n-bola di antara n-bola

• Arnaldur memperkenalkan situs ini sebagai tempat tinggalnya di internet, dan menyebut dirinya sebagai Computer Scientist
• Saat ini ia bekerja sebagai konsultan pengembangan perangkat lunak, dan dapat dihubungi melalui email
• Di situs ini, Anda dapat membaca beberapa tulisan yang dibuat oleh Arnaldur
• Situs web ini dibuat sendiri dengan SolidStart dan dirender secara statis
• Untuk deployment dan styling, ia menggunakan AWS·SST·matcha.css, dan ada easter egg yang tersembunyi di suatu tempat di situs ini

---

Arnaldur dan kontak

• Arnaldur memperkenalkan dirinya sebagai Computer Scientist
• Situs web ini berperan sebagai tempat tinggal Arnaldur di internet
• Di situs ini ada beberapa tulisan yang bisa dibaca
• Saat ini ia bekerja sebagai konsultan pengembangan perangkat lunak
• Ia menyediakan email [e-mail] sebagai kontak

Cara implementasi situs web

• Membuat situs web dari awal menggunakan SolidStart
• Situs disajikan dengan metode rendering statis
• Hosting dilakukan di AWS, dengan bantuan SST
• Menggunakan matcha.css sebagai dasar styling
• Ada easter egg yang tersembunyi di suatu tempat di situs ini

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Daripada menganggap bola menjadi “runcing” di dimensi tinggi, lebih baik melihatnya bahwa kotaknya sendiri yang menjadi runcing
  Seperti yang dikatakan di tulisan itu, bola menurut definisi selalu sepenuhnya simetris
  Sebaliknya, kotak menjadi berbentuk seperti caltrop; titik-titik sudutnya makin jauh dari titik asal sejauh akar kuadrat dari jumlah dimensi, sementara pusat tiap sisinya tetap persis di ±1
  2^N bola di sekelilingnya juga menjauh dari titik asal, tetapi radiusnya tetap 1/2, sehingga mudah membayangkan bola di tengah memperoleh makin banyak ruang hingga akhirnya tumbuh keluar dari kotak runcing itu
  • Dalam cara lain memikirkan bola berdimensi tinggi, keruncingan justru menjadi visualisasi yang tepat
    Misalnya, jika kita menaruh sebuah bidang pada jarak 90% dari pusat bola ke batasnya, lalu melihat berapa persen volume yang berada “di luar” bidang itu, di dimensi tinggi volume tersebut menjadi sangat kecil hingga dapat diabaikan
    Jika dimensinya benar-benar tinggi, bahkan potongan yang cukup dekat ke pusat pun hanya memangkas volume yang sangat kecil, dan di dunia 3 dimensi, bentuk yang paling mendekati sifat ini adalah bentuk seperti duri
    Makna bahwa bola berdimensi tinggi tidak runcing terletak pada simetri dan kehalusannya
    Jadi untuk membangun intuisi tentang bola berdimensi tinggi, kita harus membayangkannya sekaligus simetris, halus, dan runcing
    Setelah itu, pikirkan lima hal mustahil lagi, barulah bisa sarapan
  • Tepat itulah intinya: sudut persegi menempati 1/4 dari bagian bidang yang bersesuaian, sudut kubus menempati 1/8, dan sudut hiperkubus berdimensi n hanya menempati 1/(2^n) dari ruang
    Namun setiap sisi, bidang, atau hiperbidang sekadar membagi bidang, ruang, atau ruang berdimensi n menjadi dua
  • Dalam arti tertentu, di ruang Euklides berdimensi n, bola adalah objek yang lebih alami daripada kubus
    Begitu jarak diperkenalkan, kubus menjadi konstruksi buatan
    Meski di ruang hasil kali sederhana ia memang elemen yang alami
  • Teks aslinya juga mengatakan hal ini tepat setelah kuliah Hamming
    “Jadi daripada melihat bola berdimensi n sebagai runcing, lebih baik melihat ruang di sekelilingnya tumbuh lebih cepat daripada bola”
• Ini contoh yang sangat bagus untuk menunjukkan kutukan dimensionalitas
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality
  • Menarik bagaimana ini terhubung dengan hukum penskalaan LLM
• Entah kenapa saya membayangkan tulisan ini akan membahas dua bentuk yang secara topologis hanyalah n-bola
  Maksudnya situasi ketika masing-masing bersinggungan dengan salah satu dari dua setengah (n-1)-bola yang berada di batas suatu n-bola, dan selain itu tidak saling berpotongan
  Dalam 3 dimensi, mirip seperti mengambil satu bola dan dua gumpal tanah liat berbeda warna, lalu menekan masing-masing tanah liat ke setengah permukaan bola, sementara kedua gumpal tanah liat itu masing-masing tetap secara topologis berupa 3-bola
  Sebenarnya saya juga tidak yakin apakah ada cerita menarik tentang itu
• Mengesankan dan berguna
  Sekarang saatnya membuat ulang embedding saya agar tangan berdimensi n baru bisa menggenggam bola berdimensi n merah itu
• Untuk melihat diskusi HN lain tentang fenomena ini, bisa merujuk ke kiriman-kiriman lama yang membahas topik yang sama
  Tulisan itu tidak punya animasi keren, tetapi sudah berumur 14 tahun
  https://news.ycombinator.com/item?id=12998899
  https://news.ycombinator.com/item?id=3995615
  Dan ada juga tulisan dari 29 Oktober 2010
  https://news.ycombinator.com/item?id=1846682
  • Pada 2009 saya juga menulis posting blog singkat tentang topik ini: https://mark.reid.name/blog/warning-high-dimensions.html
    Senang melihat fakta-fakta matematika menarik seperti ini terus dibahas dan disajikan dengan cara baru
• Sulit membayangkan bola-bola itu bergulir di kepala
  Apakah ada materi visualisasi tahap perantara lain yang bisa membantu mencapai intuisi ini?
  Tulisannya sangat keren, tetapi saya ingin segera membagikan absurditas yang terwujud ketika kotak hijau dari bola merah tertutup saat struktur 10 dimensi yang sepenuhnya didiagonalkan dilihat sebagai irisan 3 dimensi
  • Yang aneh bukan bola merah, melainkan hiperkubus
    Menempatkan bola-bola biru agar menyinggung hiperkubus adalah konstruksi buatan, dan hanya di dimensi rendah tampak seperti “mengurung” bola merah
    Alasan intuisi kita keliru adalah karena kita memikirkan masalahnya dengan cara yang salah
    Kita berpikir “bola merah harus terkurung di dalam kotak”, tetapi di dimensi n tidak ada dasar geometris untuk itu
• Bisa dibilang animasinya benar-benar membuat kepala saya meledak
  • Ada beberapa momen yang cukup berat saat bagian trigonometrinya masuk
• Numberphile pernah mengunggah video tentang topik ini
  https://youtu.be/mceaM2_zQd8?si=0xcOAoF-Bn1Z8nrO