Membuat Semua Bilangan Bulat dengan Empat Angka 2

• Teka-teki membuat bilangan target hanya dengan empat angka 2 akan memperluas rentang nilai yang bisa dinyatakan secara signifikan seiring bertambahnya operasi matematika yang diizinkan
• Dengan hanya operasi aritmetika dasar, angka 1 sampai 6 bisa dibuat, dan jika eksponen, faktorial, serta akar kuadrat ditambahkan, nilai seperti 18, 28, 256, dan 65536 juga bisa dinyatakan
• Jika mengizinkan notasi 22 sebagai dua angka 2, fungsi Gamma, integral, desimal berulang, operator kombinasi, hingga bilangan kompleks, solusi menjadi jauh lebih beragam
• Solusi umum Paul Dirac membuat sembarang bilangan asli n menggunakan akar kuadrat bertumpuk dan logaritma berbasis 2; n bukan angka yang ditulis dalam ekspresi, melainkan jumlah pengulangan akar kuadrat
• Rumus umum aslinya hanya memakai angka 2 tiga kali, tetapi jika 2 diganti dengan √(2+2), bentuknya menjadi memakai tepat empat angka 2

---

Bagaimana Teka-teki Empat Angka 2 Diperluas

• Aturannya adalah membuat bilangan asli target dengan menggunakan tepat empat angka 2 dan operasi matematika
• Bahkan dengan operasi aritmetika dasar tingkat sekolah dasar saja, bilangan kecil bisa langsung dibuat
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• Jika eksponen dan faktorial diizinkan, rentang yang bisa dinyatakan menjadi jauh lebih besar
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• Secara notasi, cara memandang 22 sebagai dua angka 2 juga bisa digunakan
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• Angka 7 dikenal sulit dibuat, tetapi jika fungsi Gamma diizinkan, menjadi 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
• Jika memakai alat yang lebih luas, seperti dalam thread Math StackExchange, muncul juga solusi yang mencakup integral, desimal berulang, dan operator kombinasi
• Contoh yang memanfaatkan bilangan kompleks adalah 12 = |2 + 2√(-2)|²

Solusi Umum Akar Kuadrat Bertumpuk Dirac

• Para matematikawan pada 1920-an juga menikmati teka-teki ini, dan Paul Dirac menemukan solusi umum untuk semua bilangan
• Intinya adalah menerapkan akar kuadrat berulang kali pada 2
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• Jika akar kuadrat diterapkan n kali, bentuknya menjadi √√...√2 = 2^(2^-n)
• Jika logaritma berbasis 2 diterapkan dua kali pada bentuk ini, kita bisa memperoleh -n
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• Jadi rumus umumnya adalah sebagai berikut
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • Di sini akar kuadrat diulang n kali
• Karena ekspresi ini hanya memakai angka 2 tiga kali, jika salah satu 2 pada basis diganti dengan √(2+2), ekspresinya memakai tepat empat angka 2
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• Misalnya, angka 7 bisa dinyatakan dengan menumpuk akar kuadrat tujuh kali seperti berikut
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• Dalam cara ini, n bukan angka yang muncul langsung di dalam ekspresi, melainkan nilai yang menghitung jumlah pengulangan akar kuadrat, dan pekerjaan yang tersisa hanyalah menggambar simbol akar kuadrat sebanyak yang diperlukan

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Komentar dipindahkan ke https://news.ycombinator.com/item?id=43145753 yang diunggah sedikit lebih awal