Konstanta Lemniscate (ϖ): kembaran gelap π

 (mathstodon.xyz)
1 poin oleh GN⁺ 2024-12-25 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • ϖ (varpi) adalah konstanta yang terhubung dengan lemniscate berbentuk ∞ dan fungsi trigonometri terubah sl, cl, seperti halnya π terhubung dengan lingkaran dan fungsi trigonometri
  • lemniscate adalah kasus khusus dari Cassini oval, yaitu kurva yang hasil kali jaraknya ke dua titik tetap konstan, dan dinyatakan dalam koordinat polar sebagai r² = cos2θ
  • Seperti keliling lingkaran satuan adalah 2π, keliling lemniscate ini adalah 2ϖ, dan ϖ ≈ 2.62205755... pernah dihitung hingga lebih dari 1 triliun digit
  • sl dan cl adalah lemniscatic elliptic functions yang berkorespondensi dengan sin dan cos, serta memiliki identitas terubah seperti sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ juga terhubung dengan Gaussian elliptic curve dan rata-rata aritmetika-geometri, dengan rasio AGM(1, √2) = π/ϖ yang disebut konstanta Gauss

Konstanta ϖ yang mirip dengan π

  • ϖ adalah bilangan yang, seperti “evil twin” π, memiliki banyak sifat dan rumus yang mirip dengan π
  • Seperti π terhubung dengan lingkaran serta fungsi trigonometri sin dan cos, ϖ terhubung dengan lemniscate berbentuk ∞ dan fungsi sl, cl
  • ϖ disebut konstanta lemniscate
  • Simbol Unicode ϖ adalah bentuk tulisan tangan dari huruf Yunani pi, dan juga disebut varpi atau pomega

Bentuk integral dan rumus hasil kali yang mirip

  • π dan ϖ dapat dibandingkan dalam bentuk yang serupa juga pada rumus integral
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Kedua konstanta juga terhubung dengan rumus hasil kali berbentuk akar bersarang
    • Rumus di sisi π menyatakan 2/π
    • Rumus di sisi ϖ mempertahankan struktur yang mirip, tetapi beberapa sukunya berubah menjadi bentuk pembagian

Lemniscate dan kelilingnya

  • Keluarga kurva yang hasil kali jaraknya ke dua titik tetap konstan disebut Cassini oval
  • Di antaranya, kurva khusus yang berbentuk ∞ adalah lemniscate, dan inilah yang terhubung langsung dengan ϖ
  • Persamaan polar lemniscate ini adalah sebagai berikut
    • r² = cos2θ
  • Seperti keliling lingkaran satuan adalah 2π, keliling kurva ini adalah 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Bilangan ini pernah dihitung hingga lebih dari 1 triliun digit

Fungsi sl, cl dan fungsi trigonometri terubah

  • Seperti sin dan cos dapat didefinisikan pada lingkaran, pada lemniscate kita dapat mendefinisikan fungsi sl dan cl
  • Banyak identitas trigonometri biasa memiliki versi terubah yang berkorespondensi dengan sl dan cl
  • Hubungan korespondensi yang representatif adalah sebagai berikut
    • Trigonometri biasa: sin²θ + cos²θ = 1
    • Fungsi lemniscate: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Grafik sl dan cl dapat dilihat di Lemniscate elliptic functions

Kurva eliptik dan konstanta Gauss

  • ϖ dan fungsi trigonometri terubahnya terhubung dengan Gaussian elliptic curve
  • Jika bidang kompleks dibagi menjadi kisi persegi, kurva eliptik ini dapat diperoleh
    • Kisi apa pun pada bidang kompleks menghasilkan kurva eliptik dan fungsi eliptik
    • Persegi memiliki simetri yang lebih besar daripada jajar genjang lain, sehingga kasus ini menjadi contoh yang sangat baik
  • Gauss menemukan bahwa kurva eliptik ini terhubung dengan rata-rata aritmetika-geometri
  • Rata-rata aritmetika-geometri dari 1 dan √2 adalah π/ϖ, dan bilangan ini disebut konstanta Gauss
  • Penjelasan terkait tersedia di Lemniscate constant
  • Ada juga barisan yang lebih digeneralisasi, yaitu ϖₙ
    • π adalah ϖ₂
    • ϖ adalah ϖ₄
    • ϖₙ tampaknya terkait dengan hyperelliptic functions simetris tertentu
    • Tulisan terkait ada di June 2022 diary entry

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-12-25
Komentar Hacker News

  • Berkat diskusi ini, saya menemukan proyeksi peta favorit baru: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • Lebih banyak proyeksi peta ada di PDF yang ramah, “An Album of Map Projections”, dan proyeksi di atas muncul di halaman 190
      Untuk contoh yang lebih meriah, lihat Berghaus star projection di halaman 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Ini terlihat cukup mirip dengan Penrose diagram yang diperluas secara maksimal
    • Sepertinya saya pernah melihat proyeksi yang sama dipakai di mod Quake 3 untuk meningkatkan sudut pandang secara dramatis

  • Kita juga bisa memakai jimat daun semanggi empat yang membawa keberuntungan untuk menangkalnya. Grafik koordinat polarnya adalah r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Kelilingnya juga bisa didefinisikan sebagai konstanta 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • Saya bingung dengan kalimat “kurva berbentuk ∞ ini disebut 'leminscate', dan ϖ disebut 'lemniscate constant'. Di tulisan berikutnya saya akan menunjukkan leminiscate”, jadi saya mengeceknya; ejaan yang benar adalah lemniscate

  • π muncul dari lingkaran yang didefinisikan oleh jarak dari satu titik, sedangkan ϖ muncul dari lemniscate Bernoulli yang didefinisikan oleh jarak dari dua titik
    Kalau begitu, apakah ada konstanta serupa yang muncul dari bangun yang didefinisikan oleh jarak dari tiga titik?

    • Ada. π adalah keliling lingkaran, dan ϖ adalah keliling lemniscate. Jika memakai tiga titik, terbentuk tiga bentuk seperti tetesan air, dan kelilingnya bisa dihitung
      Untuk sementara sebut saja trilemniscate ;)
      Ini grafik 3D-nya. Jika dilihat dari +Z ke bawah, trilemniscate tampak di tempat volume berpotongan dengan bidang XY. Saya mengurangkan 1 dari hasil kali untuk memvisualisasikan perpotongan bidang, dan Anda juga bisa mematikan versi 3 titik lalu menyalakan versi 2 titik untuk membandingkannya
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Menariknya, untuk 2 dan 3 titik, luas bagian dalam lemniscate dan trilemniscate sama. Jika titik-titik ditempatkan merata di atas lingkaran, ini juga berlaku untuk jumlah titik yang lebih banyak. Tentu saja kelilingnya menuju tak hingga seiring jumlah titik bertambah
    • Konsep jarak dari tiga titik menjadi rumit karena terkait dengan fungsi jarak atau bahkan teori ukuran
      Dua titik selalu memiliki lintasan terpendek yang menghubungkan keduanya, jadi konstantanya berkaitan dengan fakta itu; tetapi mulai dari tiga titik, kita harus menangani seluruh kemungkinan bentuk segitiga

  • Mengenai bagian “saya bukan relativis budaya sampai percaya ada peradaban yang menganggap bentuk ∞ lebih penting daripada bentuk ◯”, makhluk seperti itu mungkin bukan makhluk “linear” seperti kita, melainkan makhluk logaritmik
    Lemniscate didasarkan pada rata-rata geometrik, yang pada dasarnya adalah rata-rata perkalian atau rata-rata di ruang log. Ini kontras dengan rata-rata aritmetika di ruang linear
    Jika kita adalah makhluk linear yang kuat dalam penjumlahan intuitif tetapi lemah dalam perkalian intuitif, mungkin ada makhluk yang hidup di ruang log dan pikirannya berbasis perkalian. Bagi mereka, lingkaran adalah lemniscate

    • Manusia sebenarnya cenderung berpikir secara intuitif dengan skala logaritmik. Orang yang belum menerima pendidikan aritmetika awal ala Barat cenderung berpikir lebih berdasarkan rasio daripada selisih, dan ada teori bahwa ini lebih adaptif secara evolusioner
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • Pada manusia ada cukup banyak respons logaritmik, seperti kecerahan cahaya, kerasnya suara, oktaf musik, dan tinggi nada relatif

  • Seperti yang ditunjukkan profesor, rasio π dan kembarannya yang jahat kira-kira 1,198, dan ini adalah rata-rata aritmetika-geometrik dari sqrt(2) dan 1
    Di sisi geometrik ada akar kuadrat, dan akar kuadrat itu mahal. Jadi saya berpikir, jika rata-rata aritmetika konvergen ke rata-rata geometrik, maka menurut ketaksamaan rata-rata aritmetika-geometrik-harmonik, ia juga seharusnya konvergen ke rata-rata harmonik, dan rata-rata harmonik tidak memerlukan akar kuadrat yang mahal
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    Konvergensi rata-rata aritmetika-geometrik hampir seketika sehingga 2 langkah sudah cukup, tetapi cukup menarik bahwa untuk mendapatkan konvergensi yang layak dipakai bagi konstanta Gauss dengan rata-rata harmonik dibutuhkan sekitar 15 langkah. Operator mahal seperti akar kuadrat bisa dihilangkan, tetapi biayanya dibayar dengan jumlah iterasi

    • Nilai c yang dihitung bergantung pada perhitungan nilai b, jadi ini bukan dilakukan sebagai rekursi yang menghindari akar kuadrat
      Itu hanya menghitung deret rata-rata aritmetika-geometrik yang sama, lalu mengambil rata-rata harmonik berbobot tertentu di atas deret itu; karena deret aslinya konvergen, yang itu juga konvergen
      Sebagai catatan, rata-rata aritmetika-harmonik yang dimaksud sebenarnya hanyalah rata-rata geometrik. Bukan rata-rata aritmetika-geometrik, melainkan rata-rata geometrik murni: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • Konstanta penting lain dan tempat kemunculannya: konstanta Euler–Mascheroni muncul dalam deret harmonik serta integral dan jumlah yang terkait dengan fungsi gamma, konstanta Catalan dalam deret trigonometri tertentu dan fungsi Green kisi, konstanta Feigenbaum dalam peta logistik dan chaos pada sistem dinamis, konstanta Khinchin dalam hasil bagi parsial dari pecahan berlanjut sederhana, konstanta Glaisher–Kinkelin dalam ekspansi asimtotik fungsi Barnes G, limit kombinatorial, dan ekspansi produk tertentu, konstanta Ramanujan dalam perkalian kompleks kurva eliptik, konstanta Omega dalam Ωe^Ω=1, fungsi Lambert W, dan x^x^x^...=2

    • Saya tidak mengerti apa arti x^x^x^... = 2. Bukankah solusinya sqrt(2)?
    • Perlu penjelasan bagaimana konstanta Ramanujan terkait dengan operasi kurva eliptik

  • Jelas sepertinya ini bukan kembar. Bisa dibilang π dan ϖ hanyalah dua di antara tak terhingga banyak saudara ϖₙ

  • Mengapa hanya 2? Mengapa tidak 3 titik? Bisakah kita menemukan bentuk menarik dari kurva yang hasil kali jaraknya dari N titik adalah konstan?
    Di dimensi yang lebih tinggi pun satu titik menjadi bola, tetapi bagaimana bentuknya untuk dua titik? Apakah lebih mirip tetesan ganda seperti jam pasir?

    • Ada generalisasinya. Sebelum Twitter menjadi bar Nazi, seseorang pernah memposting tantangan untuk menemukan serangkaian bilangan seperti pi, masing-masing dengan kumpulan rumus khasnya sendiri, dan @duetosymmetry menerima tantangan itu lalu membuat ϖₙ
    • Untuk 3 titik, satu titik dan dua titik itu istimewa. Dalam kasus-kasus ini, selain translasi dan penskalaan seragam, hanya ada satu konfigurasi
      Tetapi mulai dari tiga titik, ada sebanyak kelas kesebangunan segitiga. Untuk setiap kelas kesebangunan segitiga bisa saja diperoleh sebuah bilangan, tetapi kita tidak boleh berharap konstanta yang sama muncul di semua kelas kesebangunan

  • Dalam “kurva berbentuk ∞ ini disebut 'leminscate', dan ϖ disebut 'lemniscate constant'. Di tulisan berikutnya saya akan menunjukkan leminiscate”, tampaknya dua dari tiga ejaannya salah