Membuat Semua Bilangan Bulat dengan Empat Angka 2

 (eli.thegreenplace.net)
1 poin oleh GN⁺ 2025-02-24 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Teka-teki membuat bilangan hanya dengan empat angka 2 dapat berkembang dari teka-teki operasi aritmetika menjadi permainan matematika tingkat lanjut, tergantung sejauh mana operasi yang diperbolehkan diperluas
  • Dengan pecahan dan operasi aritmetika saja, bilangan 1 hingga 6 dapat dibuat; jika eksponen dan faktorial ditambahkan, bilangan besar seperti 18, 28, 256, dan 65536 juga dapat dibentuk
  • Jika angka 2 digabung menjadi 22 atau 222, atau jika bilangan kompleks dan nilai mutlak digunakan, bahkan bilangan yang sulit dibuat dengan perhitungan sederhana dapat diekspresikan dengan berbagai cara
  • 7 dikenal sebagai bilangan yang sulit dibuat, tetapi jika alat seperti fungsi gamma diperbolehkan, ia dapat langsung dibuat dengan empat angka 2
  • Solusi umum Paul Dirac menggunakan akar kuadrat bersarang dan logaritma berbasis 2 untuk mengekspresikan bilangan sembarang, lalu mencocokkan tepat empat angka 2 dengan substitusi 2 = √(2+2)

Aturan Dasar Membuat Bilangan dengan Empat Angka 2

  • Syarat teka-teki ini adalah memakai angka 2 tepat empat kali dan membuat bilangan target hanya dengan operasi matematika, tanpa angka lain
  • Dengan operasi aritmetika dan pecahan saja, bilangan kecil relatif mudah dibuat
    • 1 = (2+2)/(2+2)
    • 2 = 2/2 + 2/2
    • 3 = 2·2 - 2/2
    • 4 = 2+2+2-2
    • 5 = 2·2 + 2/2
    • 6 = 2·2·2 - 2
  • Jika eksponen dan faktorial diperbolehkan, rentang yang dapat diekspresikan menjadi jauh lebih luas
    • 18 = 2^(2^2) + 2
    • 28 = (2+2)! + 2 + 2
    • 256 = (2+2)^(2+2)
    • 65536 = 2^(2^(2^2))
  • Menggabungkan angka juga merupakan trik yang sering dipakai dalam teka-teki ini
    • 26 = 22 + 2 + 2
    • 11 = 22 / √(2+2)
    • 444 = 222 · 2
  • Khususnya 7 adalah bilangan yang sulit dibuat, tetapi dengan memakai fungsi gamma, ia dapat diekspresikan sebagai 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
  • Di thread Math StackExchange terdapat contoh yang memanfaatkan integral, desimal berulang, operator kombinasi, dan lainnya
  • Jika memakai bilangan kompleks dan nilai mutlak, ekspresi seperti 12 = |2 + 2√-2|² juga dimungkinkan

Solusi Umum Dirac

  • Paul Dirac menemukan solusi umum yang dapat diterapkan pada semua bilangan, dan perangkat utamanya adalah akar kuadrat bersarang
  • Jika akar kuadrat diterapkan berulang pada 2, hasilnya dapat dirapikan ke bentuk eksponen seperti berikut
    • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
    • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
    • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
  • Jika akar kuadrat diterapkan n kali, bentuknya menjadi √√...√2 = 2^(2^-n)
  • Jika kemudian diambil logaritma berbasis 2 satu kali, hasilnya menjadi 2^-n, dan jika diambil logaritma lagi, hasilnya menjadi -n
  • Karena itu, n sembarang dapat diekspresikan dalam bentuk n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • Karena rumus aslinya hanya memakai angka 2 tiga kali, mengganti satu angka 2 dengan 2 = √(2+2) menghasilkan rumus yang memakai tepat empat angka 2
  • Misalnya, 7 dapat diekspresikan dengan menyarangkan akar kuadrat 7 kali seperti berikut 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
  • n di dalam rumus bukanlah angka yang masuk ke ekspresi sebenarnya, melainkan notasi bantu untuk menghitung jumlah pengulangan akar kuadrat
  • Pada akhirnya, jalan untuk mengekspresikan semua bilangan memang terbuka, tetapi tetap perlu menuliskan tanda akar kuadrat sebanyak yang dibutuhkan secara tepat

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2025-02-24
Komentar Hacker News

  • Begitu fungsi diizinkan, rasanya tujuan permainan ini jadi ditinggalkan
    Misalnya fungsi gamma adalah (n-1)!, jadi sekarang sama saja membuat 7 dengan empat angka 2 dan satu angka 1
    Kalau angka bisa disembunyikan di dalam pemanggilan fungsi, terlalu mudah untuk selalu berhasil

    • +, -(biner/unari), ×, ÷ juga fungsi, dan pemangkatan juga fungsi. Kalau begitu, mengapa semua itu harus diizinkan?
      Dalam teka-teki seperti ini, orang memang selalu bisa berbeda pendapat soal cakupan fungsi elementer, tetapi menurut saya tidak perlu melarang akar kuadrat
      Mengenai pernyataan bahwa fungsi gamma adalah (n-1)!, 2 pun pada akhirnya hanyalah S(S(0)) (https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms)
      Konstruksi Paul Dirac sulit disebut sepele, dan saya penasaran apakah Anda benar-benar menganggapnya sepele atau tahu konstruksi yang lebih sederhana
    • Itu juga yang pertama terpikir begitu fungsi gamma muncul
      Kalau fungsi gamma diizinkan, mengapa fungsi lain tidak? Dengan memasukkan fungsi sembarang, permainan bisa diselesaikan sesuka hati
      Pada akhirnya, sejak awal tulisan ini menurut saya adalah masalah yang aturannya tidak didefinisikan dengan baik. Perlu disebutkan himpunan fungsi atau operasi yang diizinkan, dan niat untuk menunjukkan bagaimana masalahnya meluas sesuai tingkat pengetahuan tetap bisa dipertahankan meski diperbaiki seperti itu
    • Pada akhirnya ini untuk bersenang-senang, dan fungsi gamma serta akar kuadrat bisa dianggap cukup mendasar
      Jika mau, kita juga bisa membatasinya ke subset fungsi yang berbeda-beda, lalu membuktikan angka mana yang mungkin atau tidak mungkin di dalamnya
      Tulisan itu juga menyebut “alat matematika”, bukan fungsi sembarang
    • Kritiknya ada benarnya, tetapi seperti dikatakan yang lain, “mengizinkan fungsi” itu sendiri bukan masalah. Sebab operasi matematika dasar juga fungsi
      Namun jika hanya mengizinkan fungsi yang memetakan tuple bilangan bulat ke bilangan bulat ((Z, Z, ...) -> Z), tujuan permainan aslinya tetap terjaga
      Dengan begitu akar kuadrat dan logaritma tersisih, penjumlahan·pengurangan·perkalian tetap ada, tetapi pembagian tersisih. Faktorial n! dan pemangkatan dengan eksponen non-negatif juga bisa diizinkan
      Saya penasaran apakah dalam batasan ini bisa dibuat solusi umum
    • Solusi Dirac tidak memakai fungsi gamma, hanya memakai N akar kuadrat dan 2 logaritma

  • Kalau “boleh memakai operasi matematika apa saja”, ini mudah; cukup pakai fungsi penerus
    S(n) = n+1
    6 = 2*2*2-2
    7 = S(2*2*2-2)
    8 = S(S(2*2*2-2))
    Dan seterusnya

    • Kalau melihat batasan “tidak memakai angka lain”, angka 1 di baris pertama terasa seperti pelanggaran
    • Saya belajar banyak matematika di sekolah, bekerja di bidang engineering dan memakai matematika setiap hari, serta berlangganan banyak kanal matematika YouTube, tetapi baru pertama kali seumur hidup mendengar fungsi ini
      Teka-teki ini memang tidak punya aturan nyata, tetapi fungsi ini sama sekali tidak terasa terkenal
    • Tantangan yang lebih menarik sepertinya adalah mencari ekspresi terpendek yang membentuk suatu bilangan bulat dengan empat angka 2
    • Saya juga berpikir begitu. Akar kuadrat pun pada dasarnya menyembunyikan 2 di balik notasi
      Kalau tidak ditentukan secara spesifik operator apa yang boleh dipakai dan berapa kali, keseluruhan proyek ini tidak terlalu konsisten
    • Kalkulus lambda sudah masuk ke percakapan

  • Terkait ini, ada juga “Representing numbers using only one 4” yang ditulis Donald Knuth pada 1964 saat berusia 26 tahun (https://www.jstor.org/stable/2689238)
    Tulisan itu juga dimuat ulang di bab 10 Selected Papers on Fun and Games miliknya, dan hanya memakai satu angka 4 serta tiga operasi √x(akar kuadrat), ⌊x⌋(fungsi lantai), x!(faktorial)
    Tulisan itu berakhir dengan konjektur yang belum terpecahkan tentang apakah semua bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara ini
    Lampiran pada buku 2011 juga memperkenalkan makalah 1,5 halaman yang lebih awal dari 1962 oleh J. H. Conway dan M. J. T. Guy, “π in Four 4's”. Itu ide serupa yang mereka tulis saat masih menjadi mahasiswa Cambridge: https://archive.org/details/eureka-25/page/18/mode/1up?view=...
    Misalnya 5 = ⌊√√√√√(4!)!⌋, karena 24! berada di antara 5^32 dan 6^32

  • Entah hanya saya, tetapi pilihan memakai sqrt(2+2) alih-alih sqrt(2*2) atau sqrt(2^2) terasa aneh
    Itu tidak perlu mengaburkan alasan mengapa 2=sqrt(2+2)

    • Poin yang bagus, tetapi sulit juga menyebutnya semata-mata pilihan aneh penulis
      Seluruh tulisan, tiap argumen, tesis keseluruhan, kalimat, format, dan sebagainya semuanya memakai bandwidth kognitif, dan mungkin juga ada tekanan waktu
      Pengkritik bisa dengan santai berfokus pada satu titik saja, jadi itu terlihat wajar :)
    • Mungkin ada semacam skor golf yang memberi kompensasi untuk operasi berbiaya rendah di suatu tempat
      “Peretasan Dirac” tampaknya akan memakan banyak skor
    • Benarkah? Mengapa? 2+2, 2*2, 2^2 semuanya jelas 4 dan sqrt(4)=2, jadi saya tidak mengerti mengapa + lebih aneh daripada yang lain

  • Secara pribadi, saya lebih suka yang ringkas
    Saya pernah membuat mesin stack yang memakai perintah satu karakter, dan harus memecahkan variasi dari masalah ini. Angkanya hanya dari 0 sampai 9, dan karakter 23 berarti push 2 lalu push 3. Untuk merepresentasikan angka 23 yang sebenarnya, harus memakai ekspresi seperti 45*3+
    Jadi tersisa masalah mengodekan setiap bilangan bulat dengan jumlah karakter sesedikit mungkin
    Alat yang bisa digunakan adalah digit 0~9, P: Pi, *: (a * b), /: (a / b), -: (a - b), +: (a + b), s: sin(a), c: cos(a), q: sqrt(a), l: log(a), ~: abs(a), #: round(a), $: Math.floor(a), C: clamp(a), <: min(a, b), >: max(a, b), ^: pow(a, b), a: atan2(a, b), %: positiveMod(a, b), !: (1 - a), ?: (a <= 0 ? 0 : 1), o: a xor b scaled by c; ((a*c) xor (b*c))/c, d: menduplikasi item teratas stack, :: menukar dua item teratas, ;: menukar item teratas dengan item ketiga
    Saya penasaran apa yang bisa dilakukan jika kelak membuat ulang mesin stack ini sebagai stack bilangan kompleks
    Lain kali kalau memposting hal seperti ini, saya tidak akan menulisnya lewat ponsel

    • Jawaban umum mungkin saja tidak dapat dihitung
      https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity
    • Bagaimana kalau tiap angka dibuat dengan perintah “kalikan 10 lalu tambahkan angka itu”, dan ada perintah terpisah yang mem-push 0 seperti spasi? Dengan begitu 23 bisa direpresentasikan sebagai " 23"
    • Teringat https://www.hacker.org/hvm/ (2008)
    • Sepertinya cukup banyak angka akan dikodekan dalam basis 9 atau basis 10. Umumnya mungkin berupa pengulangan pola seperti digit + * digit + *, atau bentuk yang ekuivalen dengannya

  • Katanya ini cacat kecil karena “hanya memakai angka 2 tiga kali”, tetapi itu hanya benar jika mengabaikan fakta bahwa notasi akar menjadikan nilai umum sebagai default dan menyembunyikan pangkat 1/2
    Ada cukup banyak 2 yang tersembunyi

    • Sulit juga mengatakan bahwa notasi akar benar-benar menyembunyikan sesuatu. Fakta bahwa itu hampir sama dengan pangkat setengah adalah teorema
      Kalau begitu, kita juga harus mengakui bahwa 2 menyembunyikan 1+1, lalu apakah permainannya jadi mustahil?
      Karena polinomial kuadrat jauh lebih umum daripada polinomial derajat tinggi, akar kuadrat terasa lebih mendasar daripada pangkat sembarang
      Ada banyak komentar bahwa setelah fungsi-fungsi mewah diperbolehkan, permainannya jadi konyol, tetapi menurut saya justru menyenangkan mencari solusi yang memuaskan meski tanpa batasan aturan yang sangat spesifik

  • Terkait ini, pernah ada sebuah tantangan reverse engineering/CTF. Namanya tidak akan saya sebutkan untuk mencegah kecurangan, tetapi solusi saya adalah menyuntikkan shellcode yang menambahkan angka tertentu ke stack pointer
    Namun seluruh shellcode, termasuk angka yang ditambahkan, hanya boleh memakai byte ASCII alfanumerik
    Jadi saya memakai SAT solver untuk mencari kombinasi angka yang ditambahkan agar menghasilkan nilai yang diinginkan tanpa memakai byte terlarang
    https://docs.google.com/presentation/d/19K7SK1L49reoFgjEPKCF...

  • Teringat game mobile Tchisla. Dalam game itu, dengan satu angka yang diberikan serta beberapa operator, akar kuadrat, !, dan sebagainya, kita harus membuat semua bilangan hingga 1000 atau 10000
    Cukup seru, lama-lama muncul strategi, dan pengalaman penggunanya juga sederhana serta efisien. Hanya saja perlu diketahui dari awal bahwa game ini sangat menyita waktu
    [0] https://apps.apple.com/fr/app/tchisla-number-puzzle/id110062...

  • Ada masalah klasik empat angka 4, dan saya mempelajarinya saat kecil dari buku berjudul “The Man Who Counted”
    https://en.wikipedia.org/wiki/Four_fours
    https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Counted

    • Saya juga mempelajari versi itu saat kecil. Halaman yang saya buat ini mungkin juga menarik
      The Definitive Four Fours Answer Key
      https://dwheeler.com/fourfours/
    • Ya, itu dia
      Dari situ saya belajar tentang induksi palsu. Saya juga suka cerita tentang orang-orang yang berdiri berjajar, ada sesuatu yang menempel di punggung mereka, dan mereka harus menebak benda apa itu

  • Memang hebat, tapi ada terlalu banyak angka 2 yang tersembunyi di dalam simbol sqrt itu