Konstanta Lemniscate (ϖ): Kembar Jahat π

• Seperti π (pi), ϖ juga adalah konstanta matematika penting
  • π berhubungan dengan lingkaran dan fungsi trigonometri (sin, cos)
  • ϖ berhubungan dengan lemniscate berbentuk tak hingga (∞) dan fungsi trigonometri baru (sl, cl)
• Lemniscate adalah kasus khusus dari kurva Cassini yang mempertahankan hasil kali tetap dari dua titik, serta berbentuk seperti tak hingga (∞)
• ϖ disebut sebagai "Konstanta Lemniscate", dengan nilai kira-kira 2,62205755

Lemniscate dan ϖ

Definisi Lemniscate

• Dalam koordinat polar, lemniscate dinyatakan dengan rumus bahwa "kuadrat jari-jari adalah nilai kosinus dari dua kali sudut"
• Seperti keliling lingkaran yang setara dengan (2π), keliling lemniscate setara dengan (2ϖ)

Fungsi trigonometri ϖ: sl dan cl

• Seperti fungsi trigonometri lingkaran (sin, cos), pada lemniscate terdapat fungsi sl dan cl
• Misalnya, rumus pada trigonometri "kuadrat sinus ditambah kuadrat kosinus sama dengan 1" pada lemniscate berubah menjadi bentuk berikut
  • jumlah kuadrat sl dan kuadrat cl plus hasil kali kuadrat sl dan kuadrat cl sama dengan 1

Keterkaitan antara π dan ϖ

• π dan ϖ berbagi rumus dan pola yang mirip, dan π adalah salah satu konstanta dalam keluarga ϖ
• π dinyatakan sebagai ϖ₂, ϖ sebagai ϖ₄, dan di antara π dan ϖ ada konstanta lain, ϖ₃
• Keluarga konstanta ini mewakili struktur matematika yang unik dan terkait dengan kurva serta fungsi yang lebih kompleks

Penemuan ϖ oleh Gauss

• Gauss menemukan bahwa konstanta lemniscate berkaitan dengan Arithmetic-Geometric Mean
  • Arithmetic-Geometric Mean adalah proses berulang untuk menghitung rata-rata aritmatika dan rata-rata geometris dari dua nilai hingga mencapai nilai konvergen
  • Misalnya, rata-rata aritmatika-geometris dari 1 dan akar 2 berbanding π dan ϖ, yang dikenal sebagai "Konstanta Gauss"

Konstanta ϖₙ

• ϖₙ berkaitan dengan fungsi dan kurva hipereliptik
  • Kurva hipereliptik didefinisikan sebagai penutup ganda dua kali dari bola Riemann, dengan titik simpul pada simetri orde (n) (akar ke-(n) dari satuan)
  • Konstanta-konstanta ini mencerminkan simetri dan sifat khas kurva orde tinggi

Referensi dan tautan

• Konstanta Lemniscate (ϖ) - Wikipedia
• Fungsi Trigonometri Lemniscate (sl, cl)

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Saya sempat kebingungan mengeja kata "lemniscate" dan memeriksanya. Berkat diskusi ini, saya menemukan peta favorit baru
  • Ini adalah proyeksi Peirce Quincuncial
• Untuk perlindungan, bisa dipakai jimat semanggi keberuntungan
  • Berbentuk plot polar r=cos(2θ)
  • Kelilingnya dapat didefinisikan sebagai konstanta 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221
• π berasal dari lingkaran dan didefinisikan berdasarkan jarak dari satu titik
• ϖ berasal dari lemniscate Bernoulli dan didefinisikan berdasarkan jarak dari dua titik
• Saya penasaran apakah ada konstanta serupa yang berasal dari bentuk yang didefinisikan oleh tiga titik
• Rasio π dan kembarannya kira-kira 1,198, yaitu rata-rata aritmatika-geometrik dari sqrt(2) dan 1
  • Jika AM konvergen ke GM, maka berdasarkan ketidaksamaan AM-GM-HM, ia juga harus konvergen ke HM
  • HM tidak membutuhkan akar kuadrat yang mahal
• Konvergensi AM dan GM sangat cepat
  • Konvergensi HM untuk konstanta Gauss memerlukan sekitar 15 iterasi
  • Anda bisa menghindari operator mahal, tetapi ini membutuhkan banyak iterasi
• Konstanta-konstanta lain yang menarik:
  • Konstanta Euler–Mascheroni: deret harmonik, integral dan jumlah yang terkait dengan fungsi gamma
  • Konstanta Catalan: deret trigonometri tertentu, fungsi Green kisi-kisi
  • Konstanta Feigenbaum: peta logistik, chaos dalam sistem dinamis
  • Konstanta Khinchin: suku-suku parsial dari pecahan berlanjut sederhana
  • Konstanta Glaisher–Kinkelin: ekspansi asimtotik fungsi Barnes G, batas kombinatorik, dan ekspansi produk tertentu
  • Konstanta Ramanujan: perkalian kompleks dari kurva elips
  • Konstanta Omega: Omega * e^Omega = 1, fungsi Lambert W, x^x^x^... = 2
• Saya bukan relativis budaya, tetapi saya tidak percaya pada adanya peradaban yang menganggap bentuk ∞ lebih penting daripada bentuk ◯
  • Mungkin ada entitas yang hidup di ruang logaritma
  • Lingkaran mereka mungkin adalah lemniscate
• π dan ϖ hanya dua dari saudara yang tak terbatas
• Mengapa hanya dua titik? Mengapa bukan tiga?
  • Apakah ada kurva menarik yang dihasilkan dari produk jarak yang konstan terhadap N titik?
  • Di dimensi tinggi, untuk satu titik ada bola
  • Bentuk apa yang ada untuk dua titik? Apakah seperti dua tetes berbentuk jam pasir?
• Akan menarik jika bentuk ini menjadi lebih penting daripada lingkaran dalam suatu peradaban; ini bisa menjadi premis fiksi ilmiah yang menarik