Menghasilkan semua fungsi elementer dari satu operator biner tunggal

 (arxiv.org)
7 poin oleh GN⁺ 8 hari lalu | 2 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Diusulkan bahwa operator biner tunggal EML dalam bentuk exp(x) − ln(y) dapat menghasilkan semua fungsi elementer dan konstanta
  • Hanya dengan operator ini dan konstanta 1, semua operasi aritmetika, fungsi transendental (sin, cos, log, √, dll.), serta konstanta kompleks (e, π, i) dapat dinyatakan
  • Semua ekspresi EML tersusun sebagai pohon biner dengan struktur node yang sama, sehingga dapat dimanfaatkan untuk regresi simbolik dan pembelajaran berbasis gradien
  • EML berperan sebagai padanan matematis dari gerbang NAND, yaitu operator universal tunggal dalam matematika kontinu
  • Temuan ini menunjukkan bahwa semua fungsi elementer dapat direduksi menjadi satu aturan generatif tunggal, dan membuka kemungkinan baru untuk pencarian rumus dan AI simbolik

Definisi operator biner tunggal EML

  • Diusulkan bahwa operator biner tunggal berbentuk eml(x, y) = exp(x) − ln(y) dapat menghasilkan semua fungsi elementer
    • Hanya dengan operator ini dan konstanta 1, semua operasi aritmetika (+, −, ×, /, pangkat), fungsi transendental (sin, cos, log, √, dll.), dan konstanta (e, π, i) dapat dinyatakan
    • Sebagai contoh, e^x = eml(x, 1), dan ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1))
  • Operator EML (Exp–Minus–Log) melakukan komputasi di ranah bilangan kompleks (C)
    • Konstanta 1 berfungsi menetralkan suku logaritma melalui ln(1)=0
    • Melalui perhitungan ln(−1), konstanta kompleks seperti i dan π dapat dihasilkan
  • Operator ini diajukan sebagai operasi dasar tunggal dalam matematika kontinu yang berpadanan dengan gerbang NAND dalam logika digital
    • Seperti NAND dapat membangun seluruh logika Boolean, EML dapat membangun semua fungsi elementer

Konsep kalkulator berbasis operator tunggal

  • Diajukan konsep “kalkulator dua tombol”
    • Hanya dengan satu operator biner (EML) dan satu konstanta (1), semua fungsi kalkulator ilmiah dapat dijalankan
    • Bahkan tanpa operator tambahan, semua fungsi elementer real dan kompleks dapat dihitung
  • Jumlah operator tidak dapat lagi dikurangi
    • Setidaknya dibutuhkan satu operator biner dan satu simbol terminal (konstanta)

Ciri struktural representasi EML

  • Semua ekspresi EML memiliki struktur pohon biner yang tersusun dari node yang identik
    • Bentuk tata bahasa: S → 1 | eml(S, S)
    • Ini dapat ditafsirkan sebagai bahasa bebas konteks yang isomorfik dengan struktur Catalan dan pohon biner penuh
  • Struktur seragam ini memungkinkan penerapan optimisasi berbasis gradien (seperti Adam) dalam regresi simbolik (symbolic regression)
    • Dengan memakai pohon EML sebagai sirkuit yang dapat dipelajari, pemulihan tepat fungsi elementer berbentuk tertutup dapat dilakukan pada kedalaman pohon dangkal (maksimum 4)
    • Jika hukum pembangkitnya berupa fungsi elementer, bobot yang dipelajari dapat berkonvergensi ke bentuk rumus yang tepat

Proses penemuan dan implikasi matematis

  • Operator EML ditemukan melalui pencarian menyeluruh yang sistematis (exhaustive search)
    • Hasil pencarian mengonfirmasi bahwa EML membentuk dasar operasi lengkap untuk kalkulator ilmiah
  • Digunakan pendekatan “kalkulator rusak” (broken calculator) yang secara bertahap mengurangi jumlah operator
    • Dari 4 → 3 → 2 → 1 operator sambil mempertahankan fungsi lengkap
  • EML memiliki kesederhanaan yang tak terduga, dan merupakan operator biner yang didefinisikan oleh fungsi elementer itu sendiri
  • Keberadaan EML menunjukkan bahwa fungsi-fungsi elementer berada dalam hierarki generatif yang jauh lebih sederhana
    • Beragam fungsi dapat direduksi menjadi kombinasi exp dan ln
  • Karena semua rumus matematika dapat dinyatakan dengan satu komponen yang dapat diulang, maka dimungkinkan
    • representasi rumus secara sirkuit yang mirip dengan konstruksi berbasis transistor pada rangkaian elektronik
  • Representasi sirkuit yang seragam ini membuka kemungkinan baru untuk pencarian, evaluasi, dan pembelajaran rumus

Konsep terkait dan konteks historis

  • Universalitas elemen dasar tunggal merupakan konsep penting dalam matematika, teknik, dan biologi
    • Contoh: gerbang NAND/NOR, fungsi aktivasi ReLU, kombinator K,S, OISC(SUBLEQ), otomata seluler Rule 110, dll.
  • Elemen tipe Sheffer tergolong langka, dan penemuannya memerlukan waktu, komputasi, dan keberuntungan
    • EML diajukan sebagai salah satu contoh operator kontinu tipe Sheffer
  • Hal ini bertumpu pada relasi reduksi yang telah dikenal, seperti saling keterwakilan logaritma dan eksponensial (x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) serta rumus Euler (e^{iφ} = cos φ + i sin φ)

Himpunan fungsi elementer dan perluasan ke depan

  • Riset ini mengambil himpunan fungsi elementer setara kalkulator ilmiah sebagai titik awal
    • Konstanta: π, e, i, −1, 1, 2, x, y
    • Fungsi unari: exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, dll.
    • Operasi biner: +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
  • Dibuktikan bahwa seluruh himpunan ini dapat sepenuhnya digantikan oleh operator tunggal EML dan konstanta 1
  • Dalam pencarian awal, juga ditemukan operator serupa dengan sifat yang lebih kuat
    • Contoh: operator varian ternary yang tidak memerlukan konstanta
  • EML diajukan sebagai titik awal yang menunjukkan kemungkinan adanya operator generatif tunggal dalam matematika kontinu
    • Ke depan, ada beragam kemungkinan aplikasi seperti penemuan rumus otomatis, AI simbolik, dan optimisasi representasi matematis

Bacaan terkait

2 komentar

 
carnoxen 6 hari lalu

Jika dinyatakan sebagai rumus, berarti $eml(x, y) = e^x - ln(x)$, ya.

Namun, sepertinya baru akan benar-benar berguna jika ada prosesor yang bisa menghitung $e^x$ atau $ln(x)$ sekaligus.
 
GN⁺ 8 hari lalu
Komentar Hacker News

  • Pendekatan ini bukan sesuatu yang istimewa atau cara dengan biaya komputasi paling rendah
    Misalnya, jika didefinisikan f(x, y) = 1/(x - y), ini juga menjadi operator universal
    Jika x#y = 1/(x - y), maka x#0 = 1/x menghasilkan kebalikan, dan (x#y)#0 = x - y dapat menyatakan pengurangan
    Bahwa empat operasi dasar dapat dibangun hanya dari kebalikan dan pengurangan adalah soal yang cukup umum
    Bukti singkat terkait ada di catatan ini

    • Bagian yang menarik adalah pendekatan ini bahkan mencakup konstanta e, π, i. Juga mencakup fungsi transendental seperti penjumlahan, perkalian, eksponensial, logaritma, dan lain-lain
    • Cara f(x, y) yang kamu sebut memerlukan limit untuk menyatakan konsep tertentu, sedangkan pendekatan EML berbentuk struktur pohon komputasi yang merepresentasikan model sistem
    • Temuan yang bagus. Ini mengutip makalah tahun 1935 (makalah PNAS), dan diskusi terkait juga berlanjut di MathOverflow
    • Jadi penasaran apakah fungsi trigonometri juga bisa diturunkan dari representasi tunggal seperti ini
    • Tapi dengan cara ini, sepertinya akan sulit menangani konstanta standar atau ekspresi bentuk tertutup seperti e, π, exp, log

  • Senang melihat ide bergaya FRACTRAN naik ke halaman utama
    Ini mengingatkan pada cara mengenkode stack 1-bit sebagai bilangan biner.
    Push 0 berarti menggandakan angka, push 1 berarti menggandakan lalu menambah 1. pop setara dengan membagi 2
    Saya memakai bahasa concatenative bernama Rejoice yang didasarkan pada ide seperti ini. Data direpresentasikan sebagai multiset yang dikomposisikan lewat perkalian
    Wiki Rejoice

    • Bukankah kamu harus melacak ukuran stack untuk tahu apakah ada 0 di depan?
    • Penjelasanmu barusan terdengar seperti hanya mengutarakan ulang prinsip dasar bilangan biner

  • Ini adalah benchmark yang bagus untuk menguji performa LLM

    Makalah: https://arxiv.org/pdf/2603.21852
Nyatakan "2x + y" sebagai kombinasi EML

    Opus(paid) gagal dengan alasan “2” bersifat sirkular, tetapi karena ChatGPT katanya sudah melakukannya, berarti berhasil
    ChatGPT(free) berhasil sekali jalan, Grok memperkirakan kedalaman, Gemini berhasil, Deepseek tidak bisa memuat PDF, Kimi berhenti di tengah, GLM lumayan bagus

    • Hari ini saya belajar bahwa kalau LLM ditantang (taunt), hasilnya lebih baik. Mungkin mereka punya jiwa kompetitif
    • Saya hanya menyalin abstraknya ke DeepSeek dan tetap mendapat hasil. Mengurangi nilainya karena tidak tahu PDF rasanya tidak adil
    • Kalau suka eksperimen seperti ini, saya sarankan ikut berkontribusi ke Terminal Bench Science
    • Saya mengubah prompt jadi seperti ini: 
      eml(x,y)=exp(x)−ln(y)
Nyatakan sin(x)/x dengan EML dan konstanta 1
    • mode instant meta.ai juga berhasil sekali jalan 
      2x + y = \operatorname{eml}\Big(1,\; \operatorname{eml}\big(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(L_2 + L_x, 1), 1) \cdot \operatorname{eml}(y,1)),1)\big),1\big)\Big)
      Gemini keliru mengira EML adalah “elementary mathematical layers”

  • Memvisualisasikan 36 fungsi EML dua tingkat yang berbeda untuk satu variabel
    18 yang pertama menghasilkan keluaran real, sisanya melibatkan nilai kompleks di tengah proses
    tautan gambar

    • Akan menarik jika semua fungsi pohon biner dengan kedalaman tetap diklasifikasikan seperti ini, lalu pohonnya dienkode sebagai bilangan biner
      Tabel fungsi dari buku matematika lama mungkin bisa ditafsirkan ulang sebagai lookup hash sederhana

  • Pernyataan “semua komputasi bisa dilakukan hanya dengan EML dan angka 1” mengingatkan saya pada kombinator Iota
    Mirip dengan gagasan mencapai Turing-complete dengan sistem formal yang minimal

  • Tautan makalah saat ini masih v1 sehingga gambarnya belum ada. Harus diganti ke v2
    Saya masih membacanya, tetapi kalau ini benar, bisa jadi penemuan besar dalam beberapa tahun terakhir
    Jika data atau fungsi gelombang bisa di-fit dengan pohon EML alih-alih spline atau polinomial,
    maka fungsi multivariat pun bisa dipelajari dengan gradient descent lalu dikonversi menjadi pohon aproksimasi EML
    Bahkan bisa dilatih agar memenuhi kondisi turunan pada persamaan Schrödinger
    Kedengarannya terlalu bagus untuk jadi kenyataan, tapi hal seperti ini memang pernah terjadi

    • Dari pengalaman saya meneliti bidang ini selama setahun, EML memang kuat, tetapi masalahnya adalah ledakan ekspresi
      Untuk menyatakan satu perkalian saja dibutuhkan pohon kedalaman 8 dan lebih dari 41 leaf
      Ada trade-off antara keanggunan himpunan operasi minimal dan panjang representasi
      Saya telah mengerjakan pendekatan yang menggabungkan jaringan saraf spektral dan symbolic regression menggunakan teori operad dan Category Theory
    • Sama seperti alasan kita tidak mengimplementasikan semua logika Boolean hanya dengan NAND. Itu soal efisiensi komputasi
      Polinomial cepat dihitung dibanding daya ekspresinya
    • Makalah ini menarik dan elegan, tetapi bukan alternatif yang kompetitif untuk regresi atau optimisasi
      Yang kamu sebut mirip dengan symbolic regression yang sudah ada. Itu bidang yang sudah matang
    • Pendekatan berbasis EML memang keren, tetapi bahkan fungsi sederhana (misalnya +) pun sulit diekspresikan
      Meski begitu, ini tetap temuan yang sangat menarik
    • Ini trik yang keren, tetapi menyebutnya penemuan besar terasa agak berlebihan

  • Sepertinya proses penurunan -x salah
    Jika melihat jejak eksekusi mesin stack, eml(z, eml(x,1)) berbentuk e^z - x,
    dan agar ini menjadi -x, haruslah e^z = 0. Namun tidak ada z kompleks seperti itu
    Jika z diuraikan, pada akhirnya muncul masalah seperti ln(0). Hal yang sama berlaku untuk x^-1
    Jika mengasumsikan ln(0)=∞ dan x/∞=0, maka ini bekerja secara “masuk akal”

    • Penulis menyebut notasi RPN, tetapi rumusnya hanya diberikan sebagai gambar sehingga kurang nyaman
      Jika mengikuti urutan perhitungannya, hasilnya ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞
    • Makalahnya sendiri mengakui masalah ini. Saya menilai terlalu cepat

  • Beberapa ide menarik terpikir

    1. Jika nilai absolut ditambahkan sebagai sqrt(x*x), maka min, max, dan signum juga bisa diturunkan
    2. Jika f(x) dan f⁻¹(x) adalah fungsi bijektif yang bisa dinyatakan dengan eml(), maka dengan eml(f(x), f(y)) dan f⁻¹(1) kita bisa membuat basis universal lain
    3. Jika alih-alih logaritma natural dipakai basis berbentuk 2^x - log₂(y), mungkin secara komputasional lebih efisien. Ini mengingatkan pada Elias omega coding
    4. Jika ada algoritma perhitungan turunan untuk pohon eml(), mungkin kita bisa membuktikan dengan jelas bahwa fungsi tertentu tidak dapat memiliki antiturunan simbolik
    5. Perluasan ke domain kompleks juga bisa terhubung dengan logika fuzzy bernilai-kebenaran kompleks. Ada kemungkinan menyatukan logika Lukasiewicz dan logika perkalian

  • Iseng-iseng saya membuat proyek emlvm kemarin

  • Bagian bahwa pemulihan fungsi bentuk tertutup bisa dilakukan dengan pohon EML berkedalaman hingga 4 itu benar-benar keren
    Saya selalu penasaran apakah hal seperti ini mungkin dilakukan