- Data dari 350.757 lemparan koin mendukung model fisika DHM bahwa, meskipun koin yang dilempar manusia tampak benar-benar 50:50, ada peluang sedikit lebih tinggi untuk kembali mendarat pada sisi yang awalnya menghadap ke atas
- Model 2007 oleh Diaconis, Holmes, dan Montgomery menyatakan bahwa presesi dan goyangan kecil yang muncul saat manusia melempar membuat koin mempertahankan sisi awalnya lebih lama menghadap ke atas saat berada di udara
- Dalam eksperimen, peluang mendarat pada sisi yang sama adalah 0,508, dan interval kepercayaan 95% [0,506, 0,509] serta Bayes factor 2359 sangat mendukung bias sisi yang sama
- Jika sisi awal ditentukan secara acak, peluang munculnya head adalah Pr(heads)=0.500, sehingga bias head-tail itu sendiri perlu dibedakan dari bias sisi yang sama
- Besar bias bervariasi antarindividu, dan cenderung mengecil pada orang yang melempar lebih banyak, sehingga cara melempar dan latihan dapat memberi pengaruh fisik kecil pada hasil
Model DHM yang diuji dengan 350.757 lemparan
- Lemparan koin sering dipakai sebagai contoh peristiwa acak dalam probabilitas dan statistik, tetapi secara fisik merupakan proses deterministik yang mengikuti mekanika Newton
- Model standar lemparan koin menganggap keacakan hasil berasal dari variasi kecil dalam kondisi awal seperti posisi awal, komposisi koin, gaya ke atas yang diberikan, dan momentum sudut
- Dalam model standar ini, peluang koin yang adil mendarat pada head adalah 50%, yang berarti tidak ada bias head-tail
- Model DHM menambahkan presesi (precession) atau goyangan kecil yang timbul dalam lemparan manusia
- Jika arah sumbu rotasi berubah selama penerbangan, koin akan mempertahankan sisi yang awalnya menghadap ke atas lebih lama di udara
- Akibatnya, peluang mendarat pada sisi yang sama dengan sisi awal menjadi sedikit lebih tinggi dari 50%
- Berdasarkan pengamatan atas lemparan manusia pada umumnya, Diaconis dkk. memperkirakan peluang mendarat pada sisi yang sama sekitar 51%
Bias sisi yang sama dan bias head-tail
- Data kali ini terdiri dari total 350.757 lemparan koin, jauh lebih besar daripada catatan lemparan koin skala besar sebelumnya
- Hasil pendaratan pada sisi yang sama sangat mendukung prediksi rinci model DHM
-
Pr(same side)=0.508
- Interval kepercayaan 95% adalah [0.506, 0.509]
- Bayes factor untuk bias sisi yang sama adalah 2359
- Kecenderungan koin kembali mendarat pada sisi yang awalnya menghadap ke atas muncul secara konsisten lebih tinggi dari 50%, meski kecil
-
Pr(heads)=0.500
- Interval kepercayaan 95% adalah [0.498, 0.502]
- Bayes factor untuk bias head-tail adalah 0.182
- Hasil bahwa tidak ada bias head-tail tampak tidak berubah menurut jenis koin
- Bias sisi yang sama tidak identik pada semua orang, dan perbedaan antarindividu cukup besar
- Bahkan pada orang yang sama, semakin banyak lemparan yang dilakukan, bias sisi yang sama cenderung menurun
- Ini selaras dengan kemungkinan bahwa latihan berkaitan dengan lemparan yang lebih minim goyangan
-
Pengukuran yang terlewat dalam eksperimen sebelumnya
- Eksperimen lemparan koin skala besar juga pernah dilakukan sebelumnya, tetapi sebagian besar tidak mencatat apakah koin mendarat pada sisi yang sama dengan sisi awal, sehingga tidak cocok untuk memverifikasi model DHM
- Sebagai contoh historis, Count de Buffon melakukan 2.048 lemparan, Karl Pearson 24.000, dan John Kerrich 10.000 lemparan koin
- Eksperimen 40.000 kali oleh Janet Larwood dan Priscilla Ku menjadi pengecualian karena memungkinkan perbandingan antara sisi awal dan hasil akhir
- Larwood selalu memulai dari head, dan dari 20.000 percobaan, 10.231 kali berakhir head-ke-head
- Ku selalu memulai dari tail, dan dari 20.000 percobaan, 10.014 kali berakhir tail-ke-tail
- Jika kedua hasil digabungkan, bukti untuk bias dinamis ditafsirkan berada pada tingkat yang ambigu
Dampaknya pada pengambilan keputusan
- Koin yang adil dan dilempar manusia pada umumnya tetap menghasilkan peluang 50:50 antara head dan tail, tetapi kemungkinan berakhir pada sisi yang awalnya menghadap ke atas sedikit lebih tinggi
- Saat lemparan koin digunakan untuk pengambilan keputusan berisiko tinggi, sisi awal harus ditentukan secara acak agar dapat dipakai tanpa bias head-tail
- Bias sisi yang sama muncul lebih besar pada sebagian orang, sehingga cara manusia melempar itu sendiri dapat memberi pengaruh fisik kecil pada hasil
1 komentar
Opini Hacker News
Von Neumann menjelaskan metode elegan untuk mendapatkan hasil yang adil dari koin yang bias
Lempar koin dua kali, dan jika kedua hasilnya sama, mulai lagi
Jika dua hasilnya berbeda, gunakan hasil pertama dari pasangan itu sebagai hasil akhir
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
Koinnya bias sehingga sisi depan muncul 20% dan sisi belakang 80%, tetapi setelah menerapkan metode Von Neumann, hasilnya 50,035% sisi depan dan 49,965% sisi belakang
Menurut penelitian, bias bisa dipilih berdasarkan sisi mana yang diletakkan menghadap ke atas saat memulai
Misalnya, jika menginginkan sisi belakang, lemparan pertama akan dimulai dengan sisi belakang menghadap ke atas; jika hasil pertama sisi belakang, lemparan kedua dimulai dengan sisi depan menghadap ke atas; dan jika hasil pertama sisi depan, ia akan memulai lagi dengan sisi depan menghadap ke atas agar sisi depan keluar lagi dan hasilnya menjadi tidak sah
Jika diasumsikan bias bisa dikendalikan menjadi 75% berbanding 25%, peluang hasil pertama sisi belakang adalah 75%, dan peluang sisi depan muncul setelah itu juga 75%, sehingga peluang mendapatkan hasil yang diinginkan dalam dua lemparan pertama menjadi 56,25%
Skenario terburuk adalah hasil pertama sisi depan lalu gagal mengeluarkan sisi depan lagi, jadi 25% × 25% = 6,25% peluang kalah pada ronde pertama
Pada akhirnya, dalam dua lemparan pertama peluang menang 56,25%, peluang kalah 6,25%, dan peluang mencoba lagi 37,5%; secara keseluruhan tampaknya akan konvergen ke sekitar 90% berbanding 10%
“Alasan proses ini menghasilkan hasil yang adil adalah, jika koin tidak mengubah biasnya di setiap lemparan dan kedua lemparan independen, maka peluang muncul depan lalu belakang sama dengan peluang muncul belakang lalu depan”
Jadi harus selalu memulai dengan sisi yang sama menghadap ke atas
Metode ini berasumsi bahwa pelempar tidak bisa menciptakan bias
ET Jaynes juga menulis dalam Probability Theory bahwa mudah mempelajari cara melempar koin yang adil sedemikian rupa sehingga hasilnya bisa ditentukan sebelumnya, tetapi setelah mencari sedikit pun saya tidak menemukan persis apa yang ia maksud
Sekitar setahun lalu, kami mulai mencari tahu berapa peluang sebuah koin yang adil, ketika dilempar lalu ditangkap dengan tangan, jatuh dengan sisi yang sama dengan sisi yang awalnya menghadap ke atas
Berkat teman, kolaborator, dan orang-orang asing di internet, kami mengumpulkan total 350.757 lemparan koin, dan mengadakan beberapa “Coin Tossing Marathon”: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Hasilnya, kami menemukan bukti kuat atas bias “sisi yang sama” yang diprediksi oleh Diaconis, Holmes, Montgomery 2007
Jika dimulai dengan sisi kepala menghadap ke atas, lebih besar kemungkinannya berakhir dengan sisi kepala, dan begitu pula untuk sisi ekor
Dalam sampel, estimasi rata-ratanya 50,8%, dengan interval kepercayaan [50,6%, 50,9%]
Di antara 48 orang pelempar pun ada perbedaan yang cukup besar dalam bias sisi yang sama, dengan simpangan baku 1,6% dan interval kepercayaan [1,2%, 2,0%]
Perbedaan ini dapat dijelaskan oleh tingkat goyangan yang berbeda-beda pada tiap pelempar
Jika Anda bertaruh 1 dolar pada hasil lemparan koin sebanyak 1000 kali dan mengetahui posisi awalnya, rata-rata Anda bisa menghasilkan 19 dolar
Ini lebih besar daripada keunggulan kasino sebesar 5 dolar pada blackjack 6 dek melawan pemain optimal, tetapi lebih kecil daripada 27 dolar pada roulette single zero
Naskahnya ada di arXiv: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Data publik, kode, dan rekaman video ada di OSF: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Setelah dihitung, kalau dilakukan secara kalem sekitar 20 kali sehari, butuh 10 minggu di luar akhir pekan untuk menghasilkan 19 dolar, dan pada saat itu orang-orang pasti sudah menyadari triknya
Kalau ingin menghasilkan uang dengan cepat, strateginya harus disebarkan ke beberapa orang, tetapi itu akan membocorkan rahasianya
Bahkan jika rekan-rekan Anda sepenuhnya jujur, jika makin banyak orang memakai strategi yang sama secara terbuka, besar kemungkinan akan ketahuan sebelum menghasilkan keuntungan nyata
Tetap saja, ini ide yang menyenangkan untuk dibayangkan, dan hasil makalah serta upaya implementasinya keren
Di sini lemparan koinnya cukup lembut, dan koin tidak naik sampai 1 kaki ke udara
Biasanya ketika membayangkan lemparan koin, seperti sebelum pertandingan olahraga, koin dilempar tinggi dengan putaran cepat, jatuh ke lantai, sedikit menggelinding, lalu sisi tempat ia berhenti yang dilihat
Kalau eksperimennya juga dilakukan seperti itu, saya rasa bias sisi yang sama 50,8% akan jauh lebih dekat ke 50%
Saat bertaruh pada hitam/merah, jika hasilnya 0, semua taruhan tetap diteruskan ke putaran berikutnya
Strategi kemenangan saya adalah selalu bertaruh pada warna yang berlawanan dengan teman saya
Sebaliknya, jika koin dijatuhkan ke permukaan keras hingga memantul, sepertinya biasnya akan hilang
Eksperimen ini bisa dianggap tidak mewakili lemparan koin yang “umum”
Rata-rata setiap peserta melempar koin lebih dari 7000 kali, dan sebanyak itu banyak orang mungkin akan belajar melempar koin dengan cara yang lebih nyaman dan konsisten
Jika variasi gerakan fisik dan gaya berkurang, kemungkinan koin mendarat ke arah yang sama bisa meningkat
Saya rasa hasil ini tidak akan sama untuk orang yang melempar tanpa latihan
Namun kemampuan saya melempar dan menangkap koin dengan tangan tanpa menjatuhkannya jelas meningkat, dan itu sendiri juga butuh latihan
Saya tahu ada teknik untuk menambahkan goyangan pada lemparan, tetapi saya tidak mempelajarinya dan tidak tahu caranya
Aman untuk mengatakan itu bukan teknik yang bisa ditemukan secara intuitif secara kebetulan
Jika tujuannya melihat apakah ada bias yang mendasari, satu orang melempar 7000 kali dan 7000 orang melempar masing-masing sekali adalah hal yang cukup berbeda
Saya masih mencari cara untuk menjelaskan mekanisme munculnya bias ini secara intuitif, atau agar bisa dipahami anak SD
Makalah aslinya menjelaskan bahwa ketika orang biasanya melempar koin, mereka menciptakan sedikit precession atau goyangan, dan karena itu arah sumbu rotasi koin berubah selama terbang
Menurut model Diaconis, akibat precession, koin tetap berada lebih lama di udara dengan sisi awal menghadap ke atas, sehingga probabilitas mendarat dengan sisi yang sama seperti awal menjadi lebih tinggi
Situs eksperimen lempar koin lain menjelaskan bahwa koin yang dilempar secara biasa tidak berputar mengelilingi sumbu horizontal seperti yang dibayangkan, melainkan berputar mengelilingi sumbu miring yang mengalami precession di ruang 3D, sehingga ada “ingatan” tertentu terhadap kondisi awal
Makalah Diaconis memuat penjelasan yang menentukan, tetapi tidak intuitif
Penjelasan terbaik yang bisa saya berikan adalah bahwa saat seseorang melempar, ia menciptakan sejumlah precession, dan jika ada precession, vektor momentum sudut, ketika dimulai dengan sisi kepala, akan lebih lama berada ke arah sisi kepala, sehingga menimbulkan bias
Untuk penjelasan bagi anak SD, sepertinya bagus jika memakai animasi lempar koin untuk menunjukkan area mana yang disapu vektor momentum sudut selama terbang, dan bahwa waktunya mengarah ke sisi kepala sedikit lebih lama
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
Orang memang bisa berlatih seperti ini, dan bagi orang yang ditipu, sangat sulit mengenali bahwa di udara koin tidak berputar, hanya bergoyang
Maka jelas bahwa sisi yang semula menghadap ke atas akan tetap menghadap ke atas saat ditangkap
Langkah berikutnya—bahwa orang yang mencoba melempar secara adil pun menciptakan sejumlah precession dan ini tidak terpisah dari rotasi—sama sekali tidak intuitif bagi saya
Saya selalu mengatakan bahwa hasil lempar koin sangat bergantung pada keadaan awal
Jika memikirkan urutan seperti kepala, ekor, kepala, ekor, maka ketika dimulai dari kepala, jumlah ekor tidak bisa lebih banyak daripada kepala, dan kepala bisa lebih banyak satu
Saya belum mengujinya sendiri, tetapi saya berasumsi bahwa semakin sedikit jumlah putaran, yaitu semakin pendek urutan kepala-ekor, probabilitasnya akan semakin miring
Di sini urutan yang dimaksud bukan hasil lemparan, melainkan urutan sisi yang menghadap ke atas selama berputar
[kepala, ekor] adalah satu putaran yang dimulai dari kepala, dan [ekor, kepala, ekor, kepala] adalah dua putaran yang dimulai dari ekor dan berakhir di kepala
Hasil lempar koin adalah elemen terakhir dari urutan ini
Jika koin yang dimulai dari kepala dilempar lalu langsung ditangkap di udara, hasilnya tentu kepala
Namun jika waktu menghentikan koin adalah T yang relatif panjang, probabilitasnya bisa dilihat seperti suatu penjumlahan
Misalnya jika diskretisasi waktu dibuat \Delta T = 10ms, jumlah interval kepala dan ekor menjadi berbeda, dan ketika T menuju tak hingga, P(H) dan P(T) menjadi semakin mirip
Dalam praktiknya kita tidak menunggu waktu yang berdistribusi seragam, melainkan menunggu selama waktu yang umumnya mendekati distribusi Gaussian, sehingga tiap suku dalam penjumlahan mendapat bobot yang berbeda
Varians dan offset distribusi itu bisa menggeser probabilitas ke arah kepala atau ekor, dan sangat bergantung pada parameter konkretnya
Misalnya jika selalu ditangkap setelah 35ms, hasilnya bisa selalu ekor
Keadaan koin saat menunggu dilempar di atas tangan sudah berada di titik tengah interval sisi yang saat ini menghadap ke atas
Itu karena transisi dari kepala di atas ke ekor di atas terjadi ketika koin berdiri vertikal
Jika sulit dipahami, bayangkan memegang koin pada berbagai sudut lalu membuatnya “datar”
50% sudut berkaitan dengan salah satu sisi, tetapi pada saat koin baru dilempar, ia sudah melewati setengah dari rentang sudut yang merepresentasikan sisi saat ini
Jadi urutan yang benar bukan THTHTH, melainkan lebih dekat ke THHTTHHTTHH
Jika dilihat dengan interval yang sama, kedua sisi muncul dalam jumlah yang sama, dan jika dilihat dengan interval ganjil, dalam setengah kasus ekor lebih banyak dan setengah sisanya kepala lebih banyak
Kelihatannya cukup sulit terjadi, jadi jika keadaan awalnya kepala, urutannya tampaknya akan menjadi ekor-kepala-ekor-kepala
Lain kali kalau harus memutuskan sesuatu dengan lempar koin, saya harus menuntut sistem best-of-350.757
Saya selalu menangkap koin lalu membaliknya ke punggung tangan untuk menunjukkan hasilnya
Kalau begitu mungkin ada bias sisi sebaliknya
Bagaimana cara memberi bias pada lempar koin?
Dari makalahnya, tampaknya mungkin membuat probabilitas mendarat dengan sisi yang sama seperti sisi awal hingga 55%, dan peserta paling ekstrem berada di sekitar itu
Karena bias muncul akibat precession, sepertinya saat melempar harus dibuat agar precession terjadi sebanyak mungkin
Mungkin sebaiknya menempatkan jari sejauh mungkin dari pusat koin, dan memberi gaya sebesar mungkin
Terakhir, saat memperlihatkan hasil, harus menangkapnya dengan sisi atas tetap menghadap ke atas
Bayangkan koin dijepit di antara telunjuk dan ibu jari dengan sisi kepala menghadap ke atas, sementara jari tengah menopang dari bawah; ini tidak jauh berbeda dari posisi awal lempar koin yang umum
Dengan telunjuk, putar koin di dalam bidangnya sehingga sisi kepala terus menghadap ke atas, tetapi gambar kepalanya saja yang berputar
Sekarang, secara bersamaan, jentikkan dengan ibu jari pada titik dekat tepi bawah koin untuk melemparkannya, dan spin bisa diberikan
Jika spin-nya pas, koin sebenarnya tidak terbalik, hanya bergoyang, sehingga mendarat dengan sisi kepala
Pengamat kemungkinan besar tidak tahu apa yang dilakukan, karena pada kecepatan tinggi sulit membedakan dengan mata antara terbalik dan bergoyang
Dalam kasus ini, salah eja kecil membuat makna kalimat cukup kabur
Menarik, tetapi intuisi saya justru berlawanan dengan hasilnya
Saya mengira agar mendarat di sisi berlawanan, koin harus terbalik sebanyak ganjil kali, dan agar mendarat di sisi yang sama, koin harus terbalik sebanyak genap kali
Untuk tiap jumlah pembalikan, jumlah kasus ganjil dan genap bisa sama atau kasus ganjil bisa satu lebih banyak, jadi saya pikir peluang terbalik ganjil kali lebih tinggi
Ada lebih banyak faktor yang bekerja di sini, dan pada akhirnya hanya eksperimen yang memvalidasi model
Saya ingin melihat bagaimana TianqiP melempar koin
Pengguna ini memiliki rasio sisi depan yang cukup tinggi, yaitu 0.601 [0.582, 0.619]
Jika digunakan secara strategis, ini keterampilan yang bisa menghasilkan beberapa dolar