Masalah Emoji (2022)

• Masalah matematika emoji yang menjadi terkenal di internet memiliki ciri menghasilkan berbagai jawaban karena adanya elemen jebakan
• Di komunitas matematika, muncul upaya untuk membuat masalah yang benar-benar sulit sebagai alternatif dari soal semacam ini
• Postingan tersebut menjelaskan cara mencari tripel Pythagoras dan teknik terkait (menggambar garis)
• Masalah emoji dengan tingkat kesulitan tinggi berpusat pada kurva eliptik dan analisis solusi rasional
• Penekanan diberikan pada strategi menemukan solusi dengan bantuan alat matematika dan Mathematica

---

Latar belakang dan kemunculan masalah matematika emoji

Di internet, soal matematika yang dinyatakan dengan emoji (atau gambar buah, dan sebagainya) menyebar luas. Soal-soal ini menimbulkan kontroversi dan efek viral karena unsur yang membingungkan (misalnya, perbedaan halus pada jumlah pisang) dapat menghasilkan banyak jawaban untuk satu soal. Matematikawan dan komunitas matematika sungguh merasa jenuh terhadap soal seperti ini, dan pada 2017, muncul sebuah thread di reddit r/math yang mengusulkan, “mari kita buat soal matematika bergambar yang benar-benar sulit.” Soal yang diperkenalkan di sana, tidak seperti contoh sebelumnya, masih berada pada tingkat yang relatif mudah untuk mencari solusi bilangan bulat, tetapi seseorang bernama Sridhar Ramesh memodifikasinya sedikit dan mengubahnya menjadi masalah yang sangat sulit. Bahkan solusi terkecil dari versi modifikasi itu memiliki angka lebih dari 80 digit, dan kemudian dinilai memerlukan pengetahuan lanjutan yang berkaitan dengan kurva eliptik.

Contoh pengantar yang ramah: mencari tripel Pythagoras

Sebagai langkah awal, dibahas pendekatan menyeluruh untuk tripel Pythagoras. Alih-alih langsung mencari solusi bilangan bulat (persamaan Diophantine) yang memenuhi x² + y² = z², pendekatannya adalah mencari solusi rasional (berbentuk pecahan) untuk x₁² + y₁² = 1.

• Dengan substitusi x₁ = x/z, y₁ = y/z, masalah berubah menjadi pencarian semua titik rasional pada lingkaran satuan
• Ambil titik awal seperti (0,1), lalu bayangkan menggambar garis lurus dengan gradien rasional
• Titik potong kedua antara garis itu dan lingkaran akan selalu menjadi titik rasional
• Ini dapat dikonfirmasi melalui rumus Vieta dan sejenisnya, dan dengan menetapkan gradien, kita bisa mencapai semua titik rasional
• Jika diringkas, tripel Pythagoras dapat dikarakterisasi dengan struktur (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) (berlaku untuk bilangan bulat positif m, n)
• Intinya adalah prinsip “dengan menggambar garis, muncullah titik baru”

Masalah emoji asli: mengubah persamaan sulit menjadi kurva eliptik

Rumus inti masalah dimulai dari x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 Lalu disusun ulang menjadi bentuk x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz

• Dengan substitusi x₁ = x/z, y₁ = y/z, lalu membagi keseluruhan dengan z³, analisis dilanjutkan dalam bentuk solusi rasional
• Persamaan hasil substitusi adalah x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
• Jika divisualisasikan, grafik persamaan ini bersifat simetris, lalu dengan memutar sumbu koordinat dan melakukan substitusi ulang (x₂, y₂), bentuknya dapat disederhanakan
• Pada akhirnya diperoleh persamaan dalam bentuk kurva eliptik berikut: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

Prinsip pembentukan titik rasional pada kurva eliptik

Dijelaskan prosedur memilih dua titik rasional (P, Q) pada kurva eliptik, lalu menggambar garis lurus yang menghubungkan keduanya, dan mencari titik potong ketiga R antara garis itu dan kurva

• Ketiga titik (P, Q, R) semuanya akan memiliki koordinat rasional
• Dengan memanfaatkan rumus Vieta, gradien garis, dan transformasi aljabar, titik potong ketiga dapat dihitung dari persamaan yang konsisten
• Jika garis digambar pada titik yang sama (P=Q), maka garis itu menjadi garis singgung, dan prinsip yang sama tetap berlaku
• Hal terpenting adalah bahwa “jika dua titik rasional dihubungkan, akan muncul titik rasional lain”

Batasan “perbanyakan” titik rasional dan ditemukannya titik berorde tak hingga

Pada kurva eliptik, titik rasional sepele yang mudah ditemukan ((0,1), (-1,0), (0,-1), dan sebagainya) masing-masing mengarah pada hasil yang tidak bermakna bagi solusi.

• Hanya dengan titik-titik ini, yang berulang hanyalah titik torsi (titik berorde hingga) yang tidak dapat lagi menghasilkan titik rasional baru
• Diperlukan titik tak dikenal yang berorde tak hingga (yang menyediakan jumlah solusi tak terbatas)
• Dengan bantuan perhitungan komputer seperti Mathematica, ditemukan titik rasional baru, misalnya dalam bentuk (-2, 1/5) (titik ini dinamai A)
• Dengan memanfaatkan titik ini, lalu menerapkan garis singgung atau garis yang menghubungkannya dengan titik lain, dapat dihasilkan semakin banyak solusi rasional baru yang makin kompleks

Syarat agar solusi nyata bernilai positif dan perhitungan berulang

Solusi masalah ini baru bermakna jika semua x, y, z bernilai positif. Dari pengembangan persamaan, jika diasumsikan z > 0, maka diperlukan x₁ > 0 dan y₁ > 0, dan untuk koordinat hasil substitusi (x₂, y₂), harus dipenuhi x₂ > |y₂|.

• Wilayah yang memenuhi syarat ini (bagian tertentu pada grafik) dijadikan ‘zona target’, lalu trik garis diulang-ulang untuk mencapai solusi rasional di wilayah tersebut
• Dalam proses perhitungan, koordinat x dan y dari titik rasional yang sebenarnya diperoleh melalui ekspresi aljabar yang rumit (dengan fungsi L, T, dan Y)
• Dengan cara ini, setelah menghitung gradien garis singgung dan garis biasa serta menerapkannya berulang kali, dapat dicapai solusi yang sangat besar dengan puluhan digit

Kesimpulan

Masalah matematika emoji yang diberikan tampak sederhana, tetapi pada kenyataannya perlu memanfaatkan secara aktif sifat kurva eliptik dan prinsip pembentukan titik rasional, dan dalam beberapa kasus ukuran numerik solusinya membesar secara eksponensial.

• Prinsip sederhana berbasis struktur, yaitu “menggambar garis untuk mendapatkan titik baru,” juga diterapkan pada kurva eliptik dalam bentuk yang dimodifikasi
• Proses mencari solusi bilangan bulat atau solusi positif yang nyata sangat kompleks, dan perhitungan aljabar komputer menjadi hal yang esensial
• Pada bagian lanjutan dari tulisan tersebut, akan dibahas penuntasan proses ini, latar belakang matematika yang lebih dalam, dan rincian solusi

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Membagikan tautan yang memperkenalkan jawaban Quora yang benar-benar luar biasa

  • Jawaban Quora itu ditulis oleh Alon Amit, dan artikel aslinya juga memuat kutipan yang menyebut Alon Amit

  • Inilah yang benar-benar terasa seperti puncak sejati Quora

• Berbagi pengalaman saat dulu mengajar matematika kepada anak-anak dengan mengganti rumus atau ekspresi memakai istilah yang lucu dan akrab seperti hewan, awan, atau bintang; awalnya anak-anak merasa itu merepotkan, tetapi justru hal itu menjadi pemicu ketertarikan mereka pada konsep abstrak, dan kemudian ada umpan balik bahwa mereka juga memakai cara yang sama saat mengajari teman lain, sambil menekankan bahwa x tidak harus sesuatu yang istimewa, dengan pesan bahwa “alih-alih x, kita bisa memakai nama apa pun seperti matahari atau ‘jumlah angka kucing’”

  • Nama seperti ‘jumlah angka kucing’ mengingatkan pada kecenderungan minimalisme yang melekat di budaya matematika secara umum; nama variabel dalam rumus sering kali sangat pendek atau terlalu diabstraksikan, sehingga saat menafsirkan rumus nyata muncul kesulitan seperti “simbol penting yang berperan di sini ini sebenarnya apa? Siapa yang menulis φ di sini...”; ditekankan juga lelucon bahwa matematikawan bahkan lebih parah daripada programmer yang sering bercanda soal sulitnya menamai variabel; selama ribuan tahun manusia bisa memanfaatkan bahasa dan label, jadi menggunakan simbol terenkripsi yang tidak perlu seperti rho terasa tidak perlu; bahkan dalam program yang diturunkan dari makalah matematika pun nama variabel sebaiknya memakai penamaan yang secara intuitif menyampaikan makna

• Ulasan pengalaman mencoba mengunggah gambar soal ke ChatGPT lewat antarmuka OpenAI; awalnya mengira model akan sudah mengetahui soalnya lalu memberikan jawaban benar, atau mengarang sembarang jawaban, atau bahkan menolak menyelesaikannya, tetapi kenyataannya model dengan percaya diri mengajukan tebakan seolah benar lalu sadar sendiri setelah menghitung langsung bahwa tebakan itu salah, kemudian mengulangi tebakan yang sama; terlihat bahkan tidak mampu menangkap simetri dan bertindak seperti agen yang tidak terstruktur; pada akhirnya model dengan yakin menegaskan kesimpulan bahwa tidak ada jawaban, dan hasil seperti ini cukup tak terduga sehingga jika pada puzzle lain nanti performanya masih seburuk ini, keyakinannya akan diperbarui

  • Membagikan hasil mencoba pertanyaan yang sama ke Gemini, dan juga sempat memakai ChatGPT o3 yang menghabiskan 11,5 menit untuk berpikir, beserta tautan ke pekerjaan terkait

  • Justru mengesankan karena tampaknya memang tidak ada jawaban yang ‘masuk akal’ yang bisa dipahami kepala manusia; ada juga yang mengira terdapat versi ChatGPT yang terhubung ke Wolfram Alpha, dan penasaran apakah versi itu belum dicoba

• Menekankan bahwa terkait penyebutan Sridhar Ramesh, ia dianggap sebagai talenta langka yang sekaligus mahir dalam candaan berbasis meme internet (shitposting) dan memiliki gelar doktor matematika

• Sangat menyukai puzzle jenis ini, sampai pernah memperkenalkannya ke teman-teman dengan nama ‘Dantzig Sniping’, serta membagikan tautan ke soal buatan sendiri dan konteks terkait

  • Ada tanggapan bahwa awalnya nama itu justru mengingatkan pada toponim Gdańsk (Danzig), sehingga membuat penasaran apa sebenarnya yang “ditembak jitu”

  • Ada pertanyaan tentang bagaimana menemukan soal-soal dengan sifat seperti ini

• Dengan nada bercanda mempertanyakan kenapa pada tahun 2025 penulis tidak benar-benar memakai emoji buah sebagai nama variabel

  • Saat menganalisis kode C yang rumit, ada pengalaman bahwa mengganti nama variabel menjadi emoji membantu melihat sekilas variabel mana dipakai di mana sehingga memudahkan memahami struktur kode, disertai gambar contoh; disorot juga masalah bahwa bahasa modern seperti Rust dan JS mengikuti standar XID_Start/XID_Continue sehingga melarang penggunaan identifier emoji

  • Membagikan tautan ke contoh kode C# dari Gemini yang menyelesaikan soal dengan brute force menggunakan nama variabel emoji buah

  • Ditambahkan komentar realistis bahwa meskipun sekarang tahun 2025, bahasa pemrograman tersebut tidak dibuat pada tahun 2025

• Jika konstanta selain ‘4’ dimasukkan, bisa muncul solusi minimum yang jauh lebih besar lagi; dibagikan tautan ke contoh persamaan Diophantine (persamaan solusi bilangan bulat) yang menarik terkait hal itu

  • Ditekankan bahwa kemampuan memanggil bilangan raksasa aneh tapi keren seperti angka sepanjang 120 juta digit secara real-time terasa sangat mengesankan

• Berbagi ingatan bahwa saat soal ini pertama kali muncul, semua orang tertawa terbahak-bahak bersama di seminar teori bilangan

• Pendalaman yang dalam tentang teori bilangan dan graf aneh memang menarik, tetapi muncul rasa penasaran soal apa sebenarnya yang membingungkan atau menjadi titik jebakan dari puzzle apel/pisang yang diberikan semula; apakah ada unsur yang mudah membuat orang keliru atau memicu perdebatan, atau justru karena terlalu mudah sehingga semua orang berbondong-bondong datang untuk pamer kepintaran; ia sendiri mendapatkan jawaban 10, 4, 2 dan malah bertanya-tanya apakah justru dirinya yang bingung

  • Dijelaskan bahwa ‘trik’ yang sebenarnya adalah pada kelompok terakhir jumlah pisangnya 3, sedangkan kelompok lain berisi 4, dan kelapa juga hanya muncul satu buah di persamaan terakhir; memang masuk akal jika orang bisa salah paham menjadi seperti ‘1 + 10 + 3’

• Membagikan tip bahwa srsltid, parameter kueri pada URL tautan soal tertentu, adalah nilai yang tidak diperlukan