Pengantar Animasi Deret Fourier

 (andreinc.net)
2 poin oleh GN⁺ 2024-06-05 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp

Dari Lingkaran ke Epicycle (Bagian 1) - Pengantar Animasi tentang Deret Fourier

Daftar isi

  • Lingkaran
  • Bilangan π
  • Radian
  • Sinus dan kosinus
  • Kosinus mendahului sinus
  • Simetri kosinus dan sinus
  • Bilangan kompleks dan lingkaran satuan
  • Perkalian dengan i adalah rotasi sebesar π/2
  • Identitas Euler
  • Rumus Euler, hubungan e, π, dan i
  • Bentuk eksponensial sinus dan kosinus
  • Gelombang sinus
  • Fleksibilitas gelombang sinus
  • Gelombang sinus kompleks
  • Saling meniadakan pada gelombang sinus
  • Jumlah gelombang sinus menciptakan kompleksitas
  • Menjumlahkan gelombang sinus untuk bersenang-senang
  • Tetris gelombang sinus
  • Gelombang sinus dan gelombang persegi
  • Epicycle - pertemuan pertama
  • Epicycle - pemahaman intuitif
  • Epicycle - bunga
  • Deret Fourier
  • Bentuk eksponensial deret Fourier
  • Contoh: deret Fourier dari fungsi kotak
  • Contoh: deret Fourier dari gelombang segitiga
  • Contoh: deret Fourier dari gelombang gigi gergaji
  • Mesin deret Fourier

Lingkaran

  • Lingkaran adalah bangun geometri dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r.
  • Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 1.
  • Lingkaran adalah puncak dari simetri.

Bilangan π

  • π adalah rasio antara keliling lingkaran dan diameternya.
  • π bernilai sekitar 3.14, dan digunakan untuk menghitung keliling serta luas lingkaran.
  • π adalah bilangan irasional sekaligus transendental.

Radian

  • Radian adalah satuan nyata untuk mengukur sudut.
  • Untuk mengonversi sudut ke radian, kalikan sudut dengan π lalu bagi dengan 180.

Sinus dan kosinus

  • Sinus dan kosinus didefinisikan pada lingkaran satuan.
  • Sinus menyatakan koordinat y, sedangkan kosinus menyatakan koordinat x.
  • Kedua fungsi ini adalah fungsi periodik dengan periode 2π.

Kosinus mendahului sinus

  • Kosinus mendahului sinus sebesar π/2.
  • sin(x + π/2) = cos(x)

Simetri kosinus dan sinus

  • Kosinus adalah fungsi genap, sehingga cos(x) = cos(-x).
  • Sinus adalah fungsi ganjil, sehingga sin(-x) = -sin(x).

Bilangan kompleks dan lingkaran satuan

  • Pada bidang kompleks, titik-titik pada lingkaran didefinisikan sebagai z = cos(θ) + i*sin(θ).

Perkalian dengan i adalah rotasi sebesar π/2

  • Jika suatu bilangan kompleks dikalikan dengan i, hasilnya berotasi berlawanan arah jarum jam sebesar π/2.

Identitas Euler

  • Fungsi eksponensial alami dinyatakan sebagai e^x, dengan e bernilai sekitar 2.71828.
  • Ada hubungan yang kuat antara e dan lingkaran.
  • e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Rumus Euler, hubungan e, π, dan i

  • Rumus Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
  • Saat x = π, e^(iπ) + 1 = 0

Bentuk eksponensial sinus dan kosinus

  • cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
  • sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

Gelombang sinus

  • Gelombang sinus didefinisikan sebagai A*sin(2πft + φ).
  • A adalah amplitudo, f adalah frekuensi, ω adalah frekuensi sudut, dan φ adalah offset fase.

Fleksibilitas gelombang sinus

  • Gelombang sinus dapat disesuaikan dengan berbagai amplitudo, frekuensi, dan fase.

Gelombang sinus kompleks

  • Gelombang sinus kompleks menangkap perilaku dua gelombang sinus sekaligus, yaitu kosinus dan sinus.
  • Bagian real berperilaku sebagai kosinus, sedangkan bagian imajiner berperilaku sebagai sinus.

Saling meniadakan pada gelombang sinus

  • Dua gelombang sinus yang memiliki amplitudo sama tetapi frekuensi berlawanan akan saling meniadakan.

Jumlah gelombang sinus menciptakan kompleksitas

  • Jika dua gelombang sinus dijumlahkan, akan terbentuk pola yang kompleks.

Menjumlahkan gelombang sinus untuk bersenang-senang

  • Menjumlahkan beberapa gelombang sinus akan menghasilkan pola yang lebih kompleks.

Tetris gelombang sinus

  • Dimungkinkan membuat permainan Tetris menggunakan gelombang sinus.

Gelombang sinus dan gelombang persegi

  • Dengan memilih gelombang sinus yang tepat, kita dapat menghasilkan pola yang dapat diprediksi.
  • Dengan menjumlahkan beberapa gelombang sinus, kita dapat membuat gelombang persegi.

Epicycle - pertemuan pertama

  • Gelombang sinus berkorespondensi dengan lingkaran yang berotasi.
  • Dengan menjumlahkan beberapa gelombang sinus, kita dapat menggambar bentuk yang kompleks.

Epicycle - pemahaman intuitif

  • Setiap epicycle berkorespondensi dengan gelombang sinus tertentu.
  • Menjumlahkan gelombang sinus dapat direduksi menjadi penjumlahan vektor.

Epicycle - bunga

  • Dengan memilih gelombang sinus yang tepat, kita dapat menggambar bentuk yang diinginkan.

Deret Fourier

  • Deret Fourier adalah proses matematis untuk memperluas fungsi periodik menjadi jumlah fungsi trigonometri.
  • Fungsi f(x) dinyatakan sebagai jumlah fungsi-fungsi trigonometri.

Bentuk eksponensial deret Fourier

  • Dengan menggunakan rumus Euler, deret Fourier dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang sinus kompleks.

Contoh: deret Fourier dari fungsi kotak

  • Gelombang persegi dapat didekati sebagai jumlah gelombang sinus.
  • y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))

Pendapat GN⁺

  • Deret Fourier sangat berguna untuk menganalisis dan mensintesis sinyal periodik.
  • Memahami konsep dasar sinus dan kosinus sangat membantu dalam pemrosesan sinyal yang kompleks.
  • Bilangan kompleks dan rumus Euler memainkan peran penting dalam analisis sinyal.
  • Deret Fourier digunakan di berbagai bidang aplikasi seperti pemrosesan sinyal audio dan kompresi gambar.
  • Artikel ini menjelaskan konsep dasar deret Fourier dengan mudah sehingga bermanfaat bagi insinyur pemula.

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-06-05
Opini Hacker News

  • Butuh waktu lama untuk memahami transformasi Fourier. Setelah memahami Discrete Fourier Transform (DFT), inverse FFT, teorema Plancherel, dan teorema Parseval jadi terasa alami untuk dipahami. Setelah memahami aljabar linear, memperluasnya ke transformasi Fourier kontinu menjadi mudah. Melihat rumus terasa lebih mudah daripada materi visual.

  • Tautan kode sumbernya salah. Tautan yang benar ada di sini. Sepertinya animasinya dibuat menggunakan Processing.

  • Penjelasan tentang transformasi Fourier juga bisa ditemukan di kuliah Feynman. Tautan

  • Untuk memahami FFT, saya mengikuti kuliah Introduction to Graduate Algorithms dari Georgia Tech dan mengimplementasikan semuanya dengan Python. Kuliahnya benar-benar bagus. Tautan

  • Saya cukup memahami transformasi Fourier, dan banyak orang membahasnya. Akan bagus kalau transformasi Laplace juga dibahas. Saya pernah memakainya untuk analisis rangkaian elektronik, tetapi sekarang sudah lupa. Tautan

  • Animasi epicycle sangat membantu untuk memahami representasi kompleks dari deret Fourier. Postingan ini jauh melampaui halaman itu. Saya akan membagikannya kepada orang-orang ke depannya.

  • Tutorial ini sangat bagus untuk digunakan bersama buku teks. Saya suka animasi dan animasi interaktifnya. Hanya saja, perlu proofreading.

  • Terima kasih untuk contoh yang luar biasa dan situs web yang keren. Situs ini mudah digunakan, tetapi kebanyakan situs berita statis sering membuat browser crash.

  • Ada pengantar yang bagus tentang pemrosesan sinyal. Direkomendasikan untuk orang yang menyukai visualisasi. Tautan

  • Ada juga karya-karya keren lain dari orang ini. Tautan