Akar maksimum polinomial real acak lebih mungkin nyata daripada kompleks

(mathoverflow.net)

1 poin oleh GN⁺ 2024-05-12 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp

Apakah akar terbesar dari polinomial acak lebih mungkin nyata daripada kompleks?

Jumlah akar nyata dari polinomial acak dengan koefisien real jauh lebih sedikit daripada jumlah akar kompleks
- Dengan asumsi koefisien dipilih secara acak, independen, dan seragam dalam rentang (-1, 1)
- Untuk polinomial derajat n, jumlah akar nyata secara asimtotik adalah (2 log n) / π + o(1), dan jumlah akar kompleks kira-kira n - (2 log n) / π
Akar terbesar (atau terkecil) dari polinomial didefinisikan sebagai akar dengan nilai absolut terbesar (atau terkecil)
Meskipun jumlah akar nyata secara eksponensial lebih sedikit daripada akar kompleks, data eksperimen menunjukkan bahwa:
- Probabilitas bahwa akar terbesar (atau terkecil) adalah nyata lebih tinggi daripada probabilitas bahwa akar tersebut kompleks
- Probabilitas ini menurun menuju nilai yang mendekati 1/2 saat n menuju tak hingga
Ini bertentangan dengan intuisi karena, meskipun akar nyata jauh lebih sedikit daripada akar kompleks, akar nyata tampaknya lebih mungkin mencakup baik akar terbesar maupun akar terkecil

Apakah probabilitas bahwa akar terbesar (atau terkecil) dari polinomial derajat n adalah nyata akan konvergen (ke nilai yang mendekati 1/2 saat n menuju tak hingga)?

Sampai saat ini, tampaknya masih berupa dugaan yang belum terbukti bahwa probabilitas akar terbesar/terkecil bersifat nyata konvergen ke 1/2. Bukti yang ketat tampaknya masih diperlukan
Diketahui bahwa akar-akar polinomial terdistribusi di sekitar lingkaran satuan dengan sudut yang seragam, dan terdapat tolakan yang sangat lokal antar akar. Namun, akar kompleks dapat menyebar di sekitar lingkaran satuan, sedangkan karena tolakan antar akar nyata, akar nyata cenderung terdorong menjadi lebih kecil atau lebih besar.
Meskipun dibandingkan dengan jumlah akar kompleks, jumlah akar nyata hanya bertambah secara logaritmik, ini tetap dapat dianggap sebagai jumlah akar nyata yang cukup besar.
Dari sudut pandang ini, tidak terlalu mengejutkan jika akar terkecil merupakan akar nyata.
Diperlukan penelitian yang lebih mendalam mengenai distribusi akar polinomial acak dengan koefisien real. Secara khusus, diperlukan pembuktian yang ketat tentang nilai limit probabilitas bahwa akar terbesar/terkecil adalah nyata.

GN⁺ 2024-05-12

Mengejutkan bahwa probabilitas akar real terbesar berada di antara kebetulan semata dan 1/phi
Bilangan prima bukanlah acak, melainkan muncul secara rekursif dari bilangan prima sebelumnya, sehingga pola pertumbuhan alaminya diperkirakan mencerminkan e dan phi
R memiliki dukungan bawaan untuk eksperimen numerik semacam ini
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Muncul pertanyaan lanjutan seperti definisi keacakan dan apakah perbedaan derajat ganjil/genap sudah dipertimbangkan
Diperkirakan bahwa saat koefisien diskalakan, akan terbentuk distribusi tidak seragam untuk semua koefisien selain koefisien terbesar

Pernah menikmati matematika di universitas, tetapi setelah lulus sudah dua tahun hampir tidak mengerjakannya sehingga perlu belajar lagi
Disarankan mencari ide-ide menyenangkan seperti Project Euler atau mencoba kembali soal-soal buku teks

Jika akar dipilih secara acak pada bidang kompleks, hampir mustahil memperoleh polinomial dengan koefisien real, sehingga secara intuitif tampak lebih masuk akal bahwa akar real lebih mungkin muncul
Ada upaya pendekatan intuitif menggunakan simetri refleksi beserta renungan tentang keterbatasannya
Tidak ada rumus umum untuk polinomial derajat 5 ke atas, sehingga sulit membedakan akar real dan akar kompleks
Muncul pertanyaan apakah koefisien polinomial acak itu real atau kompleks
Karena bidang kompleks jauh lebih besar daripada garis bilangan real, hasil ini mengejutkan, berbeda dari dugaan bahwa probabilitas akar real akan mendekati 0