Erdos 281 diselesaikan dengan ChatGPT 5.2 Pro

• Erdős #281 adalah masalah yang mengasumsikan situasi di mana, bagaimanapun seseorang memilih tak hingga banyak kongruensi, hampir tidak ada bilangan bulat yang tersisa yang tidak termasuk dalam salah satu kongruensi tersebut
• Jika situasi ini benar, pertanyaannya adalah apakah sebenarnya tanpa harus memakai seluruh kongruensi yang tak hingga itu, hanya dengan beberapa yang pertama saja hampir semua bilangan bulat sudah bisa tersaring
• Neel Somani menggunakan GPT-5.2 Pro untuk mengajukan sebuah pembuktian atas pertanyaan ini, dan sejumlah matematikawan meninjau serta melengkapi bagian-bagian kunci dari logikanya
• Alih-alih menghitung setiap bilangan bulat secara langsung, pendekatan ini menangani masalah dengan menempatkan seluruh bilangan bulat sebagai satu ruang dan memanfaatkan sifat kerapatan serta limit
• Kemudian terungkap bahwa kesimpulan yang sama juga bisa diturunkan dari kombinasi teorema-teorema yang telah dikenal sebelumnya, dan diskusi pun berlanjut tentang mengapa kaitan ini lama tidak terlihat

---

Erdős Problem #281 — inti utama diskusi

• Erdős #281 adalah masalah yang berangkat dari keadaan ketika tak hingga banyak kongruensi diberikan, dan bagaimanapun kongruensi-kongruensi itu dipilih, pada akhirnya hampir semua bilangan bulat masuk ke salah satunya
• Asumsinya adalah kita sudah mengetahui sifat bahwa jika semua kongruensi diterapkan, hampir tidak ada bilangan bulat yang tersisa yang tidak termasuk dalam kongruensi mana pun
• Jika sifat ini berlaku, muncullah pertanyaan apakah sebenarnya tanpa harus memakai tak hingga banyak kongruensi sampai akhir, hanya dengan beberapa yang pertama saja efek yang hampir sama sudah muncul
• Struktur pertanyaannya adalah apakah hasil yang berlaku pada tahap tak hingga juga otomatis terjamin pada tahap hingga
• Ada kesulitan dalam menyatakan bahwa sejumlah kongruensi hingga saja sudah cukup, di bawah syarat bahwa pemilihan kelas residu terburuk selalu diizinkan

Pendekatan pembuktian oleh Neel Somani dan GPT-5.2 Pro

• Pendekatan yang memandang seluruh bilangan bulat sebagai satu ruang dan menangani masalah melalui konsep kerapatan, alih-alih memeriksa bilangan bulat satu per satu
• Cara dengan menetapkan himpunan bilangan bulat yang menghindari k kongruensi pertama sebagai satu objek
• Memanfaatkan struktur bahwa ketika k membesar, himpunan ini makin menyusut dan menuju hasil pada tahap tak hingga
• Mengembangkan logika bahwa dari asumsi hampir tidak ada bilangan bulat yang menghindari semua kongruensi yang tak hingga, pada tahap hingga pun himpunan itu pasti dapat dibuat cukup kecil
• Menyusun alur keseluruhan dengan memakai limit, rata-rata, dan sifat translasi

Proses peninjauan dan perkembangan diskusi

• Peninjauan terfokus pada keabsahan urutan pengambilan limit dan proses menangani rata-rata dalam pembuktian yang diajukan
• Muncul catatan bahwa beberapa langkah memerlukan penjelasan tambahan dan penyempurnaan
• Sejumlah matematikawan secara terbuka memeriksa logikanya dan memperjelas makna tiap tahap
• Hasilnya, struktur inti argumen tetap dipertahankan sambil dirapikan menjadi bentuk yang lebih jelas

Keterkaitan dengan teorema klasik

• Dipastikan bahwa kesimpulan yang sama juga dapat diperoleh dengan menggabungkan teorema-teorema yang telah dikenal sebelumnya
• Gabungan antara hasil yang menangani konvergensi kerapatan pada kondisi tak hingga dan teorema yang menjelaskan kasus terburuk pada kondisi hingga
• Melalui kaitan ini terlihat struktur bahwa sifat pada tahap tak hingga juga tercermin kuat pada tahap hingga
• Diskusi pun meluas mengenai mengapa kaitan seperti ini lama tidak dirumuskan dengan jelas

Mengapa kasus ini mendapat perhatian

• Contoh ketika masalah yang diajukan sejak lama kembali mendapat sorotan setelah adanya usulan pembuktian berbasis AI
• Bukan berarti AI sendirian menyajikan jawaban akhir yang lengkap, melainkan memicu diskusi dari sudut pandang baru
• Hal ini menegaskan bahwa tingkat kesulitan dapat sangat berubah tergantung pada bahasa dan kerangka berpikir yang dipakai untuk merumuskan masalah

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Sebelumnya dikatakan tidak ada solusi, tetapi sekarang ditemukan bahwa sudah ada solusi yang ada
  Jadi pembuktian yang dibuat LLM dipindahkan ke bagian 2 wiki milik Terence Tao
  Diskusi terkait ada di postingan forum erdosproblems
  • Komentar Tao menarik — ia mengatakan pembuktian baru itu cukup berbeda dari pembuktian di literatur yang sudah ada
    Yang lebih aneh, pembuktian itu ada di makalah Erdős sendiri, tetapi ia tetap meninggalkannya sebagai masalah terbuka
  • Model seperti ini tampaknya bekerja seperti mesin pencari bahasa alami yang menghubungkan titik-titik pengetahuan yang tidak berhasil dihubungkan manusia
  • Sebenarnya kasus ini menunjukkan bahwa masalah itu sendiri tidak terlalu penting
    Fakta bahwa solusinya sudah ada tetapi tidak ada yang tahu terjadi karena orang memang tidak terlalu peduli
    Hanya mencari literatur lama lalu menyebutnya sebagai ‘kemajuan baru’ bisa jadi merupakan kemajuan semu
    Banyak bagian matematika murni pada akhirnya terasa seperti permainan teka-teki intelektual
• Saya penasaran dengan karakter masalah Erdos — apakah ini soal-soal sulit yang telah digumulkan matematikawan selama bertahun-tahun, atau hanya masalah yang terbengkalai
  Menurut penjelasan wiki dari Tao,
  masalah Erdos sangat bervariasi tingkat kesulitannya, dan sebagian diklasifikasikan sebagai masalah mudah yang cocok diselesaikan AI
  • Erdos adalah matematikawan yang sangat produktif, dan ia gemar mengajukan masalah berhadiah
    Masalah yang mudah pun berada pada tingkat “bahkan matematikawan terbaik pun tidak bisa langsung menyelesaikannya”, sehingga cocok sebagai tolok ukur kinerja AI
    Seiring AI berkembang, tampaknya ia akan naik tangga kesulitan menuju masalah yang semakin sulit
  • Tidak perlu terlalu khawatir. Tao dan penulis juga tidak terlalu tertarik pada masalah Erdos,
    dan bahkan tidak tahu bahwa pembuktian itu ada di makalah Erdos sendiri
    Namun Fediverse dan Twitter justru ramai menyebutnya sebagai terobosan LLM
• Menurut komentar yang ditinggalkan langsung Tao di forum,
  ia terkesan karena LLM berhasil menghindari kesalahan dalam pertukaran limit atau penanganan kuantifier
  Model generasi sebelumnya kemungkinan akan keliru di bagian seperti ini,
  dan ia mengatakan hasil tersebut dimasukkan ke bagian 1 wiki
  • Setelah itu seseorang menelusuri literatur lebih jauh, dan ternyata dalam makalah Davenport dan Erdos tahun 1936
    hasil yang sama sudah pernah dibuktikan
    Tao berkomentar, “Pembuktian baru berbeda dari yang lama, tetapi saya pindahkan ke bagian 2”
• Saya berharap AI mulai dengan membuktikan klaimnya sendiri
  Model terbaru berbicara dengan percaya diri tentang “kode yang 100% sempurna”, tetapi pada kenyataannya crash
  Saat mencoba pembayaran z.ai juga muncul error sehingga bahkan tidak bisa membeli
  LLM adalah teknologi yang menakjubkan, tetapi pada saat yang sama juga terlalu dibesar-besarkan
  • Untuk memverifikasi kode AI, seperti pada manusia, kita perlu membuktikannya lewat pengujian atau bukti
    Diperlukan verifikasi empiris seperti log atau hasil eksekusi
  • Kita harus membedakan model dan aplikasi
    Model hanya menghasilkan teks, dan aplikasilah yang harus memverifikasinya
    Namun menghasilkan teks yang sempurna saat ini adalah sesuatu yang mustahil
• Ada thread forum erdosproblems yang juga diikuti langsung oleh Tao
• Saya penasaran apakah pembuktian ini benar-benar sudah diverifikasi
  Karena saya sering melihat LLM dengan percaya diri memberikan jawaban yang salah
  Kebijakan memori dan pembatasan akses model OpenAI juga merupakan topik yang menarik
  • Tao sendiri yang menyetujuinya. Sulit membayangkan verifikasi yang lebih meyakinkan dari itu
• Baru-baru ini ada tulisan bahwa Aristotle dari Harmonic menyelesaikan masalah Erdős 728
  Kasus kali ini adalah ChatGPT 5.2 memberikan jawaban dalam 1 jam,
  tetapi tidak jelas apakah itu bisa direplikasi, mengapa solusi seperti itu muncul, dan apa sebenarnya yang dibuktikan
  Verifikasi dari Tao memberi kepercayaan, tetapi pada akhirnya tetap muncul pertanyaan: “Apakah model ini dilatih agar lebih cocok untuk matematika murni?”
  Lihat juga kasus sebelumnya dan tautan sesi ChatGPT
  • 49 hari lalu juga ada kasus bahwa masalah #124 dibuktikan dengan AI
    Tautan terkait
  • Ini adalah salah satu dari serangkaian upaya di mana LLM menghasilkan kandidat pembuktian masalah matematika,
    lalu diverifikasi dengan sistem pembuktian formal seperti Lean
    Tao mula-mula memeriksa ketepatan pembuktiannya, lalu memeriksa kebaruannya lewat penelusuran literatur
    Saat ini hampir tidak ada pembuktian yang sepenuhnya baru, tetapi pendekatan baru mulai bermunculan
    Kasus ini juga awalnya tampak seperti pembuktian baru, tetapi pada akhirnya merupakan hasil yang sudah diketahui Erdos
• Saya memberi Deepseek prompt yang sama, dan ia menyelesaikannya jauh lebih cepat daripada ChatGPT
  Ketika kedua pembuktian itu dimasukkan ke Opus, katanya terkonfirmasi ekuivalen
  • Namun ada yang menanggapi, “Itu pada dasarnya sama saja seperti kamu memberi stempel sendiri,”
    sambil menekankan bahwa jika verifikasi detailnya kurang, seluruh pembuktian bisa runtuh
  • Dari sisi matematika, ada juga yang mempertanyakan apakah bagian tentang densitas irisan itu cukup kuat
    Sebagai contoh, himpunan (U_k) disebut untuk menunjukkan kemungkinan kontracontoh
  • Blok penalaran Kimi-k2 juga dibagikan
  • Ada juga pendapat yang mempertanyakan apakah Deepseek hanya menghafal solusi yang sudah ada
    Lihat diskusi terkait di komentar ini
  • Ada pula pendapat bahwa Opus tidak cocok untuk matematika
    Akurasi matematikanya lebih rendah dibanding ChatGPT atau Gemini Pro
• Yang mengejutkan, cukup banyak pembuktian LLM justru datang dari nonspesialis
  Muncul pertanyaan apakah beberapa matematikawan profesional sebenarnya memakai AI tetapi tidak mengungkapkannya
  • Faktanya, kebanyakan profesional tampaknya merasa bahwa “LLM itu bodoh di bidang keahlian saya”
  • Penggunaan AI yang tanpa diumumkan seperti ini tampaknya akan segera menjadi hal biasa
    Seperti perlombaan doping dalam olahraga, semua orang akan memakainya agar tidak tertinggal
    Lagi pula penggunaan AI juga bukan pelanggaran aturan
  • Secara realistis, kemungkinan para ahli memang sudah mencobanya,
    tetapi LLM belum menghasilkan kemajuan yang benar-benar substantif
  • Sedang dipikirkan cara menuliskan kontribusi AI
    Secara pribadi saya rasa satu baris ucapan terima kasih sudah tepat
    Sebagai postdok matematika, setelah mencoba GPT 5.2 saya merasa model ini lebih jarang berbohong dan jujur saat gagal
    Sebaliknya, Gemini 3 cenderung mengarang teorema fiktif ketika salah
• Saya penasaran apakah masalah-masalah Erdos yang diselesaikan LLM ini sekadar masalah mudah yang belum disentuh manusia,
  atau benar-benar merupakan hasil riset yang orisinal
  • Menurut peringatan wiki dari Tao,
    masalah Erdos memiliki rentang kesulitan yang lebar, dan ada kelompok masalah berkesulitan rendah yang mudah diselesaikan AI
  • Meski begitu, tetap ada nilai dalam LLM merapikan masalah-masalah tingkat rendah seperti ini
    Jika suatu masalah masuk daftar Erdos, setidaknya ada kemungkinan seseorang pernah mencoba sekali