Fraktal yang Tergantung di Dindingku Selama 12 Tahun

• Bentuk fraktal (“wallflower”) yang berawal dari coretan penulis saat SMP memiliki struktur unik yang dihasilkan dengan cara berbeda dari metode umum
• Dalam proses pembentukan fraktal ini, penulis mengeksplorasi bagaimana ciri-cirinya dapat dijelaskan secara matematis melalui L-system dan pengodean posisi berbasis matriks
• Dengan memanfaatkan matriks tertentu yang determinannya ±5, perubahan skala dan rotasi bentuk, serta penempatannya yang berulang di dalam ruang, dapat dijelaskan secara efektif
• Penulis juga mencoba kemungkinan generalisasi ke 3 dimensi dan 4 dimensi, dan menunjukkan bahwa pada dimensi tinggi perancangan matriks dengan mempertimbangkan simetri serta efisiensi packing menjadi penting
• Penulis menemukan bahwa fraktal, aljabar linear, dan sistem bilangan saling terhubung, dan bahwa proses eksplorasi itu sendiri menunjukkan nilai dari pemecahan masalah yang kreatif

---

Pengantar: rahasia fraktal yang tergantung di dinding

• Saat masih SMP, penulis menemukan coretan di kertas grafik berupa menyalin dan memutar persegi untuk mengisi bidang, yang kemudian dinamai “wallflower”, dan terus meminatinya selama bertahun-tahun
• Karena strukturnya terasa aneh, penulis menduga ada makna matematis yang dalam, tetapi saat itu belum bisa menganalisisnya
• Kini, setelah pengetahuan matematikanya bertambah, penulis mulai menelusuri secara serius persoalan yang ditinggalkan oleh dirinya di masa lalu

Cara menggambar fraktal

1. Mulai dari sebuah persegi
2. Salin bentuk saat ini masing-masing sekali ke kiri, kanan, atas, dan bawah
3. Setelah itu, putar keadaan yang ada sekitar 27 derajat searah jarum jam sedikit demi sedikit, lalu salin lagi ke empat arah tersebut
4. Ulangi langkah 2 dan 3 hingga kertas penuh

• Dengan cara ini akan terbentuk fraktal yang menyebar seperti bunga
• Jika proses ini diulang tanpa batas, seperti Gosper Curve, ia juga dapat menutupi seluruh bidang

Membentuk garis batas fraktal dengan L-system

• Pendekatan L-system (aturan substitusi string) juga bisa digunakan: hanya memakai rotasi 90 derajat ke kanan R atau ke kiri L
• Aturan awal: mulai dari RRRR, dengan substitusi R→RLR, L→RLL
• Batas yang dihasilkan lewat L-system dan batas dari metode masa SMP mulai menunjukkan perbedaan utama sejak suku ke-4
  • Metode drag-and-drop menempatkan setiap salinan secara berbeda
  • Metode L-system dicirikan oleh penyalinan ke arah diagonal

Ciri-ciri wallflower tanpa gambar

• Wallflower yang dihasilkan dengan metode drag-and-drop hampir tidak muncul di internet
• Ada sifat pembalikan arah berulang yang dipicu oleh aturan substitusi L→RLR, R→LLR
• Ada keterkaitan antara sudut penempatan salinan (“27 derajat”), struktur matriks, dan aturan substitusi L-system

Cara memberi nomor (pengodean posisi fraktal)

• Seperti fungsi pasangan Cantor, setiap persegi di dalam fraktal bisa diberi nomor agar ruangnya dapat dipahami secara efisien
• Pada setiap iterasi, strukturnya berkaitan erat dengan kelipatan 5 dan pangkat 5, sehingga basis 5 dipakai untuk pengodean yang efisien
• Dari pola penyalinan di kiri dan kanan, penulis menemukan keterhubungan antara perpindahan geometris dan penjumlahan, misalnya “menambah 200”

Makna spasial matriks dan fraktal

• Vektor posisi dinyatakan sebagai perkalian matriks, sehingga pada tiap digit (nilai tempat) berlaku matrix power
• Contoh matriks M=[−2 1; 1 2], ketika det(M)=-5, arah akan berulang kali terbalik
• Jika dibentuk dengan M′=[2 1; -1 2], matriks dengan det(M′)=5, akan muncul struktur yang mirip dengan fraktal tipe Gosper pada umumnya
• Nilai absolut determinan tepat sesuai dengan laju pertumbuhan ukuran fraktal dan efisiensi pengisian ruang
  • Jika determinannya besar, akan ada ruang kosong; jika kecil, akan terjadi tabrakan
  • Vektor kolom setiap matriks harus berupa bilangan bulat agar pas tepat dengan seluruh kisi koordinat
• Perhitungan sudut vektor |1,2|, arctan(2/1) ≈ 63.43 derajat → inilah alasan bentuk tersebut menyimpang “27 derajat” dari sumbu

Menelusuri struktur penjumlahan lewat fraktal

• Semua posisi tidak bisa diprediksi hanya dengan komposisi vektor sederhana (misalnya, →2+→2≠→4)
• Angka 1 hingga 4 ditafsirkan sebagai masing-masing arah (atas, kanan, bawah, kiri), dan muncul konsep “carry” dua dimensi
• Ini terhubung dengan generalized balanced ternary dan menghasilkan sistem bilangan 2D/berdimensi tinggi serta struktur tanpa titik tetap

Kemungkinan generalisasi ke dimensi tinggi (3D, 4D)

Upaya perluasan ke 3 dimensi

• Dalam matriks 3x3, setiap vektor kolom harus berupa bilangan bulat, memiliki Hamming distance 3, dan determinan ±7
• Saat divisualisasikan, ternyata ada area tertentu yang kosong sehingga susunan sempurna tidak mungkin dicapai
• Penambahan salinan ekstra (bentuk “plus” di posisi baru) dapat menambal sebagian, tetapi simetri sempurna tetap sulit dicapai

Perluasan ke 4 dimensi

• Dalam matriks 4x4, setiap vektor kolom harus berupa bilangan bulat dan memenuhi syarat tiga digit ±1 serta satu digit 0
• Di 4 dimensi, dimungkinkan struktur fraktal baru bernama “orthotopeflower”
• Seluruh struktur dapat divisualisasikan secara efektif pada bidang sebagai kisi 7x7 dari kisi 7x7

Batas generalisasi dimensi tinggi

• Jika mempertimbangkan gabungan batasan matriks, pertumbuhan ukuran, dan vektor antar-bilangan bulat, struktur ini hanya valid pada dimensi 1, 2, dan 4
• Pada dimensi yang lebih tinggi, tidak mungkin menyusun matriks bilangan bulat yang memenuhi semua syarat tersebut

Keterkaitan dengan sistem bilangan lain

• Seperti Quater-imaginary base (sistem bilangan dengan basis imajiner 2i), konsep sistem bilangan berbasis matriks dapat diperluas hingga bilangan kompleks dan kuaternion
• Penulis juga mengeksplorasi gagasan pengodean quaternion melalui matriks 4D (basis: i+j+k), tetapi verifikasi yang sepenuhnya ketat diserahkan kepada dirinya di masa depan

Penutup

• Eksplorasi jangka panjang seseorang terhadap fraktal, sistem bilangan, dan aljabar linear menghasilkan penemuan matematis yang indah
• Coretan kecil yang kreatif dan rasa ingin tahu dapat benar-benar menjadi pemicu untuk mengungkap prinsip yang mendalam
• Ini adalah contoh bagaimana kebetulan, trial and error, dan ketekunan dalam proses eksplorasi dapat melahirkan ide-ide baru dalam matematika dan komputasi
• Penulis juga menekankan sikap menerima visualisasi yang belum sempurna atau kesalahan aturan sebagai bagian dari proses eksplorasi

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Karya yang luar biasa dan pengalaman membaca yang menyenangkan

  • Cliff, terima kasih banyak; video-video Numberphile sangat menginspirasi saat masih kecil dalam menemukan keindahan matematika

• Tulisan yang terasa sangat penuh wawasan dan matang, terutama menyukai visualisasi 3D; ini mengingatkan pada proyek yang dibuat beberapa tahun lalu dengan menggunakan recursive decimation agar efek yang mirip fraktal bisa dibuat dari gambar apa pun, bisa langsung bereksperimen di https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/, tekan Blursort 2x2 beberapa kali lalu klik Animate untuk membuat animasi, juga mendukung salin/tempel gambar, berjalan sepenuhnya di browser tanpa backend terpisah, dan tidak direkomendasikan di perangkat mobile

  • Penasaran apakah ini juga bisa bekerja dalam 3D

• Tadinya mengira ini bacaan ringan, tapi ternyata cukup panjang, jadi sempat di-skim sebentar saat bekerja; berencana kembali lagi nanti untuk mencoba berbagai hal, benar-benar tulisan yang dibuat dengan sangat baik

• Pendapat bahwa tulisannya sangat bagus, meminta dibagikan bagaimana sistem penomoran "middle out" itu dirancang, serta curhat bahwa saat memecahkan soal matematika sendirian ide-ide yang menginspirasi seperti ini jarang muncul

  • Meski urutannya sedikit tertukar di tulisan, idenya terbentuk saat menyadari bahwa cara fraktal ini tumbuh lima kali lipat, sistem bilangan basis 5, dan "spiral" yang disebut dalam tulisan semuanya bisa saling cocok secara alami; juga banyak memikirkan cara menggambar fraktal ini secara terprogram, lalu secara alami terpikir pendekatan memulai dari tengah dan berkembang ke luar; ada kisah tentang Richard Feynman yang menyimpan berbagai masalah di kepalanya dan perlahan mengumpulkan penemuan hingga akhirnya menyelesaikannya secara dramatis, dan dengan rendah hati dijelaskan bahwa dirinya pernah mengalami hal serupa pada satu masalah, tetapi masih jauh dari level itu

• Saat asyik membaca, terpikir L-system untuk menggambar fraktal "wallflower", bisa dilihat lewat tautan https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip..., meski setelah dipikir lagi mungkin justru menghasilkan fraktal yang berbeda

• Pujian bahwa ini tulisan yang keren, serta berharap ada foto fraktal yang benar-benar dipasang di dinding; tautan video Knuth juga sangat bagus, meski mengejutkan karena belum pernah mengetahuinya sampai sekarang

  • Bukankah itu ada di sisi kiri gambar terakhir?

• Mengajukan pertanyaan apakah pendekatan serupa bisa diterapkan untuk membuat pola dithering dengan tingkat detail yang bisa diatur

• Kesan bahwa ini tulisan yang bagus, sambil merekomendasikan Heighway dragon yang terkenal dari Jurassic Park karena juga cukup keren, dengan tautan https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

• Menyebut kesannya agak mirip baling-baling

  • Menunjukkan bahwa bentuk dengan keempat lengan yang semuanya melengkung ke arah yang sama sayangnya mudah mengingatkan pada berbagai bentuk swastika

• Kesan bahwa ini adalah pengalaman yang menyenangkan