Pengantar Animasi Deret Fourier
(andreinc.net)- Berangkat dari invariansi rotasi pada lingkaran dan lingkaran satuan, alur ini menghubungkan secara visual sinus·kosinus, bilangan kompleks, rumus Euler, gelombang sinusoidal, dan epicycle hingga menjadi Fourier Series
- Rotasi pada lingkaran satuan membuat $\sin$ ditafsirkan sebagai koordinat y dan $\cos$ sebagai koordinat x; kedua fungsi memiliki periode $2\pi$ dan selisih fase $\frac{\pi}{2}$
- Pada bidang kompleks, $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ menjadi rotasi pada lingkaran satuan, dan sinusoid kompleks menggabungkan kosinus dan sinus menjadi satu objek berputar
- Menjumlahkan beberapa sinusoid menimbulkan penguatan dan pembatalan; dengan mengombinasikan frekuensi ganjil dan amplitudo yang mengecil, bentuk diskontinu seperti gelombang kotak pun dapat didekati makin akurat
- Epicycle memperlihatkan tiap sinusoid sebagai lingkaran berputar dan penjumlahan vektor; jari-jari berkaitan dengan amplitudo $A$, kecepatan rotasi dengan frekuensi sudut $\omega$, dan sudut awal dengan fase $\varphi$
Rotasi yang dimulai dari lingkaran, $\pi$, dan radian
- Lingkaran didefinisikan oleh pusat $P(a,b)$ dan jari-jari $r$, dan secara aljabar dinyatakan sebagai $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- Jika pusat ditempatkan di titik asal dan jari-jarinya dibuat 1, ia menjadi lingkaran satuan, dengan persamaan yang menyederhana menjadi $x^2+y^2=1$
- Titik pada lingkaran dan titik pantul di sisi seberangnya tetap mempertahankan relasinya meski diputar; invariansi rotasi seperti ini digunakan sebagai intuisi inti dalam matematika Fourier
- $\pi$ adalah rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, dan memiliki nilai konstan $\pi \approx 3.14159...$ pada semua lingkaran
- Keliling adalah $P=2\pi r$
- Luas adalah $A=\pi r^2$
- $\pi$ bukan bilangan rasional, dan juga merupakan bilangan transendental, yaitu bukan akar dari polinom tak nol dengan koefisien rasional
- Radian adalah satuan standar untuk mengukur sudut dalam matematika dan fisika; untuk mengubah derajat ke radian, kalikan sudut dengan $\pi$ lalu bagi dengan 180
- Dalam matematika Fourier, penggunaan radian memungkinkan fungsi trigonometri diperlakukan bukan sekadar sebagai sudut, melainkan sebagai fungsi bilangan real, sehingga kalkulus untuk gelombang dan osilasi menjadi lebih rapi
Interpretasi sinus dan kosinus pada lingkaran satuan
- $\sin$ dan $\cos$ dapat dilihat sebagai pelacak koordinat sebuah titik yang bergerak mengelilingi lingkaran satuan
- $\theta$ adalah sudut antara jari-jari dan sumbu x positif
- $\sin$ adalah perpindahan vertikal titik tersebut, yaitu koordinat y
- $\cos$ adalah perpindahan horizontal titik tersebut, yaitu koordinat x
- Karena titik kembali ke posisi awalnya, $\sin$ dan $\cos$ adalah fungsi periodik dengan periode $2\pi$
- $\cos$ memiliki bentuk gelombang yang sama dengan $\sin$, tetapi bergeser sebesar $\frac{\pi}{2}$, yaitu $90^\circ$
- $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
- Secara teknis, $\cos$ mendahului $\sin$ sebesar $\frac{\pi}{2}$
- Karena selisih fase ini, kedua fungsi membentuk relasi quadrature
- Dalam analisis Fourier, memakai komponen sinus dan kosinus sekaligus memungkinkan sinyal periodik apa pun dinyatakan terlepas dari posisi awalnya, yaitu fasenya
- Dari sudut pandang parity, simetri fungsi, $\cos$ adalah fungsi genap dan $\sin$ adalah fungsi ganjil
- $\cos(x)=\cos(-x)$
- $\sin(-x)=-\sin(x)$
Bilangan kompleks, $i$, rumus Euler
- Pada bidang kompleks, semua titik pada lingkaran satuan berkorespondensi dengan bilangan kompleks yang nilai mutlaknya 1
- Untuk sudut real $\theta$, $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ adalah titik pada lingkaran satuan dan menyatakan keadaan yang telah diputar sebesar $\theta$ dari sumbu real positif
- Mengalikan bilangan kompleks dengan $i$ memutarnya berlawanan arah jarum jam sebesar $\frac{\pi}{2}$, yaitu 90 derajat, pada bidang kompleks
- Nilai mutlak $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ tetap dipertahankan
- Hanya argumennya yang bertambah sebesar $\frac{\pi}{2}$
- Jika bilangan kompleks yang sama dikalikan berulang kali dengan $i$, ia mengunjungi kuadran satu per satu dan setelah empat kali kembali ke posisi semula
- Konstanta natural $e \approx 2.71828$ adalah bilangan irasional sekaligus transendental, dan dapat didefinisikan melalui deret dan limit
- $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
- $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
- $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
- Fungsi eksponensial natural adalah eigenfunction dari diferensiasi, yang ketika diturunkan menghasilkan kembali fungsi yang sama dikalikan konstanta
- $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
- $f(x)=e^{ix}$ dikalikan $i$ setiap kali diturunkan, dan setelah diturunkan empat kali kembali menjadi fungsi semula
- $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
- $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
- $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
- $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
- Pola ini sama seperti rotasi akibat mengalikan bilangan kompleks berulang kali dengan $i$, dan mengarah pada intuisi bahwa $e^{ix}$ menggambar lingkaran pada bidang kompleks
- Rumus Euler adalah $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, dan jika $x=\pi$ disubstitusikan, diperoleh $e^{i\pi}+1=0$
- Dengan rumus Euler, sinus dan kosinus dapat ditulis dalam bentuk eksponensial
- $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
- $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
- Parameter yang sama seperti $x$, $t$, dan $\theta$ dapat ditafsirkan sebagai sudut atau waktu bergantung konteks, sementara bentuk matematisnya tetap sama
Sinusoid dan sinusoid kompleks
- Sinusoid adalah osilasi yang mulus dan berulang, dan sebagai fungsi waktu $t$ dapat dinyatakan seperti $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$
- Tiap suku menentukan bentuk dan gerak gelombang
- $A$ adalah amplitudo, yaitu simpangan maksimum dari nilai tengah 0
- $f$ adalah frekuensi biasa yang menyatakan jumlah osilasi penuh per detik, diukur dalam Hz
- $\omega=2\pi f$ adalah frekuensi sudut, diukur dalam radian per detik, bukan siklus per detik
- $\varphi$ adalah offset fase atau pergeseran fase, yang menggeser sinusoid ke kiri atau kanan sepanjang sumbu x
- $\sin$ dan $\cos$ adalah kasus khusus sinusoid, dan gelombang kosinus sama dengan gelombang sinus yang digeser ke kiri sebesar $\frac{\pi}{2}$ radian
- Dengan mengatur $A$, $\omega$, dan $\varphi$, berbagai osilasi dapat dinyatakan, dari suara gitar bas hingga arus bolak-balik rumah tangga
- Jika sudut statis $\theta$ dalam rumus Euler diganti dengan $\omega t+\varphi$ yang berubah terhadap waktu, hasilnya adalah sinusoid kompleks
- $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
- $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
- Sinusoid kompleks menggabungkan dua gelombang menjadi satu objek matematis
- Bagian real berperilaku seperti gelombang kosinus
- Bagian imajiner berperilaku seperti gelombang sinus
- Kedua komponen bergantung pada sudut rotasi yang sama $\theta=\omega t+\varphi$, sehingga tersinkronisasi
- Jika sinusoid kompleks diproyeksikan ke bidang Y-Z, muncul gelombang sinus; jika diproyeksikan ke bidang X-Z, muncul gelombang kosinus
- Bayangan yang dibuat satu objek berputar pada bidang-bidang yang saling ortogonal tampak sebagai sinusoid bernilai real yang familier
Penjumlahan sinusoid dan interferensi
- Menjumlahkan beberapa sinusoid menggabungkan nilai fungsi di setiap titik, dan mereka saling memperkuat atau membatalkan bergantung pada keselarasan puncak dan lembahnya
- Jika puncak dan lembah dua sinusoid saling berimpit, keduanya dapat saling mengurangi sehingga jumlahnya mendekati 0
- Fenomena ini dapat dipahami sebagai interferensi gelombang
- Sebagai contoh, menjumlahkan dua sinusoid $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ dan $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$ menghasilkan $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ yang membentuk pola kompleks
- Gelombang dengan frekuensi dan offset fase berbeda terus bergantian antara sinkron dan tidak sinkron, dan makin banyak sinusoid yang ditambahkan, makin kompleks pula polanya
Membuat gelombang kotak dari sinusoid
- Jika sinusoid tertentu dipilih dengan cermat, pola geometris yang dapat diprediksi bisa dibuat
- Gelombang kotak tersusun dari jumlah tak hingga berikut
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
- Ekspresi ini hanya menjumlahkan frekuensi ganjil, dengan struktur amplitudo tiap suku yang makin mengecil
- Menjumlahkan kurva kontinu yang halus menghasilkan gelombang kotak dengan bagian atas yang datar melalui interferensi puncak dan lembah
- Makin banyak sinusoid yang dimasukkan ke dalam penjumlahan, makin tajam aproksimasinya
- Karena satu sinusoid berkorespondensi dengan titik yang bergerak mengelilingi lingkaran, proses menjumlahkan sinusoid dapat dilihat sebagai epicycle yang menghubungkan lingkaran-lingkaran berputar
- Dalam epicycle, pusat lingkaran kedua berada di tepi lingkaran pertama, pusat lingkaran ketiga berada di tepi lingkaran kedua, dan seterusnya
- Tiap epicycle berkorespondensi dengan sinusoid tertentu, dan menggabungkannya ditafsirkan sebagai penjumlahan vektor berurutan
- Tiga contoh sinusoid digabungkan sebagai berikut
- $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
- $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
- $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
- $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
- Pada sembarang waktu, vektor posisi total dinyatakan sebagai $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$
- Dengan memilih sinusoid yang tepat, lingkaran-lingkaran bergerak dapat mendekati bentuk yang diinginkan seperti bunga; untuk mengetahui sinusoid individualnya diperlukan Fourier Analysis
Bentuk dasar Fourier Series
- Fourier Series adalah proses matematis yang menguraikan fungsi periodik dengan periode $P$ menjadi jumlah tak hingga dari banyak fungsi trigonometri yang berosilasi
- Dalam analogi sampul album Dark Side of The Moon dari Pink Floyd, fungsi periodik $f(x)$ adalah cahaya, prisma adalah Fourier Mathematics, dan warna-warna yang terpisah berkaitan dengan komponen sinusoid sederhana
- Rumus dasarnya adalah sebagai berikut
- $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
- $A_0$, $A_n$, dan $B_n$ adalah Fourier coefficients, yang menunjukkan seberapa besar frekuensi tertentu dibutuhkan untuk merekonstruksi gelombang asli
- Koefisien dihitung dengan integral
- $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
- $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- Sinus dan kosinus intuitif secara visual, tetapi bisa merepotkan untuk manipulasi aljabar, sehingga dapat diubah ke bentuk eksponensial dengan rumus Euler
- Fourier Series dalam bentuk eksponensial adalah sebagai berikut
- $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
- Dalam bentuk eksponensial, indeks $n$ diperluas hingga bilangan negatif, yang memperkenalkan konsep frekuensi negatif untuk menunjukkan arah rotasi vektor kompleks
- Rumus koefisien terpadu adalah sebagai berikut
- $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$
Perhitungan koefisien fungsi kotak dan gelombang kotak
- Aproksimasi gelombang kotak yang digunakan sebelumnya adalah sebagai berikut
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
- Jika memakai $\omega=2\pi f$, maka $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- Fungsi gelombang kotak dapat ditulis pada interval $[0,2L]$ menggunakan Heaviside Step Function sebagai $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$
- $A_0$ adalah rata-rata fungsi pada interval $[0,2L]$, dan menjadi 0 karena luas positif dan luas negatif saling membatalkan
- $A_n$ adalah koefisien yang mengendalikan suku $\cos$; karena $f(x)$ adalah fungsi ganjil dan $\cos$ adalah fungsi genap, hasil kalinya menjadi fungsi ganjil
- Jika diintegralkan pada satu periode penuh, luasnya saling membatalkan
- Semua koefisien $A_n$ menjadi 0
- $B_n$ adalah koefisien yang mengendalikan suku $\sin$
- Untuk $n$ genap, luas merah dan luas hijau saling membatalkan sehingga nilai integralnya 0
- Untuk suku ganjil, luasnya dijumlahkan
- Hasil perhitungannya adalah $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$
- Karena yang tersisa hanya suku $B_n$ ganjil, gelombang kotak menjadi bentuk berikut
- $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
- Jika diubah dengan $n\rightarrow2k-1$, maka $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
- Dengan mensubstitusikan $L\rightarrow\frac{1}{2f}$ dan $2\pi f\rightarrow\omega$, diperoleh $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- Dalam praktiknya, penjumlahan tak hingga tidak bisa dilakukan, sehingga digunakan jumlah parsial $s(x)$ yang berhenti pada $n$ terhingga
- $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
- Jika $n$ ditingkatkan, akurasi aproksimasi membaik dan celah yang tersisa dalam aproksimasi makin mengecil
- Lima suku pertama terdiri dari sinusoid sederhana yang amplitudonya cepat mengecil dan frekuensinya meningkat
Contoh gelombang segitiga dan gelombang gigi gergaji
- Aproksimasi Fourier Series untuk gelombang segitiga adalah sebagai berikut
- $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
- Gelombang segitiga halus dan cepat konvergen, dan ketika $n$ mendekati 6, bentuk segitiganya menjadi jelas
- Dalam ekspansi gelombang segitiga, suku bernomor genap seperti $s_2(x)$, $s_4(x)$, dan $s_6(x)$ bernilai negatif
- Amplitudo negatif tidak intuitif secara fisik, sehingga dapat ditulis ulang dengan dua cara
- Menggunakan $\sin(-x)=-\sin(x)$ untuk membuat frekuensinya negatif
- Membiarkan amplitudo tetap positif dan menambahkan fase $\pi$
- Dalam praktiknya, cara kedua lebih praktis dan memberikan kontrol geometris yang lebih baik
- $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$ dapat ditulis sebagai $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$
- Fungsi gelombang gigi gergaji terbalik memiliki bentuk berikut
- $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$
Perangkat untuk melihat Fourier Series sebagai epicycle
- Jika dilihat sebagai gerak fisik alih-alih persamaan statis, suku-suku Fourier berperilaku seperti banyak lingkaran berputar yang tersambung ujung ke ujung pada batang
- Dalam perangkat visual, bentuk sinyal yang diinginkan dapat dipilih sebagai sawtooth wave, triangle wave, atau square wave
- Tiap elemen visual berkorespondensi langsung dengan variabel dalam rumus Fourier
- Jari-jari tiap lingkaran adalah amplitudo $A$
- Kecepatan rotasi tiap lingkaran adalah frekuensi sudut $\omega$
- Sudut awal batang di dalam lingkaran pada $t=0$ adalah offset fase $\varphi$
- Gelombang yang kompleks, runcing, dan tajam pun dapat diurai balik menjadi kombinasi lingkaran-lingkaran yang berputar mulus
- Animasi berperan menunjukkan secara bertahap hubungan antara lingkaran, sinusoid, bilangan kompleks, epicycle, dan Fourier Series
1 komentar
Komentar Hacker News
Transformasi Fourier diskret hanyalah matriks ortogonal yang dikalikan ke sebuah vektor, dan FFT invers, teorema Plancherel, serta teorema Parseval juga mengikuti secara alami dari fakta bahwa matriks itu ortonormal
Mungkin ini cara yang baru mengena kalau kita sudah memahami aljabar linear, tetapi setelah mendapatkan sudut pandang diskret, berpindah ke transformasi Fourier kontinu juga menjadi mudah
Secara pribadi, melihat persamaannya langsung jauh lebih mudah daripada melihat lingkaran dan animasi
[1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
[2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
Sisanya hampir semuanya mengikuti dari sana. Dalam salah satu notasi, transformasi Fourier mengalikan f(x) dengan e^{-ikx} lalu mengintegralkannya; integrasi adalah hasil kali dalam raksasa, dan e^{-ikx} semacam “transpose” dari vektor basis e^{ikx}, sehingga pada akhirnya kita mengekspresikan f_i dalam komponen basis tersebut
Kebanyakan orang yang memahami aljabar linear tampaknya akan mempelajari transformasi Fourier dengan cara mereka mempelajari matematika tingkat lanjut, yaitu dari buku teks atau kuliah universitas. Dalam konteks seperti itu, penjelasan seperti “matriks ortogonal yang dikalikan ke vektor” adalah titik awal dasar, tetapi bisa terasa kurang intuitif, dan video YouTube biasanya mencoba mengisi celah itu
Misalnya, video 3b1b perlahan menjelaskan ulang mengapa bilangan kompleks berguna, yang berarti audiens sasarannya memang berbeda sejak awal
Karena itu, untuk topik matematika saya masih mengecek apakah saya bisa menurunkannya sendiri sambil mengerjakan pembuktian secara langsung
Akan menyenangkan kalau konsep bisa masuk ke kepala secara ajaib hanya dengan melihat visualisasi yang indah, tetapi bagi saya itu terasa seperti semacam dopamin intelektual
Ini seperti ungkapan “monoid dalam kategori endofunctor” di bidang sinyal dan sistem
/yang terlewat di tautan href, dan tautan sebenarnya adalah sebagai berikuthttps://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
Untuk animasinya tampaknya memakai Processing
https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
Saat menulis artikel itu saya sedang belajar p5.js, jadi saya memulainya dengan cara yang cukup tidak efisien, dan tidak terlalu bangga dengan itu
Kalau ada waktu, saya akan memperbarui artikel dan memasukkan tautan yang benar
Saya juga sempat punya rencana untuk memvisualisasikan seluruh aljabar linear dasar dengan Processing demi pulih dari depresi atipikal, tetapi selama beberapa waktu saya tidak bisa memprogram di komputer
Penjelasan lain kadang memaksakan bilangan kompleks baru di bagian akhir
Kalau tertarik dengan topik ini, visualisasi transformasi Fourier fraksional [1] dan visualisasi bidang kompleks [2] yang saya buat juga layak dilihat
[1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
[2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
Kalau ada orang yang suka membuat materi penjelasan, saya berharap mereka juga membahas transformasi Laplace [1]
Dulu saya tahu cara memakainya untuk analisis rangkaian elektronik, tetapi sekarang hampir lupa semuanya, jadi ini semacam permintaan malas dari saya
1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Namun artikel ini jauh melampaui halaman tersebut. Ke depannya ini akan bagus untuk dibagikan kepada orang-orang
Introduction to Graduate Algorithmsdari Georgia Tech dan mengimplementasikan seluruh materi kuliahnya dengan PythonKuliah yang benar-benar bagus:
https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
Saya baru pertama kali mendengar Ed dan sebenarnya tertarik, tetapi bagian “see how it works” juga tidak benar-benar memberi tahu bagaimana cara kerjanya. Sayang sekali, tampaknya mengikuti tren sekarang: harus daftar dulu
Ada juga situs berguna yang mengumpulkan video dan buku tentang deret Fourier serta transformasi Fourier:
https://howthefouriertransformworks.com/