Segalanya adalah logaritma

• Jika logaritma dipandang bukan sebagai fungsi numerik melainkan sebagai rasio dari objek abstrak logaritma tanpa basis, maka (\log_b N = \log N / \log b) dapat dibaca seperti konversi satuan
• (\log 2) menjadi satuan pengukuran seperti bits, dan (\log e) seperti nats; rumus perubahan basis pun menyerupai proses menuliskan besaran yang sama dalam satuan berbeda
• p-adic valuation, orde nol dan kutub, serta ekstraksi komponen dalam diferensiasi semuanya dapat ditafsirkan seperti proyeksi komponen logaritmik
• Berlanjut berbagai korespondensi: vektor sebagai logaritma dari operator translasi, dimensi sebagai logaritma dari ukuran ruang vektor di atas medan hingga, dan basis sebagai objek yang dikembalikan logaritma
• Seluruh pembahasan ini bukan teorema pemersatu yang ketat, melainkan eksplorasi yang menelusuri redundansi notasi dan struktur; sudut pandang matematis yang memisahkan koordinat dan satuan dapat membantu merapikan pola-pola ini

---

Logaritma tanpa basis dan konversi satuan

• Logaritma biasa ditulis dengan basis eksplisit seperti (\log_b x), yang menyatakan solusi dari (b^y=x)
• Rumus perubahan basis (\log_b x = \log_a x / \log_a b) dapat ditafsirkan mirip konversi satuan
  • Strukturnya sama seperti (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
  • “Berapa banyak (b) yang termuat di dalam (x)” dapat dilihat sebagai jumlah (a) di dalam (x) dibagi jumlah (a) di dalam (b)
• Jika (\log N) diletakkan sebagai objek abstrak, bukan angka, maka logaritma berbasis menjadi rasio dari dua logaritma tanpa basis
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) diperlakukan seperti satuan “bits”
  • (\log e) diperlakukan seperti satuan “nats”
• Dalam sudut pandang ini, (\log N) tidak punya makna numerik langsung; ia menjadi nilai numerik dalam satuan tertentu hanya saat dibagi dengan (\log b)
• Padanan seperti eksponensial tanpa basis ((*)^{\log N}) dipandang tidak memiliki cara yang bermakna untuk dibentuk
  • (\log_b N) yang biasa dipakai justru diringkas sebagai rasio dua objek tanpa satuan, yaitu (\log N) dan (\log b)

Kemiripan logaritma dan vektor

• Seperti halnya vektor geometris tanpa koordinat dibedakan dari vektor koordinat dalam sistem koordinat tertentu, (\log N) juga dapat dipandang sebagai objek sebelum basis tertentu dipilih
• Ada struktur yang sama antara notasi nonstandar yang mengukur komponen vektor (\mathbf{v}) dengan membaginya oleh vektor acuan (\mathbf{x}), dan cara memperoleh nilai dalam satuan bits lewat (\log N / \log 2)
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• Menuliskan logaritma yang sama dalam satuan berbeda bersesuaian dengan menuliskan vektor yang sama dalam basis berbeda
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• Rumus perubahan basis berperan seperti transformasi koordinat pada vektor
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

Operasi yang mengekstrak komponen logaritmik

• Dalam logaritma biasa tidak ada notasi proyeksi parsial seperti pada turunan parsial untuk mengambil hanya komponen tertentu
  • Saat (N=2^a3^b), seluruhnya diukur dalam satu satuan seperti (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3)
  • Tidak ada notasi logaritma standar untuk mengekstrak secara terpisah komponen (\log 2) dan (\log 3)
• p-adic valuation dalam teori bilangan dapat ditafsirkan seperti operasi yang mengambil koefisien komponen (\log p) dari faktorisasi prima suatu bilangan alami
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • Identitas logaritmik seperti (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) juga tetap berlaku
• Jika diperluas ke bilangan rasional atau bilangan yang memuat akar, koefisiennya menjadi bilangan bulat atau rasional, dan objek hasilnya makin mendekati ruang vektor yang sesungguhnya
• Orde nol atau kutub dalam analisis kompleks juga dapat dinyatakan sebagai limit rasio logaritmik yang serupa
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • Ini mengekstrak orde suku yang paling dominan dalam deret Laurent
• p-adic valuation, turunan parsial, dan ekstraksi orde dalam analisis kompleks tampak saling mirip, tetapi teori pemersatu yang menggabungkan semuanya masih belum jelas

Saat vektor juga bisa dipandang sebagai logaritma

• Dalam geometri diferensial, vektor dipakai sebagai basis operator turunan parsial, dan jika dieksponensialkan ia menjadi operator translasi
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• Dalam ruang datar, operator translasi dapat diuraikan menjadi hasil kali translasi per koordinat
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • Dalam ruang tak datar, translasi pada koordinat berbeda mungkin tidak saling komutatif sehingga menjadi lebih rumit
• Dalam konteks ini, vektor dapat dinyatakan sebagai logaritma dari operator translasi
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• Alih-alih bergantung pada basis alami (e) dari logaritma natural, tampaknya lebih tepat menggunakan basis translasi umum (T) dan menulisnya seperti (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
• Perkalian biasa juga dapat dipandang sebagai translasi dalam koordinat (\ln a), meskipun belum jelas apakah tafsiran ini benar-benar berguna

Hubungan logaritma dan turunan

• Logaritma natural dapat didefinisikan sebagai (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
  • Jika (x^a=e^{a\ln x}) dikembangkan dengan deret Taylor, (\ln x) akan muncul
• Dengan mensubstitusikan ((1+x)), deret Taylor untuk (\ln(1+x)) muncul kembali
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• Bentuk ini tampak seperti turunan, dan dapat ditulis sebagai (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
• Dalam banyak hal, (\ln x) berperilaku seperti (x^0)
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • Secara formal, (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x) tampak masuk akal
• Bagian ini tidak terhubung langsung dengan pembahasan lain dalam tulisan, tetapi menambahkan sudut pandang bahwa logaritma adalah perubahan orde pertama di sekitar (x^0)

Dimensi bekerja seperti logaritma

• Dalam ruang vektor berdimensi hingga, (\dim_K) memiliki identitas yang mirip logaritma
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• Untuk ruang vektor berdimensi hingga (V\simeq K^n) di atas medan hingga (K), benar-benar berlaku hubungan logaritmik antara ukuran dan dimensi
  • Vektor dapat dipandang sebagai fungsi yang menugaskan koefisien dari (K) ke setiap elemen basis
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • Maka (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• Dalam dimensi tak hingga atau di atas medan tak hingga, tafsiran ini kurang kokoh, dan mungkin memerlukan konsep ukuran lain seperti numerosity) alih-alih cardinality
• Jika dipakai notasi dimensi tanpa basis, dapat ditulis (\dim K^n=n\dim K) dan (\dim_K V=\dim V/\dim K)
• Dalam hasil kali tensor, jika dimensi langsung dikalikan maka (\dim K) muncul satu kali lagi; karena itu hasil kali tensor atas (K), yaitu (\otimes_K), ditafsirkan menghapus faktor tersebut melalui hasil bagi koefisien skalar

Melihat basis dan span sebagai logaritma dan eksponensial

• Jika dimensi adalah cardinality dari basis, maka logaritma dapat dipandang mengembalikan bukan cardinality melainkan basis itu sendiri
  • Jika basis dari (V\simeq K^3) adalah ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), maka dapat ditulis (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• Karena ada masalah memilih satu basis tertentu, mungkin lebih tepat menganggap (\log_KV) sebagai objek yang menunjuk semua basis yang mungkin dari (V)
  • Untuk kerangka acuan arbitrer (X_0) dan (\Lambda\in GL(V)), (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • Objek ini dapat dipandang sebagai torsor (GL(V))
• Operasi kebalikan logaritma ditafsirkan sebagai span yang merekonstruksi ruang vektor dari basisnya
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• Tafsiran ini banyak memakai penyalahgunaan notasi dan belum tentu yang terbaik, tetapi ia mendorong kita memandang (\dim) dan (\span) sebagai analog (\log) dan (\exp) dalam aljabar linear
• Dari sudut pandang logaritma tanpa basis, bahkan ada kemungkinan menafsirkan (\log K) itu sendiri sebagai “basis dari (K)”, tetapi bagian ini dibiarkan sebagai pembahasan lanjutan yang lebih abstrak

Dugaan tentang hubungan fungsi dan logaritma

• Prosedur menaikkan operasi aritmetika menjadi operasi pada himpunan diperlakukan sebagai sesuatu yang mendekati “setification”
  • Penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan bilangan alami masing-masing bersesuaian dengan gabungan saling lepas, hasil kali, dan himpunan fungsi
  • Pada himpunan hingga, cardinality menjaga operasi-operasi ini dengan baik
• Misalnya saat (A={a,b}) dan (X={x,y}), jika ((a+b)^{x+y}) dikembangkan maka empat fungsi (X\to A) dapat didaftarkan sebagai suku-sukunya
  • (a^xb^y) dapat ditafsirkan sebagai fungsi dengan (x\mapsto a) dan (y\mapsto b)
  • Jika sebagian variabel diambil sebagai (0) atau (1), bentuk ini bekerja seperti evaluasi atau pembatasan fungsi
• Faktorial dan kombinasi juga dapat, dengan cara serupa, mendaftar permutasi dan kombinasi sebagai suku-suku
• Biasanya fungsi (f:X\to A) dimodelkan sebagai relasi ({(x,f(x))\mid x\in X}), tetapi (a^xb^y) itu sendiri adalah satu fungsi sehingga cardinality-nya 1
• (\log f ? x\log a+y\log b) tampak mirip dengan representasi relasional dari fungsi, tetapi bagian ini masih belum terjelaskan dengan rapi

Kovariansi umum dan kesimpulan

• Seluruh pembahasan berfokus pada kasus sederhana yang memandang logaritma sebagai isomorfisme yang mengubah representasi multiplikatif menjadi representasi aditif
  • Kasus yang lebih rumit seperti logaritma kompleks atau logaritma matriks tidak dibahas
• Berbagai operasi matematika seperti (\dim), (\nu_p), dan diferensial total memiliki struktur yang sama atau dekat dengan logaritma
• Keterkaitan ini memang punya sisi yang mendekati “numerology”, tetapi dinilai terlalu rapi untuk diabaikan begitu saja
• Struktur serupa juga muncul dalam matematika fisika, khususnya formalisme operator dalam mekanika kuantum, dan fisika memberi batasan pada notasi matematis serta pemilihan koordinat
• general covariance adalah gagasan bahwa sifat objek harus independen dari pilihan koordinat, dan logaritma tanpa basis dapat dilihat sebagai contoh upaya memisahkan isomorfisme antara representasi multiplikatif dan aditif dari pilihan satuan

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Di sini log tanpa basis pada dasarnya hanyalah torsor [0]
  Hal-hal seperti posisi, nilai mata uang, dan tanggal kalender juga bisa dipandang sebagai torsor. Nilainya sendiri arbitrer, dan secara fungsional tidak berubah meskipun digeser sejauh nilai tertentu atau skalanya diubah. Dengan torsor, kita bisa membicarakan objek semacam ini tanpa harus lebih dulu membuat pilihan arbitrer tersebut
  Pada log tanpa basis, himpunan dasarnya adalah “satuan informasi”. log 2 adalah bit, log e adalah nat, log 10 adalah digit, dan faktor konversinya membentuk grup dari torsor. Memilih satuan tertentu sebagai sesuatu yang istimewa hanyalah men-trivialisasi torsor
  Notasi pembagian vektor juga mengenkode g-torsor dengan cara yang persis sama seperti satuan panjang
  Semua contoh sejauh ini adalah torsor dari grup Abelian, tetapi untuk menentukan posisi kita harus memilih titik asal dan satuan panjang sekaligus. Grup torsor ini menjadi semidirect product yang sesuai antara translasi dan penskalaan, sehingga merupakan grup non-Abelian
  Kebanyakan orang secara implisit memilih trivialisasi, lalu timbul kebingungan karena objek disamakan dengan operasi atas objek tersebut. Misalnya, mencampuradukkan vektor sebagai posisi dan vektor sebagai translasi. Titik ini juga dibahas dalam tulisan penulis tentang masalah pada geometric algebra [1]
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • Memberi nama torsor pada konsep matematika ini adalah pilihan yang sangat buruk. Hubungannya dengan makna asli kata itu pun tidak jelas, dan dalam mekanika klasik istilah itu sudah lama dipakai untuk konsep yang sama sekali berbeda, yaitu besaran yang harus bernilai 0 agar benda tegar berada dalam kesetimbangan (pasangan resultan gaya dan total torsi)
    Sayangnya, matematika punya tradisi panjang memakai ulang kata umum sebagai nama konsep yang sama sekali tidak berkaitan dengan makna asalnya. Akibatnya, bahkan buku atau makalah matematika yang menyampaikan fakta sepele pun bisa terasa gelap jika pembacanya tidak akrab dengan jargon subbidang tersebut
  • Aku tahu tentang torsor, tetapi tidak terpikir menghubungkannya ke sana. Sebenarnya aku juga tidak merasa istilah itu sangat membantu; bahkan setelah tahu apa itu torsor pun rasanya tetap sulit dipikirkan. Meski begitu, sepertinya aku memang perlu lebih membiasakan diri dengan konsepnya
    Di komentar lain di sini, orang yang menyebut log berbasisku sebagai “GL(V)-torsor” jauh lebih ringkas daripada cara kupaksa jelaskan panjang lebar dengan tangan
    Terlepas dari istilahnya, aku belum pernah melihat log dipikirkan dengan cara seperti itu, jadi menarik

• Logaritma itu luar biasa. Aku sempat mulai melihat buku teks matematika dari era 1920-an, dan semua perhitungannya bergantung pada tabel logaritma. Angka diubah dari tabel ke logaritma untuk menurunkan tingkat operasi, lalu dikembalikan lagi ke bentuk biasa
  Operasi seperti mencari akar pangkat tiga pun bisa direduksi menjadi pembagian, lalu jika diubah ke log-log bisa diturunkan lagi menjadi pengurangan sebelum dipulihkan ke notasi asal. Kalau dicoba dengan tangan, rasanya seperti memakai wormhole ajaib, benar-benar keren

  • Versi fisik dari wormhole ajaib itu adalah mistar hitung
  • Akan bagus kalau ada PDF-nya. Aku suka buku-buku tua seperti ini
  • Penasaran apakah kamu bisa menyebutkan judul bukunya
  • Bahkan sampai dekade 2010-an, ujian sekolah masih memakai hitung manual dan tabel logaritma. Kalkulator tidak diizinkan
    Sekali atau dua kali selama ujian ada soal yang memang mengharuskan penggunaan tabel logaritma. Misalnya, pembagian diubah menjadi lookup(a)-lookup(b), lalu nilainya dicari lagi pada tabel antilog, yaitu tabel exp

• The Lost Art of Logarithms karya Charles Petzold enak dibaca. Itu masih merupakan karya yang sedang ditulis
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Tulisan Charles Petzold selalu sangat jelas dan berbobot

• Ide yang sama juga muncul dalam fisika. Dalam fisika kuantum, aksi S muncul sebagai besaran mirip log yang berada di balik amplitudo e^iS/(h^bar)
  Dalam mekanika statistik, entropi adalah log dari jumlah kemungkinan keadaan mikro Omega: S = log(Omega)
  Ini memang konsep dari bidang fisika yang berbeda, tetapi keduanya mencerminkan prinsip yang sama: log dipakai untuk mengubah hubungan perkalian menjadi hubungan penjumlahan

• Untuk pertanyaan, “Kalau ada logaritma tanpa basis log(N), apakah ada juga ‘eksponen tanpa basis’?”, secara aljabar naif ini mungkin
  Jika basis bisa dihapus dari log(x,base), maka basis juga bisa dihapus dari pow(base,x). Karena bits=log(2), maka pow(bits)=2. Ini juga tampaknya bisa dihubungkan dengan konsep arah kebalikan seperti integral
  Kalau dimainkan sebagai notasi iseng:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // frekuensi 400 Hz adalah 4 kali 100 Hz
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // pitch 400 Hz berada 2 oktaf di atas 100 Hz
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // pitch B4 berada 200 cent di atas A4
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // frekuensi B4 adalah 493.883 Hz
  Saya suka intuisi yang diberikan notasi logaritma tanpa basis, dan ini juga menghindari kebutuhan memilih titik acuan tertentu. Kita juga bisa memilih basis sembarang lalu menghitungnya langsung:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

• Dengan ini, desibel juga bisa diberi satuan nyata
  dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // level 10 V adalah 20 dB lebih tinggi daripada level daya 1 V
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // kerusakan pendengaran terjadi di atas SPL + 90 dB_F (mengabaikan A-weighting)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // tekanan kerusakan pendengaran lebih dari 31622 kali SPL
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // tekanan kerusakan pendengaran di atas 0.632 Pa
  Sangat berguna. Bisa dibayangkan daftar akhiran desibel yang konyol itu disatukan ke dalam notasi yang seragam. Jika logaritmanya ditulis lebih dulu, posisi + atau - juga tetap terjaga
  log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
  https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes

• Ya. Eksponensiasi bisa saja di-curry lalu disebut perpangkatan tanpa basis. Saya belum menemukan notasi yang rapi

• Tulisan ini butuh sistem tipe. Setiap kali menulis “log”, harus dijelaskan logaritma dari apa dan menuju ke mana
  Mirip dengan di audio saat orang hanya bilang “dB” seolah itu sudah menjawab pertanyaan berikut: relatif terhadap apa, diukur bagaimana, dan pembobotannya disesuaikan untuk siapa
  Penulis perlu melihat lagi https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory

  • Sifat penting logaritma itu struktural. Kecuali saat benar-benar melakukan perhitungan numerik, biasanya orang tidak terlalu memedulikan satuan atau basis
    Seperti yang dijabarkan secara informal namun cukup memadai dalam tulisan itu, rumus perubahan basis menunjukkan bahwa pilihan basis umumnya tidak penting. Logaritma dengan basis berbeda setara hingga faktor konstanta
    Deret Taylor untuk exp memberi definisi yang lebih intrinsik dan umum bagi fungsi eksponensial. Karena itu, selama syarat konvergensi yang sesuai terpenuhi, exp bisa digeneralisasi secara struktural ke berbagai lingkungan aljabar. Contohnya eksponensial kompleks dan berbagai logaritmanya yang mungkin, eksponensial matriks, dan lain-lain
  • Sampai sekarang saya masih tidak paham kenapa dB di audio bisa negatif. Relatif terhadap apa? Apa yang terjadi pada 0 dB?
  • Di bagian pertama, penulis menjelaskan cukup rinci bahwa “log N” tanpa basis dipandang bukan sebagai angka melainkan objek abstrak. Atau Anda sedang membicarakan bagian lain?

• Apa yang terjadi pada logaritma kompleks pada dasarnya tampak sama dengan logaritma yang menghasilkan semua himpunan basis yang mungkin dari sebuah ruang vektor
  Logaritma kompleks membentuk Z-torsor, dan logaritma basis membentuk GL(V)-torsor. Sepertinya ada cara untuk menyatakan pemilihan branch cut sebagai bagian dari pemilihan basis pada logaritma kompleks, dan demikian juga pemilihan basis tertentu tampaknya bisa dipandang sebagai bagian dari pemilihan basis pada logaritma basis ruang vektor

  • Menarik. Saya tidak pernah terpikir bahwa keduanya adalah dua contoh dari fenomena yang sama. Meski begitu, sisi analisis kompleks tetap terasa sulit dipikirkan

• Istilah "logaritma tanpa basis" benar-benar tidak masuk akal, dan memakainya adalah kesalahan besar
  Meski begitu, ada bagian yang benar dari penulis asli: logaritma adalah satu besaran fisik, seperti panjang, luas, atau volume, dan memilih apa yang disebut "basis" pada dasarnya adalah memilih satuan pengukuran logaritma
  Logaritma muncul dalam rumus dimensi berbagai besaran fisik turunan. Misalnya, untuk menjelaskan atenuasi atau penguatan saat gelombang merambat, digunakan besaran seperti logaritma per panjang atau logaritma per waktu
  Jika "basis" logaritma diubah, nilai numerik semua besaran turunan juga berubah dengan cara yang persis sama seperti saat satuan dasar pengukuran seperti panjang atau waktu diubah
  Untuk besaran fisik apa pun, nilai lengkap logaritma tidak bergantung pada satuan pengukurannya. Itu karena nilainya adalah hasil kali angka dan satuan ukur. Jika satuan diubah, angka dan satuannya sama-sama berubah, tetapi hasil kalinya tetap sama. Artinya, berapa pun basis yang dipakai untuk menghitung angkanya, logaritma itu tetap merepresentasikan rasio yang sama
  Saat ini satuan logaritma biasanya dipilih dari oktav (logaritma biner), neper (logaritma hiperbolik), atau bel (logaritma umum)
  Satuan pengukuran logaritma bukan basis itu sendiri, melainkan logaritma dari basis tersebut. Jadi, misalnya, nilai bilangan "e", yang merupakan basis logaritma hiperbolik, tidak diperlukan dalam perhitungan apa pun. Yang diperlukan hanyalah "ln 2" atau kebalikannya, "log2 e", dan itu dipakai untuk mengonversi nilai logaritma antara satuan pengukuran yang sesuai dengan logaritma biner dan logaritma hiperbolik (yang juga disebut logaritma natural, meskipun logaritma hiperbolik tidak lebih "natural" daripada logaritma lain)

  • "Logaritma tanpa basis" bukan sesuatu yang tidak masuk akal. Jika diberikan:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    maka logaritma tanpa basis hanyalah sebuah keluarga fungsi yang memiliki sifat serupa. Mungkin akan lebih jelas jika penulis memakai istilah seperti "sifat logaritmik" alih-alih "logaritma tanpa basis", tetapi itu lebih mendekati mencari-cari kesalahan dan bersifat argumentatif
    Soal pernyataan bahwa angkanya berubah ketika basis diubah, saya jadi penasaran apakah Anda pernah mempelajari aljabar linear tingkat lanjut atau, lebih spesifik, tensor. Inti tensor adalah bahwa ia bekerja pada objek dengan cara yang sama tanpa bergantung pada basis. Dengan kata lain, jika a dan b merepresentasikan objek yang sama dalam basis yang berbeda, maka ketika T(x) adalah tensor, T(a) dan T(b) itu ekuivalen
    Intinya, angka apa pun adalah pilihan arbitrer, dan angka itu tidak mendefinisikan struktur dasarnya. Di sini penulis sedang membicarakan struktur logaritmik
    Itulah sebabnya dalam aljabar linear kita mempelajari basis yang berbeda dan transformasi di antaranya. Untuk alasan yang sama, koordinat polar dan koordinat Kartesius yang dipelajari di sekolah menengah juga demikian. Itu adalah proses persiapan untuk mempelajari struktur. Ketika sampai ke grup, kita belajar bahwa jika grup A dan B isomorfik, maka keduanya memiliki struktur matematis yang sama
    Maksudnya, hal itu tetap benar meskipun angkanya berubah

• Sulit dipercaya ada yang menyebut logaritma biasa sebagai "based"

• Ini semua akan jauh lebih menarik jika benar-benar membantu menunjukkan fakta matematis baru. Saat ini, ini lebih mirip permainan notasi

  • Menurut saya, fakta baru, teorema, dan pembuktian itu cukup dilebih-lebihkan. Sekalipun menemukan satu fakta baru, itu hanya menambah satu lagi ke tumpukan besar fakta yang menumpuk tanpa guna. Kemajuan yang berguna dalam matematika datang dari upaya refactoring yang membuat objek menjadi lebih sederhana dan intuitif
    Bukan berarti tulisan ini pasti termasuk begitu, tetapi menurut saya situasi kita sekarang lebih dekat ke kondisi di mana ada terlalu banyak fakta dan terlalu sedikit sudut pandang sederhana yang membuat fakta-fakta itu berguna dan mudah diakses
    Tentu saja ini pendapat pribadi
  • Saya membaca tulisan seperti ini sebagai bagian dari proses terbentuknya gagasan baru. Ini adalah kegiatan melakukan pencocokan pola skala besar, membentangkan banyak kasus yang saling mirip, lalu mencari landasan esensial dari kemiripan itu
    Dengan mempublikasikan pola semacam itu, proses berpikir bisa menjadi terdistribusi. Orang lain mungkin melihat sebuah wawasan