa di ruang 3 dimensi kita bisa membedakan kidal dan tangan kanan, maka akan muncul cara untuk membedakan atas dan bawah di ruang 2 dimensi yang terkandung di dalamnya. Namun karena di ruang 2 dimensi pembedaan itu tidak bisa dilakukan, maka di 3 dimensi pun kita tidak bisa membedakan kidal dan tangan kanan