Semua Matematikawan Hanya Punya Beberapa Trik (2020)
(mathoverflow.net)- Berpusat pada prinsip bahwa matriks yang saling komutatif dapat didiagonalkan secara simultan, dijelaskan cara menafsirkan berbagai sistem dari sudut pandang fisika
- Dalam sistem dengan simetri translasi, transformasi Fourier digunakan untuk menyelesaikan beragam fenomena fisika seperti persamaan gelombang dan persamaan panas
- Dalam struktur kristal dengan simetri translasi diskret, teori Bloch-Floquet menjelaskan struktur pita energi dan mengungkap perbedaan antara konduktor dan isolator
- Dalam kasus dengan simetri rotasi, persoalan nilai eigen atom hidrogen diselesaikan dengan mendiagonalkan operator rotasi, dan representasi SO(3) terhubung dengan struktur kulit elektron pada tabel periodik
- Melalui simetri SU(3), klasifikasi partikel dalam fisika partikel yang kompleks menjadi tersusun secara sistematis, dan representasi simetri menyingkap struktur organisasi partikel
Prinsip dasar operator dan diagonalisasi
- Konsep intinya adalah sifat matematis “dua matriks yang saling komutatif dapat didiagonalkan secara simultan”
- Jika vektor eigen dari satu operator diketahui, diagonalisasi operator lain menjadi jauh lebih sederhana
- Dalam fisika, umumnya diasumsikan bahwa sebagian besar matriks dapat didiagonalkan
1) Sistem invarian translasi
- Karena vektor eigen dari operator translasi berbentuk ( e^{ikx} ), penggunaan transformasi Fourier menjadi hal yang alami
- Metode ini diterapkan untuk menyelesaikan persamaan gelombang seperti cahaya, suara, elektron bebas, dan persamaan panas dalam medium homogen
2) Simetri translasi diskret dan teori Bloch-Floquet
- Susunan atom dalam benda padat yang membentuk struktur kristal memiliki simetri translasi diskret
- Menggunakan vektor eigen dari operator ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ), yaitu ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) )
- Dari sini diturunkan teori Bloch-Floquet, dan spektrum terbagi menjadi struktur pita
- Teori ini adalah model representatif dalam fisika zat terkondensasi yang menjelaskan perbedaan antara konduktor dan isolator
3) Simetri rotasi dan atom hidrogen
- Dalam sistem dengan invariansi rotasi, operator rotasi harus didiagonalkan terlebih dahulu
- Melalui ini, nilai eigen dan vektor eigen atom hidrogen dapat diperoleh
- Ruang eigen atom hidrogen stabil terhadap rotasi, dan membentuk representasi berdimensi hingga dari SO(3)
- Dimensi representasi irreduksibel dari SO(3) adalah 1, 3, 5, … dan jika spin elektron diperhitungkan, ini bersesuaian dengan kolom pada tabel periodik (2, 6, 10, 14, …)
4) Simetri SU(3) dan fisika partikel
- Fisika partikel itu kompleks, tetapi di dasarnya terdapat simetri SU(3)
- Jika representasi SU(3) dipertimbangkan, berbagai partikel dapat disusun ke dalam klasifikasi yang lebih sistematis dan terorganisasi
- Dengan demikian, “klasifikasi zoologis (zoology)” partikel tampil dalam bentuk yang lebih tertata
Catatan tambahan
- Dalam naskah asli, selain empat contoh di atas juga ada 39 komentar tambahan, tetapi isi rincinya tidak disajikan dalam teks ini
1 komentar
Komentar Hacker News
Ayah saya bukan seorang matematikawan, melainkan seorang insinyur, dan semua masalah nonlinier diselesaikannya dengan Newton-Raphson
Salah satu kenangan pemrograman pertama saya waktu kecil adalah mengimplementasikan Newton-Raphson dalam BASIC di HP85a
Belakangan saya juga mengimplementasikannya dalam RPN di kalkulator HP, dan ikut men-debug program BASIC ayah saya yang mengerikan
Ayah saya hanya mempelajari satu metode pencarian akar numerik dan cara menghitung turunan kedua, lalu memakainya seumur hidup sebagai insinyur proses kimia
Sebagai referensi, dokumen terkait bisa dilihat di sini
Dan ayah saya hidup dengan keyakinan bahwa “programmer FORTRAN yang benar-benar bertekad bisa menulis FORTRAN dalam bahasa apa pun”
Jika benar-benar tahu cara memakainya, SVD adalah alat yang sangat kuat dalam komputasi teknik
Suatu kali saya menjelaskan OOP kepadanya, lalu dia langsung memutuskan bahwa itu “tidak berguna” dan tak pernah menoleh lagi
Pada contoh sederhana ia bekerja sempurna, tetapi pada masalah nyata sering gagal total
Tapi saya takut pada orang yang melatih satu tendangan 1000 kali”
Rasanya ini analogi yang sangat pas untuk ayah yang memakai Newton-Raphson sepanjang hidupnya
Implementasinya juga mudah, dan penjelasan di Wikipedia cukup menarik
Para insinyur tampaknya juga masing-masing punya tema pemecahan masalah sendiri
Ada rekan yang selalu menemukan hack paling sederhana, dan ada juga yang mencintai kode itu sendiri sehingga selalu mengejar ekspresi yang paling elegan
Seorang mantan fisikawan selalu membaca milis-milis niche untuk membangun pemahaman yang mendalam
Saya sendiri cenderung menggali struktur masalah dalam waktu lama, tetapi pada akhirnya alat-alat yang saya dapatkan dari proses itu lebih berguna daripada solusi masalahnya
Ada insinyur infrastruktur yang langsung mencoba apa pun yang ia lihat di Reddit, dan sekarang asetnya mungkin sekitar 50 juta dolar
Insinyur lain mempelajari dan mengintegrasikan setiap teknologi lewat sesi pelatihan secara langsung
Dan ada seorang insinyur terkenal yang menulis komentar terbaik di dunia — ia merangkum masalah, trade-off, performa, hingga bagian yang belum selesai seperti sebuah esai
Pada akhirnya, para insinyur terbaik sama-sama punya kecenderungan untuk “terus mencoba sampai berhasil”
Ini terutama berguna ketika hasilnya salah
Saya menganggap fitur “Go To Definition” sebagai alat paling kuat
Kesan saya dari kelas ilmu komputer adalah bahwa matematika sangat bergantung pada pengenalan pola dan trik
Kalau tidak tahu triknya, tidak ada kemajuan, dan di kelas pun jarang sekali trik-trik ini diajarkan secara langsung
Para profesor menganggap mahasiswa sudah mengetahuinya, atau kalau tidak tahu berarti malas
Feynman pernah berkata dalam otobiografinya bahwa ia berhasil karena memiliki trik matematika yang berbeda dari orang lain
Penjelasan terkait bisa dilihat di sini
Ia terus memperbarui pemahamannya sendiri
Tidak mencolok, tetapi ia menguasai wilayah terbatas itu dengan sempurna
Saat kuliah, dosen saya akan memanggil nama saya kalau saya tertidur saat ia menjelaskan soal
Dalam keadaan setengah tidur saya menjawab, “teorema sisa Tiongkok,” dan 90% kemungkinan jawabannya benar
Itu kelas aljabar, dan memang sesering itu cara tersebut berhasil
Pernah suatu kali dosen tidak bisa menyelesaikan soal saat kuliah
Ia berhenti sebentar, pergi ke ruang kerjanya untuk mengambil catatan, dan di sana hanya ada satu kalimat — “pakai triknya”
Seseorang memperkenalkan Tricki.org, dan itu cukup menarik sebagai wiki teknik pemecahan masalah matematika
Sekarang memang tidak lagi dipelihara, tetapi masih layak dijadikan referensi
Bagi programmer, cara berpikir graf sangat berguna
Ada juga yang bilang SAT adalah trik yang bagus, tetapi saya sendiri belum pernah memakainya
Dalam matematika terapan ada lelucon seperti ini — “kami ini seperti Taco Bell. Kami mencampur enam bahan yang sama untuk membuat menu yang berbeda”
Saya juga punya beberapa teknik yang saya pakai berulang-ulang
Pada akhirnya, hanya ada sedikit ide yang benar-benar menggerakkan dunia, dan seorang profesor pernah berkata, “dalam beberapa dekade terakhir, satu-satunya inovasi yang benar-benar nyata hanyalah compressed sensing”
Bagian tersulit dari compiler adalah parser
Cari parser yang sudah ada, lalu keluarkan hasilnya sebagai template web untuk bahasa itu
Query database lebih baik diubah menjadi inverted index,
dan yang terpenting, locality data harus dipertimbangkan dengan cermat