Grid Resistor Tak Hingga
(mathpages.com)- Dalam kisi persegi tak hingga yang setiap node bertetangga dihubungkan oleh resistor R, resistansi efektif antara dua node yang bertetangga menjadi R/2 melalui simetri dan superposisi
- Perhitungan ini menggunakan penjumlahan antara medan yang memasukkan arus ke satu node dan medan yang menarik arus dari node tetangga, serta persamaan Laplace diskret di mana tegangan tiap node mengikuti rata-rata empat node di sekitarnya
- Namun, penjelasan bahwa “arus mengalir keluar ke tak hingga” tidak ketat secara matematis, dan resistansi dari satu node ke tak hingga divergen seperti deret harmonik ganjil
- Karena itu, untuk menentukan solusi dibutuhkan kondisi batas asimtotik seperti limit dari kisi hingga yang besar, dan pada kisi tak hingga yang benar-benar tanpa syarat, solusi dapat bersifat arbitrer
- Resistansi antara dua node umum dihitung dengan persamaan beda dan superposisi deret Fourier, dan untuk resistor satuan, resistansi node tetangga diagonal adalah 2/π
Perhitungan simetri untuk mencari resistansi node bertetangga
- Diasumsikan ada resistor R di antara semua pasangan node bertetangga pada kisi persegi, dan kisi itu membentang tak hingga ke segala arah
- Pertanyaan utamanya adalah bagaimana menghitung resistansi efektif antara dua node yang bertetangga, atau lebih umum lagi, antara sembarang dua node pada kisi
- Metode standar untuk node bertetangga adalah membagi lalu menjumlahkan dua medan arus
- kisi yang menyuntikkan arus ke satu node
- kisi yang mengekstraksi arus yang sama dari node bertetangga lainnya
- Tegangan pada tiap node mengikuti persamaan Laplace diskret, yang memenuhi rata-rata tegangan dari empat node di sekitarnya, dan karena linearitas, solusi dapat ditumpangtindihkan
- Sebagai contoh, jika 4A disuntikkan ke satu node, maka karena simetri dapat dianggap 1A mengalir ke masing-masing dari empat arah melalui resistor
- Jika kemudian medan arus yang mengekstraksi 4A dari node bertetangga ditambahkan, maka total 2A mengalir pada link yang langsung menghubungkan kedua node itu
- Jalur-jalur kisi selain link langsung tersebut juga membawa pembagian arus yang sama, sehingga resistansi link langsung dan resistansi efektif seluruh sisa kisi menjadi sama
- Karena link langsung dan sisa kisi membentuk paralel, resistansi efektif total adalah R/2
Jebakan yang dibuat oleh kondisi batas di tak hingga
- Argumen simetri ini intuitif dan menghasilkan jawaban yang sama dengan metode lain, tetapi tidak membahas secara jelas ke mana arus yang dimasukkan ke satu node pergi dalam kisi tak hingga
- Penjelasan “ditanahkan di tak hingga” saja tidak memadai
- Jika dipikirkan lintasan persegi konsentris yang mengelilingi node pusat, jumlah link ke arah luar bertambah menjadi 4, 12, 20, 28, … saat semakin jauh
- Total resistansi menuju tak hingga yang terkait dengannya kira-kira berbentuk deret harmonik ganjil dan karenanya divergen
- Agar arus dapat mengalir dari satu node ke tak hingga, diperlukan tegangan tak hingga antara node itu dan “tak hingga”
- Pendekatan yang lebih ketat adalah terlebih dahulu menggunakan kisi hingga yang besar, lalu memeriksa apakah hasil yang diinginkan didekati dalam limit saat ukuran kisi diperbesar
- Kondisi batas yang berasal dari limit kisi hingga yang berpusat pada node arus positif dan kisi hingga yang berpusat pada node arus negatif harus konvergen secara konsisten, dan pada saat itu arus bersih ke tak hingga harus 0
- Pembahasan terkait ada di catatan lain, dan kisi tak hingga yang sesungguhnya tetap tak tentu tanpa kondisi batas asimtotik
Idealisasi fisik dan ketidakpastian solusi
- Asumsi bahwa medan arus pada kisi tak hingga sudah terbentuk sepenuhnya hingga ke tak hingga tidak dapat diwujudkan lewat proses fisik realistis dalam waktu terbatas
- Kisi dalam persoalan ini dianggap hanya terdiri dari resistor ideal tanpa kapasitansi atau induktansi, sehingga dinamika rangkaian tidak dipertimbangkan
- Jika idealisasi ini diteruskan begitu saja, hasilnya seperti menyimpulkan bahwa medan arus dapat terbentuk seketika hingga ke tak hingga, yang tidak sesuai dengan kecepatan rambat terbatas pada rangkaian nyata
- Semua rangkaian nyata memiliki kapasitansi dan induktansi, sehingga kecepatan rambat tidak mungkin tak hingga
- Alasan mengapa terasa seolah ada satu jawaban tunggal adalah karena kita secara implisit memberi perilaku asimtotik yang masuk akal secara fisik, seperti limit dari kisi hingga besar dengan sumber lokal
Generalisasi dengan persamaan beda
- Resistansi antara dua node yang lebih umum dihitung dengan menumpangtindihkan solusi dari persamaan beda dasar
- Pada kisi satu dimensi dengan resistor satuan, jika 1A diekstraksi di titik asal dan arus bersih pada node lain dibuat 0, solusi tegangannya berbanding lurus dengan nilai absolut jarak
- Akibatnya, pada satu dimensi, resistansi efektif antara dua node yang berjarak k buah resistor adalah kR, sesuai dugaan
- Pada kisi dua dimensi, arus bersih pada node
(m,n)dinyatakan oleh selisih terhadap tegangan empat tetangganya, dan node dengan arus bersih 0 memenuhi persamaan beda dua dimensi - Solusi dapat dibangun dengan menumpangtindihkan komponen berbentuk
μ^m ν^n, dan ada persamaan karakteristik antaraμdanν - Jika
μ = exp(iα),ν = exp(iβ)diambil, solusi berbentuk Fourier dapat ditumpangtindihkan melalui integral - Untuk membangun solusi yang mengekstraksi 1A di titik asal, nilai absolut pada indeks diambil; di dekat titik asal diperoleh
V(1,0) = 1/4, yang cocok dengan resistansi node bertetangga 1/2Ω - Untuk menghilangkan arus yang tidak diinginkan pada sumbu, beberapa solusi diintegralkan terhadap α, dan fungsi bobotnya ditentukan lewat deret Fourier
Rumus resistansi untuk diagonal dan node sembarang
- Resistansi antara titik asal dan
(m,n)dinyatakan sebagai dua kali selisih tegangan relatif terhadap titik asal, lalu diringkas menjadi bentuk integral - Resistansi node
(1,1)yang berjarak satu langkah diagonal adalah 2/π untuk resistor satuan - Hasil ini juga dapat diturunkan secara aljabar murni tanpa deret Fourier, dan pembahasannya ada di catatan terpisah
- Jika resistansi node bertetangga
1/2dan resistansi node tetangga diagonal2/πdiketahui, maka resistansi berbagai node di sekitarnya dapat dihitung hanya dari persamaan beda dasar - Bentuk umumnya dapat disederhanakan menjadi bentuk yang menyatakan
cos(mα)sebagai polinom trigonometri daris = cos(α) - Jika difokuskan pada arah sumbu
R(0,n), integral dapat diperkecil lagi, dan berbagai nilai dapat dihitung melalui substitusi - Cara substitusi lain adalah dengan menempatkan
α = r+s,β = r-sdan memakai relasicos(r)cos(s)=1untuk menuliskan ulang integral - Resistansi node diagonal
(m,m)untuk resistor satuan diringkas menjadi nilai 2/π dikalikan1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) - Resistansi node lainnya dapat dihitung dari relasi rekurens dasar
1 komentar
Komentar Hacker News
Dari sudut pandang seseorang yang sekaligus matematikawan dan insinyur elektro, insinyur elektro akan berkata bahwa kita tidak bisa mengukurnya tanpa mengalirkan arus; dan bahkan setelah arus dialirkan, karena induktansi dan kapasitansi terdistribusi serta kecepatan propagasi medan, pertanyaannya menjadi “kapan mengukurnya”
Matematikawan yang mendengar itu akhirnya pergi ke bar dan minum minuman keras
Sebab jika cukup jauh, di beberapa node jumlah elektron yang bergerak per detik, yaitu aliran arus, akan menjadi 0 atau 1
Setelah itu, insinyur tinggal menambahkan resistor di pinggir sampai dana riset habis atau tenggat makalah fisikawan mendekat
Pertanyaan yang benar-benar sulit adalah berapa persen kesalahan penyolderan pada kisi di tiap jarak yang masih bisa ditoleransi sebelum meter Fluke di kedua ujung bujur sangkar tengah mendeteksi kerusakan
Saya pernah mendengar soal pendeteksian retakan jarak jauh pada struktur konduktif, misalnya lambung kapal selam serat karbon, melalui perubahan resistansi lokal, jadi ini mungkin memang masalah yang bermakna secara praktis
Yang pertama, komponen pada diagram rangkaian merepresentasikan benda fisik; resistor memiliki sedikit induktansi, non-linearitas, kapasitansi terhadap bidang ground, dan sebagainya. Diagram rangkaian saat memakai alat seperti OrCad biasanya bermakna seperti ini
Yang kedua, resistor dianggap sebagai elemen hukum Ohm ideal, dan kabel tidak memiliki induktansi, tidak ada delay propagasi, maupun resistansi. Menghubungkan kedua ujung sumber tegangan dengan kabel menjadi mirip membagi dengan nol
Kadang, saat memindahkan penafsiran pertama ke penafsiran kedua, resistor, induktor, dan lain-lain ditambahkan secara eksplisit untuk memodelkan perilaku kabel sebenarnya. Jika kita tidak melakukannya sendiri, SPICE mungkin melakukannya untuk kita
Kisi resistor tak hingga hanya ada dalam penafsiran kedua
Maka kisi akan memasuki keadaan tunak dan menjadi wujud sebenarnya yang sesuai dengan diagram rangkaian
Mudah mengira ini tidak terkait dengan masalah dunia nyata, tetapi sebenarnya terkait. Hanya saja perhitungannya sendiri tidak semuanya berguna
Jika dilihat dari titik lokal pada rangkaian terpadu, resistansi substrat silikon pada dasarnya mirip kisi resistor satuan yang besarnya tak hingga
Substrat silikon sering kali berupa tipe-p yang didoping kuat, dan informasi yang diberikan foundry biasanya hanya resistivitas, umumnya di antara 1–100Ω·cm. Pada node proses tercanggih, sering kali nilainya 10Ω·cm
Untuk mendapatkan intuisi tentang coupling noise melalui substrat, kita harus memikirkannya sebagai kisi, bukan sekadar menghitung resistansi antara titik A dan B. Karena kisi kontak substrat juga harus disebar untuk mengumpulkan arus noise, pada akhirnya kisi muncul lagi
Dari sisi pendidikan, menurut saya jauh lebih berguna menanyakan resistansi ekuivalen antara dua titik sudut berhadapan pada kubus yang dibuat dari resistor 1Ω
Itu membantu membangun intuisi tentang simetri rangkaian, hukum arus Kirchhoff, dan semacamnya
Kisi tak hingga tampak seperti sesuatu yang bisa diselesaikan di kelas rangkaian pengantar, tetapi sebenarnya lebih mirip soal matematika yang terlalu rumit
Ini persis jenis soal yang saya benci saat menempuh gelar teknik elektro
Itu eksperimen pikiran yang disukai para profesor
Di kelas kami membahas jaringan resistor tangga tak hingga, tetapi saat itu menerapkan pengetahuan itu ke soal ini terasa seperti lompatan yang cukup besar
Bagian yang tidak saya pahami dari solusi sederhana berbasis simetri adalah asumsi “jika kita menerima bahwa medan arus untuk node positif dan node negatif bisa diperlakukan secara terpisah”
Saya penasaran mengapa arus pada solusi dua node, yaitu solusi yang tidak simetris, menjadi jumlah sederhana dari dua solusi node tunggal, yaitu solusi yang simetris
Tentu solusi dua node juga memiliki sebagian simetri, tetapi bukan simetri awal yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa arus ke semua arah sama
Logikanya sama seperti alasan interferensi atau kisi optik bekerja
Ada satu hal yang tidak saya pahami dalam penjelasan simetri dan prinsip superposisi
Saya tidak mengerti mengapa node yang bersebelahan adalah alpha-beta-alpha, bukan alpha-alpha-alpha. Maksudnya, mengapa hanya satu arah yang dibedakan sementara dua arah lainnya dianggap sama?
Namun karena masalahnya simetris terhadap sumbu vertikal, kita bisa membalik gambarnya, dan arus yang melewati jalur yang sudah dibalik harus sama seperti sebelum dibalik, jadi kita bisa mencatat i mana saja yang sama
Lakukan hal yang sama untuk sumbu horizontal, dan juga untuk simetri rotasi 90 derajat
Pada akhirnya akan muncul beberapa i yang saling sama, dan semuanya bisa dikelompokkan menjadi dua grup yang berbeda. Grup itu bisa disebut alpha dan beta
Dilihat dengan cara lain, operasi simetri yang diberikan tidak bisa memindahkan suatu alpha ke beta. Ini berbeda dengan sesama alpha atau sesama beta yang memang bisa
Saat kuliah S1 fisika, saya pernah bereksperimen dengan teori perkolasi sebagai proyek tim
Kami membuat beberapa kisi dengan tinta konduktif, tetapi dengan sejumlah link, yaitu edge pada graf, yang dihilangkan
Membuat tinta konduktif yang mengalir merata itu sulit, dan saya menulis seluruh perangkat lunak untuk plotter XY agar mengirim perintah menggambar kisi persegi panjang dan kisi segitiga
Lalu kami mengukur resistansi dari satu sisi ke sisi lainnya
Matematika saya tidak cukup kuat untuk mengikuti seluruh tulisan, tetapi intuisi saya sebagai orang yang bekerja di bidang elektronika adalah bahwa ketika sistem terkuantisasi berinteraksi dengan ketakterhinggaan, ketakterhinggaan itu dibatasi oleh ukuran elemen yang terkuantisasi
Muatan itu terkuantisasi. Karena kurang dari satu elektron tidak bisa melewati suatu node, kisi resistor tak hingga terasa seperti bekerja sebagai kisi resistor hingga yang ukurannya berubah sesuai jumlah muatan yang dimasukkan ke sistem
Elektron juga gelombang, dan gelombang itu bisa menyebar ke seluruh kisi
Hal lain yang menarik adalah bahwa dalam kisi tak hingga, selalu ada tegangan tinggi spontan di suatu tempat. Mungkin sangat jauh, tetapi tetap aneh
Dalam banyak kasus, yang penting hanyalah rata-rata atas waktu dan ruang tertentu. Misalnya, aliran makroskopis air berperilaku cukup berbeda dari kecepatan molekul individual
Satu-satunya orang yang kemungkinannya tidak sepenuhnya kecil untuk membentuk intuisi tentang ketakterhinggaan hanyalah matematikawan
Ini adalah kasus diskret dari resistansi lembar. [1]
Dalam kasus ini, resistansi antara dua titik mana pun, di sini node, sama
Dulu ini dibahas dalam kurikulum teknik elektro di universitas, tetapi sekarang saya tidak ingat lagi penurunan solusinya
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
Sebagai tambahan, Veritasium pernah punya video bagus yang mirip dengan ini terkait jalur yang dilalui cahaya
Saya menautkan bagian yang menurut saya merupakan demonstrasi fisika terbaik yang pernah saya lihat
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
Tentu teori dasar yang sama juga menjelaskan bahwa pada batas berhingga selalu terjadi difraksi, dan akibatnya realitas menjadi tak dapat dibedakan dari dunia tempat cahaya benar-benar menempuh semua jalur yang mungkin
Namun menyatakan bahwa cahaya benar-benar melakukan itu bisa dibilang lebih dekat ke metafisika daripada fisika
Selain itu, performa difraksi laser kemungkinan besar juga jauh dari batas fisiknya, sehingga demonstrasinya makin kurang meyakinkan
Pengamat yang sinis akan berkata, “bukankah itu cuma sebagian cahaya dari laser yang keluar dari sumbu?” dan sebenarnya benar. Menurut hukum fisika, sebagian cahaya memang selalu keluar dari sumbu, tetapi demonstrasi itu tidak membuktikan fakta tersebut