Claude Fable membuat kontracontoh untuk dugaan Jacobian

• Pemetaan polinomial yang diperkenalkan sebagai buatan Claude Fable menjadi kontracontoh dugaan Jacobian karena determinan matriks Jacobian-nya adalah konstanta -2 dan memetakan tiga titik berbeda ke titik yang sama
• Pemetaan ini didefinisikan pada ℂ³ → ℂ³, dan ketiga komponennya semuanya terdiri dari polinomial terhadap x, y, z
• Titik-titik berbeda (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2) semuanya dipetakan ke (-1/4, 0, 0), sehingga bukan fungsi injektif
• Determinan Jacobian dan nilai fungsi untuk dua titik masukan masing-masing dapat diverifikasi melalui perhitungan Wolfram|Alpha yang ditautkan
• Karena memiliki determinan Jacobian yang konstan dan bukan 0 tetapi tetap tidak injektif, rumus yang diajukan ini membantah dugaan Jacobian di ℂ³

---

Pemetaan polinomial dan determinan Jacobian

• Pemetaan ℂ³ → ℂ³ terdiri dari tiga komponen polinomial berikut
  • Komponen pertama: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • Komponen kedua: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • Komponen ketiga: 2x - 3x^2y - x^3z
• Determinan Jacobian dari pemetaan ini adalah -2
• Nilai determinannya dapat dicek di perhitungan Wolfram|Alpha

Tiga titik masukan yang merusak keinjektifan

• Tiga titik berikut berbeda satu sama lain, tetapi semuanya dipetakan ke (-1/4, 0, 0)
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• Nilai fungsi untuk titik masukan pertama dan kedua juga dapat diverifikasi melalui perhitungan Wolfram|Alpha
• Karena itu, pemetaan polinomial ini bukan fungsi injektif, dan bersama dengan syarat bahwa determinan Jacobian-nya konstan serta bukan 0, ini menjadi kontracontoh bagi dugaan Jacobian

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Sekitar 10 tahun lalu, saya pernah bertemu seorang peneliti pascadoktoral yang yakin telah menemukan sesuatu yang mendekati kontra-contoh untuk dugaan Jacobian. Dia dan rekannya melakukan brute force pada polinomial dengan sekitar 16 variabel, masing-masing memiliki 80~700 suku, menggunakan pohon biner untuk pemetaan koefisien
  Saat itu diperkirakan batas bawah untuk (\max(\deg(P),\deg(Q))) dari kontra-contoh ((P,Q)) akan naik sampai 200, jadi sulit dipercaya bahwa Claude Fable menemukan kontra-contoh derajat 7; rasanya benar-benar seperti era baru

  • Sepertinya ada kebingungan antara kasus 2 variabel dan 3 variabel. Yang pertama memang sudah diperiksa sampai di atas derajat 150, dan kontra-contoh kali ini termasuk kasus 3 variabel
  • Saya jadi penasaran apakah kontra-contoh ini juga tidak termasuk dalam ruang pencarian saat itu

• Matematikawan luar biasa Yitang Zhang menghabiskan 7 tahun untuk membuktikan dugaan ini. Pembimbingnya, Moh, menulis bahwa Zhang “gagal secara menyedihkan” dalam pembuktian dugaan Jacobian, “tidak menerbitkan satu pun makalah aljabar geometri” setelah meninggalkan Purdue, dan “membuang 7 tahun hidupnya serta waktu saya”
  https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
  https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
  https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • Ini catatan yang ditulis T.T. Moh tentang masa Zhang di Purdue: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
    Fakta bahwa dokumen seperti ini benar-benar ada saja sudah mengejutkan

• Ini kasus langka ketika memasukkan informasi terobosan ke LLM malah membuat pihak LLM jatuh ke dalam kebingungan mental. Ketika dimasukkan ke Claude Code, cukup mengesankan melihatnya mencoba memastikan dengan memverifikasi dalam tujuh cara sebelum akhirnya tercengang

  • Saya memberi ChatGPT pemetaan itu tanpa konteks apa pun dan berkata, “tolong jelaskan fungsi ini.” Ia menghitung Jacobian dan semacamnya, lalu menyadari implikasi dari hasil yang sedang dilihatnya; setelah memeriksa ulang aritmetika empat kali, ia bahkan mencurigai kemungkinan SymPy telah dimanipulasi, sehingga memutuskan melakukan verifikasi manual dengan pemeriksa simbolik dadakan
  • Saya sudah memastikan bahwa Claude memang tercengang. Gemini lebih dulu mencari di web dan mengutip berita yang sudah ada, sedangkan Kimi lama sekali tidak bisa percaya
  • Siapa sangka “DOES NOT COMPUTE” bisa menjadi situasi nyata
  • Rasanya seperti versi matematika dari fenomena emoji unicorn, yang muncul ketika LLM menerima bukti yang tak terbantahkan yang bertentangan dengan proposisi yang “sangat diyakininya”
  • Saya dengar matematikawan juga mengalami proses serupa ketika bukti asing dari sumber aneh atau bahkan dari diri mereka sendiri ternyata benar. Karena mereka terus-menerus menerima bukti ngawur dari amatir, peluang adanya cacat fatal sangat besar, dan pada bukti mereka sendiri pun ada titik buta karena sulit melihat lompatan pemikiran sendiri secara kritis
    Jadi mereka terus curiga ada sesuatu yang terlewat, berulang kali memverifikasi dengan berbagai cara, dan baru setelah hampir ambruk mereka dengan hati-hati mengemukakan secara publik kemungkinan adanya terobosan baru

• Kelebihan dari pembersihan matematis semacam ini adalah sekarang tak seorang pun perlu membuang waktu untuk membuktikan bahwa hal itu benar. Berikutnya saya berharap LLM menyelesaikan dugaan Collatz, agar bisa menghemat begitu banyak person-year yang telah dicurahkan para korban tanpa sadar

  • Alasan masalah kali ini “mudah” adalah karena dugaannya salah. Jika, seperti yang diperkirakan kebanyakan matematikawan, dugaan Collatz benar, maka pembuktiannya akan jauh lebih sulit daripada masalah Erdős rata-rata
  • Tidak berhenti di situ. Langkah berikutnya adalah menjelaskan pada jenis polinomial apa dugaan Jacobian benar, dan pada jenis apa ia salah
  • Saya adalah matematikawan muda sekitar pergantian abad, dan ungkapan “membuang waktu untuk mencoba membuktikannya” adalah cara berpikir ala MBA yang menuntut terus menghasilkan hasil dan makalah
    Jika Anda menantang masalah sulit, bahkan bila gagal pun Anda bisa memahami hasil dan alat yang terkait dengan lebih dalam lalu menerapkannya ke masalah lain, jadi itu sama sekali bukan buang waktu. Kasus ekstrem menghabiskan bertahun-tahun hanya pada satu masalah adalah pengecualian

• Memang jelas ada masalah dengan penggunaan LLM untuk memproduksi massal kode atau bukti yang kualitasnya meragukan, jadi saya paham perdebatan yang tak ada habisnya. Tetapi dalam pencarian kontra-contoh, brute force memang sudah lazim, jadi menggunakan LLM sebagai brute force yang lebih canggih tampak sebagai pendekatan yang sangat tepat, dan sulit dipahami kenapa reaksinya begitu bermusuhan

  • Ketika mesin makin mahir di wilayah yang tadinya hanya otak manusia yang berguna, itu akan sangat berat bagi banyak orang. Menurut saya, permusuhan itu bercampur antara sikap “sebelum terbukti, semua ini bisa saja omong kosong” dan ketakutan bahwa “kita akan kehilangan banyak hal yang dulu kita anggap membuat manusia istimewa”
    Selama beberapa tahun ke depan, belas kasih akan menjadi sangat penting, dan orang-orang akan menderita baik secara batin maupun lahiriah
  • Menyimpulkan ini sebagai brute force tingkat lanjut tanpa melihat jejak penalaran Fable yang menghasilkan hasil ini tampak seperti lompatan kesimpulan

• Sudah beberapa bulan saya melakukan vibe coding matematika dengan AI, dan ternyata itu mungkin dilakukan dengan sangat mudah. Bagian sulitnya adalah memverifikasi hasil sendiri dan memastikan validitasnya; dengan satu penemuan kecil saya berhasil menyangkal sebuah dugaan dan menulis makalah pertama saya
  Penemuan-penemuan berikutnya cukup substansial di bidang topologi kuantum dan fisika, jadi sekarang sedang saya tinjau dengan sangat ketat sambil menyiapkan publikasi. Waktu yang dihabiskan untuk verifikasi lebih lama daripada penemuannya sendiri
  Jika tertarik pada teori bilangan, makalah pertama ada di sini: https://arxiv.org/abs/2607.09793

  • Saya berlatar belakang fisika dan pernah menerbitkan makalah, tetapi sudah lama meninggalkan dunia akademik. Saya mencoba menyelesaikan masalah fisika yang mencampurkan matematika dan simulasi dengan Claude, dan hasilnya jadi cukup kusut
    Kemampuannya menyiapkan masalah dan mengusulkan pendekatan yang tak terpikirkan sungguh mengejutkan, tetapi kemampuan menafsirkan hasil jauh lebih lemah
  • Saya penasaran sejauh mana Anda berusaha memahaminya sendiri saat bekerja. Dibanding sekadar maju berdasarkan intuisi di permukaan, saya ingin tahu sampai beberapa lapis abstraksi ke bawah pemahaman Anda masuk
  • Saya juga melakukan hal yang sama di type theory

• Karena pengunggah bekerja di Anthropic, besar kemungkinan ia punya akses internal ke Fable generasi berikutnya. Model internal sangat kuat dalam matematika, dan tampaknya akan mencetak rekor baru performa matematika pada benchmark yang akan segera dirilis
  Mungkin itu juga sebabnya ia enggan mempublikasikan prompt dan jejak penalaran yang sebenarnya. Ada kemungkinan hal itu tercakup oleh perjanjian kerahasiaan sampai modelnya dirilis secara resmi

• Tampaknya melompat ke kesimpulan yang terlalu besar. Karena Sol juga bisa menemukan kontracontoh yang sama secara independen, tidak ada alasan untuk menyimpulkan bahwa ada Fable 6 yang melampaui benchmark
  [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

  • Tidak terlalu menggembirakan. Saya tidak diundang ke pesta akses ke AI terbaik, dan saya juga sulit percaya bahwa mereka yang diundang benar-benar mewakili kepentingan saya dengan baik

• Yang mengejutkan, orang-orang tidak menanyakan ini: bagaimana Fable menemukan kontracontoh ini? Apakah ia menebak beberapa keluarga polinomial lalu mencari solusi yang mungkin pada tiap keluarga, melakukan pencarian yang cerdas, atau memakai cara lain, saya penasaran

  • Ada beberapa dugaan dalam percakapan Claude ini: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
    Sumbernya ada di sini: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
    Singkatnya, dalam literatur yang ada sudah ada kontracontoh keliru yang berlaku hampir di semua tempat kecuali satu titik kutub. Tampaknya Fable memakai polinomial ini sebagai dasar, lalu memperluasnya untuk menghilangkan titik kutub sambil mempertahankan strukturnya
  • Semua langkah logika sedang dipindahkan ke verifikasi formal Lean. Siklus umpan balik cepat antara penjelasan yang ditulis AI dan error/peringatan verifikasi Lean dapat menjamin konsistensi logis
    Masalah yang masih tersisa adalah apakah gagasan pembuktiannya benar-benar membuktikan proposisi yang diinginkan, dan bagaimana hasil yang diperoleh harus ditafsirkan. Selain itu, semua isi di dalam kode yang diperiksa kernel konsisten secara logis

• Fakta bahwa kontracontoh ini sekecil ini menunjukkan area yang kemungkinan akan menghasilkan banyak temuan menarik ke depan. Bukan karena masalahnya sangat sulit, tetapi karena sulit memperluas kecerdasan, dan sebelum komputer bisa mengambil alih, hanya sedikit orang yang benar-benar menggali masalah seperti ini secara serius
  Saya sangat menantikan dampak efek ini pada sains, kedokteran, dan bidang lainnya

• Karena saya tidak terlalu paham matematika, mungkin pemahaman setingkat anak 5 tahun saya ini bisa membantu atau dikoreksi. Dugaan ini berarti suatu proses selalu bisa dibalik untuk mengetahui input aslinya, dan pembuktian kali ini menunjukkan bahwa beberapa input menghasilkan output yang sama
  Jadi input tidak bisa dihitung balik dari output, sehingga dugaannya menjadi salah

  • Agar fungsi invers ada, ada prasyarat berupa Jacobian konstan tak nol, dan invers itu juga harus berbentuk khusus, yaitu polinomial. Kontracontoh ini memenuhi prasyarat tersebut sambil memetakan dua input berbeda ke output yang sama, sehingga tidak mungkin ada fungsi invers apa pun, terlepas dari apakah ia polinomial atau bukan
    Mungkin pada titik ini penjelasannya sudah setingkat anak 7 tahun
  • Dugaan ini hanya membahas jenis proses tertentu. Fable menemukan satu proses konkret yang termasuk dalam kelas itu, dan tiga input konkret yang menghasilkan output yang sama. Tentu saja dua saja sudah cukup
    Di sini “konkret” berarti dapat dinyatakan sebagai string berhingga
  • Sudah diketahui sebelumnya bahwa dalam kasus umum dugaan ini salah. Banyak masalah juga bersifat salah secara umum tetapi benar jika dibatasi pada polinomial