Mengapa Gauss Menginginkan Segi 17 Beraturan di Batu Nisannya

 (scientificamerican.com)
1 poin oleh GN⁺ 2024-09-18 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Johann Carl Friedrich Gauss, pada usia 18 tahun, membuktikan kemungkinan konstruksi segi 17 beraturan, memberikan jawaban penentu atas masalah geometri kuno yang telah bertahan lebih dari 2.000 tahun
  • Akar masalah ini ada pada konstruksi dengan jangka dan penggaris ala Euclid, dengan inti persoalan apakah sebuah bangun dapat benar-benar dibangun hanya dengan penggaris tanpa skala dan jangka
  • Euclid berhasil membuat segi 3 beraturan, segi 4 beraturan, segi 5 beraturan, dan bentuk turunannya, tetapi bangun seperti segi 7 beraturan dan segi 11 beraturan lama tetap belum terpecahkan
  • Alih-alih langsung menggambar bangunnya, Gauss membuktikan kemungkinan konstruksi dengan mengekspresikan panjang yang diperlukan untuk segi 17 beraturan, yaitu cosine(2π/17), hanya dengan operasi aljabar yang diizinkan
  • Belakangan, dengan tambahan pembuktian ketat dari Pierre Wantzel, menjadi mungkin membedakan poligon beraturan mana yang dapat dikonstruksi dan mana yang tidak

Bangun yang Ingin Ditinggalkan Gauss di Batu Nisannya

  • Di antara banyak pencapaian matematikanya, Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) sangat membanggakan pembuktian segi 17 beraturan
  • Pada usia 18 tahun, Gauss menyelesaikan masalah klasik yang telah menghalangi para matematikawan selama lebih dari 2.000 tahun melalui bangun ini
  • Masalah ini menghubungkan geometri kuno yang berupaya membangun bangun secara nyata dengan sudut pandang modern yang menganalisis persamaan yang mengatur bangun tersebut

Konstruksi Jangka dan Penggaris di Yunani Kuno

  • Dalam geometri Yunani kuno, konstruksi hampir seperti permainan yang ketat untuk membangun bangun hanya dengan penggaris tanpa skala dan jangka
  • Jika dua titik diberikan, jangka digunakan untuk menggambar lingkaran berpusat di satu titik yang melalui titik lainnya, sedangkan penggaris dipakai untuk menggambar garis lurus yang menghubungkan dua titik
  • Kedua alat ini tidak memiliki skala, sehingga jarak maupun sudut tidak bisa diukur secara langsung
  • Aturan-aturan ini berasal dari Elements karya Euclid pada abad ke-3 SM
  • Alih-alih mengandaikan keberadaan sebuah bangun, Euclid berusaha membangunnya secara eksplisit dari bahan sederhana berupa garis dan lingkaran

Membagi Dua Ruas Garis dan Segitiga Sama Sisi

  • Jika ada dua titik A dan B, maka dengan menggambar lingkaran berpusat di A yang melalui B dan lingkaran berpusat di B yang melalui A, kedua lingkaran itu akan berpotongan di dua titik
  • Jika dua titik potong itu dihubungkan dengan penggaris, akan terbentuk garis yang membagi dua sama panjang ruas garis AB dengan tepat
  • Konstruksi yang sama juga menghasilkan sudut siku-siku antara dua garis, hasil yang tidak sepele bila hanya memakai alat yang terbatas
  • Dengan menghubungkan beberapa titik tambahan, kita bisa membuat segitiga sama sisi yang semua sisi dan semua sudutnya sama
    • Setiap sisi segitiga sama sisi adalah jari-jari dari lingkaran-lingkaran yang berukuran sama, sehingga ketiga sisinya sama panjang
    • Ini sesuai dengan proposisi pertama dalam Buku I Elements karya Euclid

Kebuntuan dalam Konstruksi Poligon Beraturan

  • Di antara bangun yang bisa dibuat dengan jangka dan penggaris, poligon beraturan memiliki kedudukan khusus
  • Poligon adalah bangun yang dibatasi sisi-sisi lurus, dan poligon beraturan memiliki semua sisi dan semua sudut yang sama
  • Membuat sembarang segitiga itu mudah, tetapi poligon beraturan seperti segitiga sama sisi yang memiliki simetri sempurna menuntut konstruksi yang lebih halus
  • Euclid mengetahui cara mengonstruksi segi 3 beraturan, segi 4 beraturan, dan segi 5 beraturan
  • Poligon beraturan yang sudah dibuat dapat diperluas dengan menggandakan jumlah sisinya
    • Segi 3 beraturan dapat diperluas menjadi segi 6 beraturan, segi 12 beraturan, dan seterusnya
    • Segi 4 beraturan berlanjut menjadi segi 8 beraturan, segi 16 beraturan, dan seterusnya
    • Segi 5 beraturan dapat diperbesar menjadi segi 10 beraturan, segi 20 beraturan, dan seterusnya
  • Euclid juga menunjukkan cara “mengalikan” segi 3 beraturan dan segi 5 beraturan untuk membuat segi 15 beraturan
  • Namun, segi 7 beraturan dan segi 11 beraturan tetap tidak diketahui apakah bisa dibuat hanya dengan jangka dan penggaris, dan kekosongan ini bertahan selama 2.000 tahun

Peralihan Aljabar ala Gauss

  • Hingga 1796, tidak ada poligon beraturan baru yang ditambahkan ke daftar yang bisa dikonstruksi, tetapi para matematikawan telah memahami lebih dalam tentang konstruksi jangka dan penggaris itu sendiri
  • Gauss mengetahui bahwa konstruksi poligon beraturan dapat direduksi menjadi persoalan mengkonstruksi ruas garis dengan panjang tertentu
  • Untuk membuat segi 17 beraturan, cukup ambil sebuah titik A pada lingkaran satuan berjari-jari 1, lalu bangun titik B yang bergeser tepat sejauh 1/17 keliling lingkaran dari A
  • Jika titik B dapat dibangun, proses yang sama bisa diulang di seluruh keliling lingkaran, lalu titik-titik itu dihubungkan dengan penggaris untuk memperoleh segi 17 beraturan
  • Pada akhirnya, inti persoalannya adalah apakah ruas garis tertentu dengan panjang x bisa digambar, yang secara rumus adalah x = cosine(2π/17)

Panjang yang Dapat Dikonstruksi dan Lima Operasi

  • Pada masa Gauss, kriteria tentang panjang apa yang dapat dikonstruksi dengan jangka dan penggaris sudah diketahui
  • Suatu panjang dapat dikonstruksi dengan tepat bila bisa diekspresikan dari bilangan bulat hanya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan akar kuadrat
  • Misalnya, √(99/5) dapat dikonstruksi karena merupakan hasil penerapan pembagian dan akar kuadrat pada 99 dan 5
  • Sebaliknya, π dan akar pangkat tiga dari 2 tidak dapat dikonstruksi karena tidak bisa diekspresikan hanya dengan lima operasi tersebut
  • Tindakan yang diizinkan oleh alat konstruksi Yunani kuno ternyata selaras dengan operasi-operasi alami dalam aljabar modern
  • Hal ini karena persamaan garis lurus dan lingkaran hanya menggunakan lima operasi itu, sudut pandang yang sulit dibayangkan Euclid pada masa sebelum aljabar

Pembuktian Segi 17 Beraturan dan Klasifikasinya

  • Gauss sebenarnya tidak menggambar segi 17 beraturan itu sendiri
  • Sebaliknya, ia membuktikan bahwa bangun ini secara prinsip dapat dikonstruksi dengan mengekspresikan panjang yang diperlukan, yaitu cosine(2π/17), hanya melalui lima operasi aljabar yang diizinkan oleh jangka dan penggaris
  • Bentuk rumusnya rumit, dan menunjukkan bahwa Gauss yang masih remaja telah mencurahkan usaha besar pada masalah ini
  • Lebih jauh lagi, Gauss juga mencirikan poligon beraturan mana yang dapat dikonstruksi dan mana yang tidak
  • Pada 1837, Pierre Wantzel memberikan pembuktian ketat bahwa tidak ada kasus yang terlewat dari klasifikasi Gauss
  • Hasilnya, segi 7 beraturan dan segi 11 beraturan tidak dapat dibuat hanya dengan jangka dan penggaris, dan ada tak terhingga banyak bangun lain yang juga mustahil dibuat dengan cara yang sama

Tidak Ada di Batu Nisan, tetapi Tersisa di Monumen

  • Menurut penulis biografi G. Waldo Dunnington, Gauss sangat bangga telah memecahkan masalah berusia ribuan tahun itu, dan pernah mengatakan kepada temannya bahwa ia ingin menandai batu nisannya dengan segi 17 beraturan
  • Pada batu nisannya yang sebenarnya, segi 17 beraturan itu tidak diukir
  • Sebagai gantinya, di bagian belakang monumen di Brunswick, Jerman, kota kelahiran Gauss, terukir bintang dengan 17 titik sudut
  • Pemahat batu memilih bentuk bintang karena menganggap orang-orang tidak akan bisa membedakan segi 17 beraturan dari sebuah lingkaran

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-09-18
Komentar Hacker News

  • Meski sudah 200 tahun berlalu sejak Gauss dan matematika telah berkembang pesat, kita masih belum tahu poligon beraturan bersisi ganjil terbesar yang secara teoretis bisa dikonstruksi dengan cara Euclid
    Sebagai tambahan bagi yang penasaran, jawabannya direduksi menjadi kombinasi kelipatan bilangan prima Fermat, dan itu karena tidak ada yang tahu apakah ada bilangan prima Fermat setelah 3, 5, 17, 257, 65537. Referensi: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

  • Ada seri 2 video YouTube yang bagus tentang pembuktian ini
    Masalah poligon beraturan yang dapat dikonstruksi dan garis besar pembuktiannya: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    Penjelasan lengkap pembuktiannya: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw

    • Beberapa tahun lalu saya belajar konstruksi bentuk ini dari video Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      Di bagian akhir ditampilkan konstruksi yang dipakai sebagai pengganti nomor gedung pada fasad gedung Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) di 17 Gauss Way, UC Berkeley

  • Bagian bahwa “hanya panjang yang dapat dinyatakan dengan menerapkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan akar kuadrat pada bilangan bulat yang bisa dikonstruksi secara tepat” menarik
    Sudut pandangnya adalah alasan penggaris dan jangka Yunani kuno persis cocok dengan operasi alami aljabar modern +, –, ×, /, √ ialah karena persamaan garis dan lingkaran hanya menggunakan kelima operasi ini. Terkait: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    • Saya penasaran mengapa hanya akar kuadrat yang mendapat status khusus, bukan pangkat pecahan lainnya

  • Saya merekomendasikan siapa pun untuk mencoba langsung beberapa konstruksi dengan jangka dan penggaris. Ini bisa menjadi pekerjaan yang cukup memuaskan dan meditatif
    Oliver Byrne membuat edisi berwarna Elements karya Euclid yang luar biasa indah, dan bisa dilihat secara online. Siapkan pena, kertas, tali untuk menggambar lingkaran, dan tepi buku untuk menggambar garis lurus, lalu coba dari Proposition 1 sebanyak yang Anda mau: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    Ada juga edisi cetak replika Elements versi Byrne (ISBN:9783836577380). Itu salah satu tambahan terbaik di rak buku saya, dan benar-benar indah

  • Saya penasaran apakah benar ada bintang 17-sudut di bagian belakang nisan Gauss. Saya tidak bisa menemukan fotonya online

  • Alasan hasil ini menarik adalah karena ia menunjukkan bagaimana aljabar yang berkembang selama ratusan tahun kembali untuk memperbaiki geometri Euclid
    Tanpa pengetahuan latar, saya mungkin bahkan tidak tahu mengapa masalah ini menarik. Motivasinya cukup mirip dengan Langlands program

  • Jika hanya membaca sebagian besar tulisan matematika, bisa terasa seolah-olah matematikawan abad pertengahan tidak memberi kontribusi apa pun
    Anehnya, para penulis selalu menyebut kontribusi matematikawan Yunani seperti Euclid, tetapi dalam kasus ini mereka langsung melompat ke matematikawan pasca-Renaisans seperti Gauss sebagai tokoh utama, dengan nyaman dan tanpa sadar melewati hampir seribu tahun

    • Fenomena itu setidaknya sebagian dapat dijelaskan oleh runtuhnya Kekaisaran Romawi Barat dan kekacauan relatif di Eropa tengah-barat setelahnya
      Selama kira-kira seribu tahun di antaranya, matematikawan India dan Timur Tengah memimpin, dan tokoh-tokoh seperti Āryabhaṭa, Brahmagupta, dan Al-Khwarizmi memberi kontribusi penting bagi pemahaman matematika modern

  • Benar-benar menarik, dan saya ingin bertanya kepada orang yang lebih memahami pembuktian Gauss. Mengapa pentagon bisa dikonstruksi dengan penggaris dan jangka, tetapi heptagon atau 11-gon tidak? Apa alasan sebagian bilangan prima bisa dan sebagian tidak?

  • Untuk 17, Gauss menemukan bahwa cos(360°/17) bisa dituliskan hanya dengan operasi dasar: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
    Belakangan ia membuktikan bahwa semua segi-n dapat dikonstruksi jika $n=2^k*p_1…*p_r$ dan p_i adalah bilangan prima Fermat (bilangan prima berbentuk 2^(2^m)+1; yang diketahui saat ini hanya 3, 5, 17, 257, 65537). Arah sebaliknya, yaitu bahwa semua n lainnya tidak dapat dikonstruksi, baru dibuktikan beberapa tahun kemudian. Cari saja “teorema Gauss-Wantzel”. Saya hanya membaca sekilas pembuktiannya, tetapi tampaknya itu menggeneralisasi gagasan mengonstruksi cos suatu sudut dengan teori Galois. Edit: atau lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

    • Penjelasan yang sangat cepat dan tidak lengkap bisa diberikan, tapi harus percaya dan ikuti dulu
      Dalam bilangan kompleks, titik-titik sudut pentagon adalah z^5-1=0. Ini bisa difaktorkan menjadi (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0, dan bagian sulitnya adalah menyelesaikan z^4+z^3+z^2+z+1=0
      Persamaan ini tidak terfaktorkan lagi dan derajatnya 4. Akar-akarnya memiliki sifat tertentu yang terkait dengan derajat persamaan, dan penting bahwa sifat itu bernilai 4
      Dengan jangka dan penggaris, kita hanya bisa menyelesaikan persamaan derajat 2, yaitu hal yang setara dengan mengambil akar kuadrat. Jika diulang, sebagian persamaan derajat 4 bisa diselesaikan. Jadi dengan beberapa trik, kita bisa menyelesaikan persamaan itu dan menggambar pentagon
      Untuk 17, persamaannya adalah z^16+z^15+...+z+1=0. Jadi sifatnya bernilai 16 dan perlu memakai akar kuadrat berkali-kali. Setiap kali, sifat akar menjadi dua kali lipat, dari 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. Di rumus bagian bawah tulisan terlihat banyak akar kuadrat yang tersarang dan berulang
      Untuk 7, persamaannya adalah z^6+z^5+...+z+1=0. Sifat akarnya bernilai 6. Dengan akar kuadrat kita hanya bisa menggandakan sifatnya, sehingga menjadi 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., tetapi tidak akan pernah mencapai akar dengan sifat 6
      Masih ada detail teknis lain. Misalnya, untuk menggambar segi-17 kita bisa menyelesaikan sebagian persamaan derajat 16, tetapi tidak berarti semua persamaan derajat 16 bisa diselesaikan
    • Ini berkaitan dengan bilangan prima Fermat
    • Jika tertarik dan punya waktu, ada baiknya menonton 2 video terkait dari kanal YouTube Another Roof[1]
      Jangan heran kalau videonya cukup panjang, karena ia juga meluangkan waktu untuk hal-hal mudah agar penonton umum bisa memahami dasarnya dengan relatif baik
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • Video yang saya posting di komentar lain menjelaskannya dengan cukup mudah didekati: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM

  • Segi-7 tidak pernah terasa seperti masalah sebesar itu bagi saya
    Memang tidak bisa tepat, tetapi bisa sampai tingkat akurasi yang diinginkan. Setidaknya sampai kita mentok pada batas presisi jangka dan penggaris
    Karena 1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768..., kita cepat mencapai batas presisi manusia
    Secara umum, 1/(2^n - 1) bisa dinyatakan sebagai jumlah tak hingga, atau deret yang mendekat tanpa batas. 1/(2^n - 1) = jumlah dari 1/(2 ^ (x * n)) untuk x dari 1 hingga tak hingga. Dan semua orang tahu cara membagi panjang busur menjadi pecahan berpangkat dua
    Mulai dari lingkaran penuh, ambil potongan pertama, lalu bagi lagi potongan kedua dan ambil potongan pertamanya, begitu seterusnya menambahkan potongan kecil hingga cukup mendekati 1/7. Ukur panjang itu dengan jangka lalu bagi sisanya lagi; jika rekursinya cukup jauh sehingga setelah menandai 6 bagian lagi hampir bertemu dengan titik awal, tidak perlu terlalu khawatir
    Meski begitu, mencapai presisi 1/4096 saja dengan jangka dan penggaris rasanya sudah luar biasa, dan 1/32768 pasti tidak akan bisa dilakukan siapa pun

    • Ini juga mengingatkan saya pada klaim lain yang menurut saya salah karena alasan yang berlawanan
      Klaim bahwa kurva Hilbert menutupi seluruh persegi; persegi mencakup semua titik terbatas berbentuk [real, real]. Namun dalam konstruksi rasional dari generator titik sudut rekursif, salah satu dari dua nilai pada setiap pasangan koordinat pasti harus rasional. Hanya saja penyebutnya berbentuk pangkat bilangan bulat tak hingga dari 2
      Bahkan jika ia menutupi seluruh [real, rasional] + [rasional, real], yang sebenarnya juga tidak demikian, ia tetap tidak mencapai seluruh [real, real]
      Pada dasarnya 100% bidang tidak berada di atas kurva itu, dan pada saat yang sama 100% bidang berada dalam jarak infinitesimal dari kurva itu
      Menurut saya ini lebih menarik daripada mengatakan semuanya berada di dalamnya. Karena sebenarnya tidak
    • Itu memang bisa dilakukan, tetapi yang diinginkan di sini adalah konstruksi tepat
      Jika deret tak hingga diizinkan, apa pun bisa didekati dengan deret Taylor
    • Segi-7 memang tidak “dapat dikonstruksi”, tetapi mudah digambar. Saya pernah bermain-main dengan ini saat kuliah
      Cukup temukan ruas garis sepanjang 2*sin(π/7) kali jari-jari. Nilainya 0,86777, dan jika dikuadratkan menjadi 0,7530, cukup dekat dengan 0,75, yaitu 1 - (1/2)^2
      Jadi kalau kita membuat segitiga dengan tinggi setengah jari-jari dan sisi miring sama dengan jari-jari, sisi lainnya menjadi 0,8660. Selisihnya kurang dari 0,001 dari nilai sebenarnya, jauh lebih akurat daripada yang bisa saya gambar dengan penggaris dan jangka