Logika
Apa itu logika
- Logika adalah ilmu tentang hal-hal yang mungkin, dan merupakan dasar dari semua ilmu lainnya.
- Jika sains menjelaskan bagaimana alam semesta bekerja, logika adalah bagian dari penjelasan yang dapat diterapkan pada alam semesta mana pun.
- Logika mempelajari aturan untuk menyimpulkan bahwa fakta lain benar ketika satu fakta tertentu diketahui.
Logika dan matematika
- Logika mirip dengan teori himpunan dan teori kategori, dan teori matematika merupakan hasil penambahan definisi ekstra ke dalam logika.
- Teori himpunan dapat didefinisikan dengan menambahkan satu relasi primitif ke aksioma standar logika.
Proposisi dasar
- Karena logika adalah ilmu tentang hal-hal yang mungkin, diperlukan himpunan proposisi awal yang diterima sebagai benar atau salah.
- Proposisi ini disebut "premis", "proposisi dasar", atau "proposisi atomik".
Penyusunan proposisi
- Inti logika adalah konsep konstruksi, dan beberapa proposisi dapat digabungkan menggunakan operator logika.
- Operator logika mencakup "dan", "atau", "maka", dan sebagainya.
Kesetaraan proposisi dasar dan proposisi majemuk
- Proposisi yang tersusun dari beberapa premis tidak berbeda dari proposisi dasar, dan dibangun dengan cara yang sama.
Pembuktian dengan kontradiksi
- Pembuktian dengan kontradiksi adalah salah satu proposisi logis tertua, yang menunjukkan bahwa jika A benar dan A mengimplikasikan B, maka B juga benar.
Kebenaran yang jelas dengan sendirinya
- Kebenaran yang jelas dengan sendirinya adalah proposisi yang selalu benar, dan kebalikannya adalah kontradiksi yang selalu salah.
- Kebenaran yang jelas dengan sendirinya digunakan sebagai dasar bagi skema aksioma/aturan inferensi.
Sistem logika
- Dengan menggunakan skema aksioma/aturan inferensi, kita dapat menghasilkan proposisi baru.
- Sistem logika terdiri dari kumpulan kecil skema/aturan tersebut.
Kesimpulan
- Untuk memahami komponen utama logika (aksioma, aturan inferensi), pembuktian harus dilakukan melalui interpretasi tertentu.
Logika klasik: interpretasi fungsional-kebenaran
- Logika klasik didasarkan pada teori ide Plato, dan setiap proposisi bernilai benar atau salah.
- Operator logika dinyatakan sebagai fungsi yang menerima nilai Boolean sebagai masukan dan mengembalikan nilai Boolean lain.
Logika intuisionistik: interpretasi BHK
- Logika intuisionistik memandang logika sebagai penyusunan bukti, dan menolak dikotomi bahwa setiap proposisi pasti benar atau salah.
- Dalam interpretasi BHK, mengatakan bahwa suatu proposisi benar berarti terdapat bukti untuk proposisi tersebut.
Menafsirkan logika sebagai kategori
- Interpretasi BHK memberikan sudut pandang tingkat tinggi yang memungkinkan logika ditafsirkan berdasarkan teori kategori.
- Isomorfisme Curry-Howard menjelaskan kemiripan antara logika dan bahasa pemrograman.
Teorema GN⁺
- Logika adalah bagian mendasar dari matematika dan sains, serta memainkan peran penting di berbagai bidang.
- Logika klasik dan logika intuisionistik memiliki latar belakang filosofis yang berbeda, dan dapat menghasilkan konsekuensi yang berbeda tergantung pada interpretasinya masing-masing.
- Sistem logika adalah alat yang kuat untuk menghasilkan proposisi baru melalui aksioma dan aturan inferensi.
- Interpretasi logika dapat dihubungkan dengan teori kategori, yang menjadi semakin menarik melalui kemiripannya dengan bahasa pemrograman.
Belum ada komentar.