Solusi untuk masalah bawang J. Kenji López-Alt (2021)

• Hasil pemodelan matematis atas masalah potongan radial untuk memotong bawang menjadi ukuran seragam menunjukkan bahwa ujung pisau seharusnya diarahkan bukan ke 0.61803398875… yang merupakan kebalikan rasio emas, melainkan ke 55.73066% di bawah jari-jari
• Model menyederhanakan bawang menjadi cakram setengah lingkaran berjari-jari 1, lalu mengasumsikan jumlah lapisan dan jumlah sayatan tak hingga agar dapat diselesaikan dengan matematika kontinu dan kalkulus multivariabel
• Inti perhitungannya adalah menggunakan Jacobian dari transformasi koordinat untuk menghitung luas relatif potongan-potongan kecil, lalu mencari kedalaman h yang meminimalkan varians luas tersebut
• Dengan menerapkan integrasi numerik dan minimisasi numerik di Mathematica, varians minimum muncul di sekitar h ≈ 0.55, dan “true onion constant” menjadi 0.5573066…
• Nilai ini berlaku untuk bawang teridealisasi dengan lapisan tak hingga, dan pada bawang nyata dengan lapisan berhingga, kedalaman optimal bisa berbeda

---

Masalah yang berawal dari saran untuk memotong ke arah 60% di bawah

• Dalam video YouTube Chef Kenji López-Alt, diceritakan bahwa seorang teman matematikawan menyarankan agar saat memotong bawang, sayatan radial diarahkan ke titik di bawah pusat, yaitu 60% dari jari-jari
• Nilai itu diperkenalkan sebagai sesuatu yang terkait dengan kebalikan rasio emas, 0.61803398875…
• Setelah benar-benar memotong bawang dengan cara itu, muncullah pertanyaan untuk menelaah secara matematis mengapa nilai semacam itu bisa muncul
• Setelah dua bulan tanpa kemajuan besar, perhitungan dilanjutkan selama dua hari dan ditemukan nilai yang disebut “true onion constant”

Model bawang yang bisa dihitung

• Bawang disederhanakan menjadi cakram setengah lingkaran berjari-jari 1 dengan pusat di titik asal dan terletak pada setengah bidang atas
  • Struktur 3D bawang asli dan bentuk penampang nyatanya diabaikan
  • Penyederhanaan ini adalah pendekatan agar masalah lebih mudah ditangani
• Karena jumlah lapisan memengaruhi jawaban, diasumsikan bawang memiliki lapisan tak hingga
  • Jika bawang hanya punya satu lapisan, memotong ke arah pusat adalah yang terbaik
  • Jika bawang punya sepuluh lapisan, arah potongan harus menuju titik di bawah pusat
  • Dengan lapisan tak hingga, secara alami kita juga mempertimbangkan jumlah sayatan yang tak hingga
• Berkat asumsi ini, masalah berpindah ke ranah matematika kontinu dan kalkulus bisa diterapkan

Mengukur keseragaman potongan dengan Jacobian

• Dalam transformasi koordinat polar biasa, elemen luas kecil dx dy berubah menjadi r dr dθ, dan pada saat itu r berperan sebagai Jacobian
• Nilai ini dipakai sebagai ukuran untuk membandingkan seberapa besar potongan-potongan mikro pada bawang satu sama lain
  • Potongan yang dekat pusat lebih kecil karena r kecil
  • Potongan yang dekat tepi lebih besar karena r besar
• Keseragaman potongan diukur dengan varians dari bobot luas elemen mikro tersebut
  • Jika varians besar, potongan kurang seragam
  • Jika varians kecil, potongan lebih seragam
• Setelah terlebih dahulu menghitung bobot luas rata-rata dan varians untuk potongan yang mengarah ke pusat, diperkenalkan sistem koordinat baru untuk sayatan yang mengarah ke titik di bawah pusat

Sistem koordinat yang mengarah ke satu titik di bawah pusat

• Titik yang dituju sayatan diletakkan di (0, -h) di bawah titik asal, lalu dibangun sistem koordinat dengan h > 0
• Dalam sistem ini, sudut θ diukur dari (0, -h), sedangkan jari-jari r diukur dari titik asal (0, 0)
  • Bagian radial memodelkan lapisan bawang berdasarkan titik asal
  • Arah sudut memodelkan cara pisau masuk lurus menuju (0, -h)
• Sistem koordinat ini bekerja tanpa masalah hanya pada setengah bidang atas, dan karena seluruh model bawang berada di sana, sistem ini dapat digunakan
• Dengan memanfaatkan simetri, cukup menganalisis separuh kanan saja
  • Wilayahnya adalah 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • Rentang jari-jarinya adalah h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Hubungan antara (x, y) dan (r, θ) diperoleh dengan hukum cosinus, lalu dihitung Jacobian untuk kedalaman h tertentu
• Berdasarkan Jacobian ini, didefinisikan bobot luas rata-rata A(h) dan varians v(h)

Hasil perhitungan: true onion constant

• Karena mengintegralkan v(h) dengan tangan tampak sangat sulit atau tidak mungkin, digunakan integrasi numerik di Mathematica
• Jika varians diplot terhadap h, nilai minimumnya muncul di sekitar h = .55
• Hasil minimisasi numerik menunjukkan bahwa “true onion constant” untuk bawang teridealisasi dengan lapisan tak hingga adalah 0.5573066…
• Agar potongan radial menjadi paling seragam, pisau harus diarahkan ke titik di bawah pusat bawang, yaitu 55.73066% dari jari-jari
• Nilai ini dekat dengan 61.803% yang disebut dalam video, tetapi tidak sama
• Untuk bawang nyata dengan jumlah lapisan berhingga, nilainya bisa berbeda
  • Pada satu lapisan, kedalaman optimal adalah 0
  • Pada lapisan tak hingga, nilainya 0.5573066…
  • Untuk bawang dengan sepuluh lapisan, kedalaman optimal diperkirakan berada di antara 0 dan 0.5573066…, tetapi belum diteliti secara mendalam

Pembaruan setelahnya: bentuk tertutup dan penamaan

• Setelah itu, v(h) dapat dihitung dalam bentuk tertutup
• Dalam kalkulus, untuk meminimalkan fungsi, turunannya dibuat sama dengan 0, sehingga v'(h) dihitung
• Di interval (0, 1), akar tunggal dari turunan tersebut adalah konstanta bawang
  • Titik ini adalah titik kritis dari v(h)
  • Tanda v'(h) berubah dari negatif ke positif, sehingga itu adalah titik minimum
• Dengan cara ini, konstanta bawang dapat dihitung hingga presisi sebarang, dan ekspansi desimal hingga 1000 digit disertakan
• Untuk nama konstanta matematika ini dipilih huruf Ibrani samekh
  • Alasannya karena huruf itu terlihat seperti bawang

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Saya penulis postingan blognya. Senang melihat minat terhadap tulisan ini, dan saya juga menaruh slide yang membahas penyusunan masalah, isi matematikanya, hingga bawang 3 dimensi di sini: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  Naskah resmi yang merangkum rincian masalah dan solusinya juga sudah saya kirim ke jurnal matematika rekreasional, dan saya dengan senang hati menerima pertanyaan

  • Solusinya tampak mengasumsikan bahwa semua sayatan harus mengarah ke satu titik. Sepertinya mungkin ada solusi yang lebih optimal dengan memperbesar kedalaman sasaran sayatan h saat bergerak ke arah luar, jadi saya penasaran apakah saya melewatkan alasan mengapa itu tidak demikian
  • Ini adalah cara menyelesaikan lingkaran pada bidang, lebih tepatnya setengah lingkaran pada bidang, tetapi ada hal yang sudah lama mengganggu saya terkait pengurangan dimensi
    Lingkaran bisa dengan mudah dibagi menjadi busur-busur yang sama, misalnya 120 busur masing-masing 3 derajat, dalam koordinat polar, tetapi melakukan hal yang sama pada permukaan bola dengan koordinat bola sangat buruk, dan saya memahami bahwa efek serupa berupa menutupi permukaan bola dengan satu bentuk yang identik adalah hal yang mustahil
    Ini masalah yang terpikir saat memikirkan sistem koordinat pada peta agar setiap “persegi” memiliki luas yang sama satu sama lain di atas permukaan bola meskipun terdistorsi, dan tampaknya juga berkaitan dengan seberapa jauh analogi 2 dimensi dari masalah bawang benar-benar menjawab pertanyaan 3 dimensi aslinya
  • Akan menarik jika bisa menyusun model secara terbalik sehingga jawaban yang benar menjadi 1/φ. Itu tampaknya mungkin jika diberi suatu ukuran tak seragam pada bawang, dan saya juga penasaran bagaimana hasilnya bila bawang dipandang sebagai setengah bola. Dalam memasak, yang sebenarnya terutama penting adalah ketebalan

• Saya penasaran mengapa setengah bawang dimodelkan sebagai “setengah dari cakram berjari-jari 1”. Setengah bawang lebih dekat ke setengah bola, jadi saya tidak tahu mengapa kita harus berharap hasilnya sama
  Jika memikirkan penampang luar di kedua ujung bawang, yaitu dekat tumit dan ujung pisau, maka saat mendekati ujung, potongannya akan semakin mendekati tegak lurus. Sejauh bagian luar dipotong secara vertikal, rasanya penampang tengah seharusnya dipotong sedikit lebih dangkal, jadi menurut saya mungkin keliru menyebut ini benar-benar konstanta bawang

  • Solusinya muncul di bagian belakang tulisan. Wawasan kuncinya datang dari Jacobian, dan strukturnya bukan setengah cakram seragam melainkan yang bobotnya makin besar semakin jauh dari sumbu Y
    Bayangkan seperti mencoba mengumpulkan jumlah tinta yang sama dari sebuah bentuk yang dicat. Tidak seperti cakram seragam, cakram berbobot dalam tulisan itu lebih gelap di atas dan bawah serta lebih terang di tengah, dan sebenarnya gradasinya berubah perlahan, bukan berupa pita-pita seperti pada gambar ASCII
  • Ini juga mengabaikan bahwa lapisan bawang menjadi jauh lebih tipis semakin jauh dari pusat. Jadi bahkan untuk bawang yang sepenuhnya simetris pun, menurut saya analisis ini cukup meleset
  • Meski bawang tidak sepenuhnya simetris, kita bisa melihatnya sebagai struktur yang tumbuh optimal atau memancar radial dari satu sumbu atau garis yang melewati tengah. Jika menusukkan tusuk gigi ke bola sebagai sumbu lalu memotong tegak lurus terhadap sumbu itu, pada bola kita mendapat lingkaran, dan pada setengah bawang kita mendapat setengah cakram
    Secara pribadi saya terlalu malas, jadi saya memotong setengah bawang tegak lurus terhadap sumbu itu, dan demi keseragaman saya juga tidak sampai melakukan sayatan radial
  • Sesaat saya mengira “masalah bawang” ini adalah persoalan sulit dalam topologi atau teori grup, lalu saya teringat hubungan bahwa Kenji Lopez-Alt itu koki, bukan matematikawan, dan langsung paham
  • Saya punya kekhawatiran serupa. Bawang tampaknya lebih mirip silinder menggembung dengan ketebalan lapisan yang lebih terkonsentrasi ke arah tengah, dan tiap lapisan memanjang dari akar ke batang

• Sebaliknya, YouTuber makanan Adam Ragusea sangat menekankan bahwa heterogenitas itu penting. Mengoptimalkan keseragaman belum tentu strategi terbaik
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Seperti Ragusea, saya lebih suka ada sedikit hal baru dan berbeda di setiap suapan
    Sebagai tip Caesar salad, letakkan kantong crouton kemasan secara mendatar di atas meja lalu hancurkan berulang kali dengan dasar wajan, maka akan tercampur potongan crouton berbagai ukuran, remah seperti kerikil, dan bubuk. Setelah pernah memakannya seperti ini di restoran mewah, saya terus membuatnya begitu
  • Adam pada dasarnya memecahkan masalah yang berbeda. Inti dari Kenji adalah membuat aturan sederhana yang bisa diingat dan diikuti siapa pun, sehingga orang bisa memotong dengan baik tanpa perlu terlalu presisi
    Aturan ini memberi hasil yang cukup mendekati keseragaman bahan seperti bawang yang diharapkan di kebanyakan resep, dan Ragusea pun kemungkinan besar akan setuju bahwa itu memang solusi untuk perumusan masalah tersebut
  • Saya pernah membaca bahwa koki yang dilatih secara klasik menganggap konsistensi potongan itu penting. Adam Ragusea cukup sering memakai cara-cara yang nyeleneh dan niche yang tidak sesuai dengan praktik profesional nyata, dan seperti Bill Nye adalah advokat sains, dia lebih merupakan advokat memasak daripada koki profesional
  • Sulit juga membantah logika yang dia ajukan dalam video itu
  • Tidak ada cara yang mutlak benar atau salah. Jika terlalu condong ke salah satu ekstrem, makanan bisa menjadi membosankan atau hasil akhirnya kurang baik
    Hanya saja, banyak pandangan Ragusea tidak bertahan terlalu baik seiring waktu, dan sebagian juga sudah dia akui sendiri

• Marco Pierre-White merekomendasikan memarut bawang, dan dengan begitu ia dengan cerdik menghindari seluruh masalah ini
  Bisa dibilang ini seperti menggiling simpul Gordian
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Untuk saus tomat, memarutnya masuk akal, tetapi saya tidak ingin menjadikannya cara dasar menangani bawang
  • Ini metode MPW: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    “Kesempurnaan adalah banyak hal kecil yang dilakukan dengan baik”
  • Memang menghindari masalah, kecuali ada sisa potongan terakhir yang tidak bisa diparut tanpa membahayakan jari
    Untuk bawang putih, saya lebih suka menghancurkannya dalam banyak resep. Bentuk kasarnya jadi lebih menonjol, lebih menyatu ke dalam makanan, dan juga menjadi renyah dengan baik saat ditumis
  • Kalau begitu, bukankah tinggal diblender saja dengan food processor
  • “Anda boleh memarut bawang, atau tidak. Sebenarnya pilihan ada di tangan Anda”

• Penasaran apakah ada tempat yang menjelaskan masalah ini dalam bentuk tulisan. Teksnya tampaknya menyerahkan penjelasan asli ke video, dan di tulisan hanya membahas solusi yang diusulkan di video lain serta solusi baru, jadi tidak jelas masalah apa yang sedang dipecahkan

  • Masalahnya adalah memotong bawang untuk meminimalkan variasi ukuran dan bentuk potongan. Biasanya tujuannya agar potongan matang merata
  • Ini adalah masalah ingin memotong setengah bawang untuk meminimalkan dispersi volume potongannya. Lalu disederhanakan menjadi masalah pemotongan yang meminimalkan dispersi luas penampang pada bagian bawang yang paling lebar
  • Ini adalah masalah “bagaimana memotong bawang yang berbentuk bulat dan berlapis seragam menjadi potongan dengan volume yang sama”. Ini lebih mirip eksperimen pemikiran geometri daripada masalah kuliner praktis
  • Penjelasannya tidak terlalu bagus dalam bentuk tulisan. Ada potongan-potongan seperti “menjaga potongan tetap semirip mungkin”, “Jacobian r dr dθ mengukur ukuran relatif potongan yang sangat kecil”, dan “dispersi merepresentasikan keseragaman potongan dengan baik”
  • Ini adalah masalah tentang cara memotong bawang menjadi potongan dengan ukuran kira-kira sama. Jika memotong ke arah pusat, potongan bagian dalam akan jauh lebih kecil daripada bagian luar

• Cukup mengejutkan Kenji masih membuat sayatan horizontal. Rasanya jika melakukan irisan vertikal miring, sayatan horizontal jadi sama sekali tidak perlu
  Beberapa tahun lalu saya pernah membuat sayatan horizontal pada bawang dan kulit saya robek seperti flap avulsion

  • Yang lebih aneh adalah membuat sayatan horizontal setelah membuat sayatan vertikal. Banyak koki yang benar-benar mencincang bawang melakukan itu, tetapi rasanya sepenuhnya terbalik
    Pada setengah bawang yang masih utuh, sayatan horizontal bisa dibuat dengan aman dan mudah, tetapi setelah sudah dipotong vertikal, itu jadi jauh lebih sulit
  • Memiringkan sayatan horizontal ke bawah tampaknya bagus untuk menangani masalah ini. Lagi pula, sayatan horizontal terutama hanya diperlukan pada sisi bawah bawang
  • Kenji mengatakan saat menjelaskan bahwa ia sebenarnya tidak melakukan irisan miring, tetapi menurutnya ini masalah matematika yang menarik
  • Sebaiknya berinvestasi pada sarung tangan antipotong. Dengan beberapa dolar, itu bisa mencegah waktu yang hilang, dan juga bisa dipakai untuk mandoline
    Meski begitu, mungkin lebih baik mengujinya dulu dengan memasukkan hot dog ke bagian jari

• Mengejutkan, dan sangat menyenangkan bahwa integralnya punya solusi bentuk tertutup. Sangat penasaran seperti apa bentuknya dalam kasus diskret, dan tampaknya juga cukup mudah dikodekan lewat simulasi

• Metode Chef Jean-Pierre lebih baik. Tetap sederhana, dan juga menunjukkan kenapa sayatan horizontal kurang masuk akal
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Betul. Sudah memakai metode itu selama 15 tahun dan tidak pernah menyesal. Kaget dia masih membuat video

• Dalam masakan tingkat tinggi, ada juga konsep dadu yang benar-benar sempurna secara harfiah. Seluruh lapisan bawang dilepas dan ditekan hingga menjadi lembaran, lalu persegi panjang dipotong dalam pola kisi untuk dicincang

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw