Perkembangan Penting Terkait Hipotesis Riemann

 (mathstodon.xyz)
1 poin oleh GN⁺ 2024-06-05 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Guth dan Maynard untuk pertama kalinya secara substansial memperbaiki batas Ingham tahun 1940 tentang nol fungsi zeta Riemann, tetapi hasil ini masih jauh dari penyelesaian Hipotesis Riemann itu sendiri
  • Objek utamanya adalah N(σ,T), jumlah nol yang bagian realnya setidaknya σ dan nilai mutlak bagian imajinernya paling banyak T; pada σ=3/4, batas lama bertahan lebih dari 80 tahun tanpa kemajuan besar
  • Hasil baru menurunkan batas pada σ=3/4 dari 3/5=0.6 menjadi 13/25=0.52, dan memberikan estimasi densitas nol berbentuk N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Perbaikan ini memperluas rentang tempat teorema bilangan prima dapat dibuktikan untuk hampir semua interval pendek (x, x+x^θ), dari θ > 1/6 menjadi θ > 2/15
  • Hasil ini lebih kuat membatasi kemungkinan adanya “banyak pelanggaran Hipotesis Riemann pada tingkat menengah”, tetapi bukan kemajuan pada wilayah bebas nol (zero-free region) yang mengecualikan satu pelanggaran besar

Batas densitas nol yang diperbaiki Guth–Maynard

  • Makalah Guth dan Maynard New large value estimates for Dirichlet polynomials membuktikan batas baru untuk seberapa sering polinomial Dirichlet memiliki nilai besar
  • Secara khusus, makalah ini menangani situasi kritis ketika polinomial Dirichlet dengan panjang N memiliki ukuran mendekati N^{3/4}, yang selama ini menjadi bottleneck dalam berbagai estimasi teori bilangan analitik yang terkait dengan bilangan prima dan fungsi zeta Riemann
  • N(σ,T) berarti jumlah nol fungsi zeta Riemann yang bagian realnya setidaknya σ dan nilai mutlak bagian imajinernya paling banyak T
    • Hipotesis Riemann dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa N(σ,T) menjadi 0 untuk semua σ > 1/2
    • Karena saat ini hal itu belum dapat dibuktikan tanpa syarat, yang dibuktikan sebagai gantinya adalah estimasi densitas nol, yaitu batas atas nontrivial untuk N(σ,T)

Batas Ingham yang buntu lebih dari 80 tahun

  • σ=3/4 berperan sebagai nilai kunci dalam masalah ini
  • Pada 1940, Ingham memperoleh batas N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}
  • Selama 80 tahun setelahnya, batas ini pada dasarnya tidak membaik, dan yang terjadi terutama hanya penyempurnaan kecil pada suku galat o(1)
  • Keterbatasan ini telah membatasi berbagai masalah dalam teori bilangan analitik
    • Untuk mendapatkan teorema bilangan prima yang baik pada hampir semua interval pendek (x, x+x^θ), selama lama harus tetap berada pada rentang θ > 1/6
    • Hambatan utamanya adalah tidak adanya perbaikan batas Ingham

Angka baru berujung pada hasil untuk interval pendek bilangan prima

  • Guth–Maynard memperbaiki batas Ingham dari 3/5=0.6 menjadi 13/25=0.52
  • Makalah tersebut mencakup estimasi densitas nol berbentuk N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Untuk interval pendek bilangan prima, mereka menurunkan rumus asimtotik pada interval dengan panjang x^{17/30+o(1)}
  • Rentang teorema bilangan prima untuk hampir semua interval pendek (x, x+x^θ) juga ikut membaik
    • Sebelumnya: θ > 1/6 = 0.166...
    • Setelah perbaikan: θ > 2/15 = 0.133...
  • Jika Hipotesis Riemann benar, rentang ini dapat diperluas ke seluruh θ > 0

Manipulasi tak terduga yang digunakan dalam pembuktian

  • Argumennya secara umum bersifat analisis Fourier
  • Sebagian tahap awalnya cukup standar, sehingga bentuknya familier bagi para ahli teori bilangan analitik yang pernah mencoba menembus batas Ingham
  • Setelah itu, sejumlah pilihan yang tidak intuitif memainkan peran kunci
    • Mengendalikan matriks fase n^{it}=e^{it log n} dengan mengambil pangkat enam
    • Tidak menyederhanakan integral Fourier tertentu yang kompleks dengan stationary phase, melainkan mempertahankan bentuk faktorisasi yang nantinya berguna meski harus menanggung kerugian pada eksponen
    • Membagi kasus berdasarkan apakah additive energy dari lokasi-lokasi tempat deret Dirichlet memiliki nilai besar itu kecil, sedang, atau besar, lalu menerapkan argumen berbeda untuk masing-masing kasus
  • Bentuk persis fungsi fase t log n yang melekat pada deret Dirichlet menjadi sangat penting
  • Ini bukan jumlah eksponensial umum dalam analisis harmonik, melainkan cara yang memanfaatkan kekhususan jumlah eksponensial yang muncul dari teori bilangan analitik

Densitas nol dan wilayah bebas nol itu berbeda

  • Hasil ini membantu mengurangi kemungkinan adanya “banyak pelanggaran yang cukup buruk” terhadap Hipotesis Riemann
    • Perbaikan semacam ini sangat berguna untuk memahami bilangan prima pada interval pendek
  • Namun, hasil ini tidak baru-baru ini mengecualikan “satu pelanggaran yang sangat buruk” terhadap Hipotesis Riemann
    • Pengecualian semacam itu ditangani oleh wilayah bebas nol
    • Saat memahami bilangan prima pada interval panjang, wilayah bebas nol memainkan peran sentral
  • Wilayah bebas nol asimtotik terbaik yang diketahui masih merupakan Vinogradov–Korobov zero-free region
    • Dalam notasi ini, jika σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T, maka N(σ,T) sepenuhnya hilang
    • Hasil ini juga hampir tidak bergerak sejak 1958
  • Dalam q-aspect, menghilangkan Siegel zero dari fungsi-L juga akan menjadi terobosan besar dari sisi wilayah bebas nol
  • Dari sudut pandang visualisasi, semakin rendah eksponen θ(σ) yang diketahui, semakin baik batasnya
    • Kurva baru Guth–Maynard memperbaiki batas terbaik antara Ingham dan Huxley di sekitar σ=3/4
    • Namun dalam rentang ini, hasil tersebut belum mencapai density conjecture
    • Hipotesis Riemann setara dengan menurunkan seluruh diagram ke sumbu x

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-06-05
Komentar Hacker News

  • Ada visualisasi fungsi zeta yang dibuat dengan JavaScript, bisa diperbesar tanpa batas dan parameternya juga bisa diutak-atik: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    Ini bisa membantu memahami secara intuitif mengapa hipotesis ini kemungkinan besar benar. Ia merender jumlah parsial dan melacak lintasan zeta
    Dalam rendering, disertakan semua jumlah parsial hingga N-critical yang dihitung otomatis, yaitu titik ketika selisih fase dua suku menjadi lebih kecil dari π, alias batas Nyquist. Setelah itu, perilaku jumlah parsial menjadi monoton
    Kluster tampak seperti mode aliasing yang bergerak maju-mundur ketika frekuensi sesaat suku-sukunya berada di antara kπ dan (k+1)π, dan bagian random walk adalah area yang hanya memiliki satu titik per mode aliasing. Garis hijau menonjolkan simetri jumlah parsial, dan kluster mempertahankan simetri dengan bagian random walk. Simetri ini dirangkum dengan baik dalam makalah ini: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • Beberapa tahun lalu saya terpikir interpretasi pemrosesan sinyal yang intuitif untuk Hipotesis Riemann, dan ringkasnya fungsi zeta bisa dilihat sebagai sampler waktu logaritmik
      zeta(s) adalah transformasi Laplace dari sum(delta(t-ln n)) yang mengambil sampel pada waktu t=(ln n) untuk bilangan bulat n>0, dan laju samplingnya meningkat cepat
      Ini bisa dibayangkan sebagai respons impuls yang keluar dari sebuah black box; tergantung parameter bagian realnya, respons impuls itu bisa berupa energi terbatas atau sinyal daya. Jika diasumsikan energi sum(|1/s|^2) terbatas, yaitu real(s) > 1/2, maka Hipotesis Riemann pada dasarnya mengatakan bahwa jumlah itu tidak nol. Mirip seperti mengatakan bahwa sampler logaritmik tidak bisa menghancurkan informasi tanpa bahkan dicolokkan ke sumber daya
    • Saya juga membuatnya. Punya saya dibuat dengan Unity, dan menampilkan spiral 3D yang naik ke arah sumbu Y
      Menurut saya melihatnya dalam tiga dimensi membantu: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • Wah, punyamu jauh lebih keren daripada punya saya: https://matt-diamond.com/zeta.html
      Tapi menarik juga melihat begitu banyak orang mencoba hal ini. Hasilnya enak dilihat dan ini juga latihan pemrograman yang menyenangkan
    • Saya penasaran rumus apa yang sebenarnya dipakai saat menggambar grafiknya
    • Apakah ada materi bagus yang mudah dicerna untuk topik ini?

  • James Maynard sering muncul di Numberphile, jadi kalau ingin mendengar penjelasan matematika yang mudah diikuti dari salah satu penulis makalah ini, ini layak dilihat: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Jika mencari pengantar Hipotesis Riemann yang lebih mendalam daripada kebanyakan video tetapi tetap dapat diikuti oleh mahasiswa/lulusan STEM, seri video dari zetamath ini benar-benar bagus
    Saya juga bisa memahami tulisan asli Prof. Tao semuanya sampai bagian “mengendalikan matriks inti fase”, jadi jelas video-video itu telah mengajarkan sesuatu
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Saya membayangkan bagaimana rasanya ketika Terence Tao mengatakan ia juga mencoba hal serupa tetapi gagal, lalu merangkum argumen Anda
    “Argumennya sebagian besar bersifat analisis Fourier. Beberapa langkah pertama bersifat standar, dan akan dikenali oleh banyak ahli teori bilangan analitik, termasuk saya, yang pernah mencoba menembus batas Ingham. Namun mereka melakukan sejumlah langkah cerdik dan tak terduga”

    • Sangat lazim jika suatu teknik yang pernah dicoba lalu gagal oleh seorang matematikawan papan atas kemudian berhasil digunakan oleh matematikawan lain
    • Saya belum pernah bertemu langsung dengannya, tetapi tulisan Tao sangat rendah hati dan ramah. Ia juga berbicara terbuka tentang hal-hal yang pernah ia coba tetapi tidak berjalan baik
      Ia juga banyak menulis secara umum tentang alat dan keterbatasannya. Saya jelas merekomendasikan membaca blognya
    • Dua dari penulis makalah ini sudah cukup mapan di bidang tersebut
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • Rasanya seperti meritokrasi sungguhan. Terutama di tempat yang pemeringkatan ketat bukanlah standar, Terence Tao pun mungkin tidak melihat dirinya berada di “puncak” sesuatu
      Selain itu, hal itu juga bisa berarti adanya landasan dan pemahaman yang kuat bahwa tindakan seseorang tidak harus berkorelasi dengan reputasi. Ini khususnya berlaku ketika menghasilkan hasil bukanlah kontes popularitas, melainkan upaya pribadi atau tim yang sangat ketat
      Ini mungkin terasa asing bagi orang-orang yang beraktivitas di lingkungan bisnis umum, perusahaan besar, VC, atau akademia, tempat politik mendominasi, meritokrasi hanya menjadi slogan motivasi yang menyenangkan, dan popularitas menjadi mata uang nyata

  • Terkait pembuktian yang diajukan pada 2018, artikel ini berguna sebagai materi pengantar yang menjelaskan potensi pentingnya
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • Saya penasaran dengan potensi pentingnya pembuktian itu. Artikel tersebut agak samar:

      (Bilangan prima) penting untuk melindungi komunikasi terenkripsi yang dikirim lewat internet. Dan yang penting, tak terhitung banyaknya makalah matematika yang mengasumsikan hipotesis Riemann benar. Jika asumsi dasar ini terbukti benar, “banyak hasil yang diyakini benar akan diketahui benar,” kata Ken Ono, matematikawan Emory University di Atlanta. “Ini semacam orakel matematika.”
      Apakah ada aplikasi yang jelas dan diketahui luas, yang akan membuat pembuktian hipotesis Riemann langsung berdampak praktis? Maksud saya, di luar rasa puas atau “enkripsi yang sedikit lebih baik”

  • Fakta menarik: salah satu penulisnya, Larry Guth, adalah putra Alan Guth, fisikawan teoretis yang terkenal dengan kosmologi inflasi (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Saya penasaran bagaimana orang memandang semua teorema yang bergantung pada hipotesis Riemann dengan menempatkannya sebagai hukum excluded middle
    Kaum konstruktivis menolak hukum excluded middle karena menurut mereka pembuktian “A atau B” harus benar-benar memiliki pembuktian untuk A atau pembuktian untuk B. Sementara itu, belum ada yang memiliki pembuktian RH maupun pembuktian ~RH
    Ini penting dalam apa yang disebut sistem logika tak lengkap, ketika sebagian teorema tidak bisa dibuktikan maupun dibantah; dalam sistem seperti itu, hukum excluded middle adalah aksioma yang tidak dapat diterima

    • Bukankah itu masalah yang agak berbeda? Saya kira intinya adalah keterbuktian dan kebenaran itu dibedakan
    • Saya pernah mendengar logika seperti ini:
      Jika RH tidak bisa dibuktikan ke arah mana pun, maka jelas tidak mungkin ada contoh tandingan terhadap RH. Sebab jika ada contoh tandingan, kita bisa menemukannya dan membuktikan bahwa RH salah
      Jadi jika RH tidak dapat dibuktikan, ia harus benar. Hanya saja ini tampaknya memakai logika dari luar sistem logika tempat RH bekerja

  • Kolom komentar ini anehnya penuh dengan orang-orang yang sebenarnya tidak memahami topiknya, tetapi ingin terlihat pintar, dan malah menghasilkan efek sebaliknya
    Sebaiknya lepaskan rasa tidak aman itu. Tidak apa-apa berkata jujur bahwa ada hal yang tidak dipahami. Setiap orang punya lebih banyak hal yang tidak mereka pahami daripada yang mereka pahami

    • Selain satu komentar yang di-flag, menurut saya komentarnya cukup mendalam dan menarik. Ada juga demo visualisasi keren dari fungsi zeta Riemann:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      Justru komentar Anda terdengar cukup merendahkan, dan terasa seperti proyeksi alih-alih kontribusi yang bermakna
    • Memangnya hanya kolom komentar ini?

  • Bisa dijelaskan untuk orang yang bukan matematikawan?

    • Salah satu masalah terbuka paling penting dalam matematika adalah hipotesis Riemann. Isinya adalah bahwa semua solusi dari persamaan tertentu zeta(z)=0 memiliki bentuk tertentu
      Hampir semua matematikawan yang masih hidup pernah mencoba memecahkannya pada suatu titik dalam hidup mereka. Hipotesis ini punya implikasi mendalam dalam teori bilangan, misalnya distribusi bilangan prima
      Dalam makalah terbaru, beberapa matematikawan mengklaim telah memberikan batas yang lebih kuat tentang di mana solusi-solusi itu bisa berada. Dalam tulisan yang ditautkan, Terrence Tao, salah satu matematikawan terbaik yang masih hidup, menilai makalah itu sangat tinggi
      Secara pribadi, saya rasa ini belum sampai pada tahap yang sangat menarik bagi orang yang bukan matematikawan. Hasilnya sangat teknis, dan bisa saja ternyata salah atau tidak lengkap dalam proses peninjauan lanjutan
      Ada banyak bahan bacaan tentang hipotesis Riemann, implikasinya, dan berbagai upaya untuk memecahkannya
    • Bayangkan Indiana Jones and the Last Crusade. Kita belum masuk ke ruangannya, tetapi sudah menonaktifkan satu jebakan di dalam kuil
    • Untuk latar belakang, video ini menjelaskan gambaran umum hipotesis Riemann dengan baik: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • Ada rumus pendekatan untuk kira-kira berapa jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari N saat N semakin besar
      Jika hipotesis Riemann benar, kita akan tahu bahwa galat dari pendekatan ini terkendali dengan baik dan kecil; dengan begitu, banyak hasil pendekatan lain bisa dibuktikan. Ada banyak hasil berbentuk “jika hipotesis Riemann benar…”
    • Prime Obsession adalah buku pengantar sepanjang satu buku yang bagus tentang hipotesis Riemann dan Riemann sendiri, tanpa mengasumsikan latar belakang matematika

  • Timing-nya pas. Saya sedang mendengarkan The Humans karya Matt Haig, dan ceritanya dimulai setelah seseorang membuktikan hipotesis Riemann