- Penjelasan yang buruk dalam matematika SD hingga SMA dapat membuat siswa menjauh dari matematika, sehingga pada akhirnya hanya siswa dengan motivasi kuat yang bertahan
- Banyak pembuktian dalam buku teks matematika tingkat lanjut lebih dekat ke gambaran tingkat tinggi daripada pembuktian lengkap, sehingga siswa harus melengkapi sendiri justifikasi untuk tiap baris
- Dalam Galois Theory karya Stewart, butuh dua hari untuk menguraikan argumen pada satu kasus tertentu, dan bahkan bagi matematikawan profesional pun langkah-langkah perantaranya tetap samar
- Jika semua detail dimasukkan, buku teks 200 halaman bisa menjadi 2000 halaman, sehingga penghilangan tidak terelakkan, tetapi jumlah dan besarnya penghilangan itu sangat menyakitkan
- Dibutuhkan materi seperti catatan tambahan dari universitas-universitas bagus yang mengembangkan argumen sulit menjadi pembuktian yang ketat beserta intuisi, dan ada rencana untuk membuat catatan pendamping mulai dari beberapa topik
Celah penjelasan yang tampak dalam pengajaran matematika tingkat lanjut
- Penjelasan yang buruk dalam pendidikan matematika SD hingga SMA dapat membuat siswa menjauh dari matematika seumur hidup, dan hanya menyisakan mereka yang memiliki motivasi kuat
- Matematika diperlakukan sebagai mata pelajaran yang melatih ketelitian penalaran, kejernihan berpikir, dan kemampuan membangun argumen dari prinsip pertama
- Masalah serupa berlanjut di matematika tingkat lanjut, dan banyak pembuktian dalam buku teks tingkat pascasarjana lebih mirip gambaran tingkat tinggi daripada pembuktian lengkap
- Jika buku teks tidak cukup menunjukkan langkah-langkah perantara, siswa harus mengerahkan upaya besar untuk memahami dan membenarkan setiap baris
- Sebuah argumen 10 baris dalam buku teks tertentu bisa menjadi 10 halaman jika ditulis ulang sebagai pembuktian yang benar-benar meyakinkan
Penghilangan dalam buku teks dan perlunya pelengkap
- Bahkan ketika langkah-langkah perantara dalam buku teks diperhalus bersama matematikawan profesional, proses di tengah pembuktian tertentu tetap samar bahkan bagi mereka
- Dalam Galois Theory karya Stewart, butuh dua hari untuk menguraikan argumen rumit pada kasus tertentu, dan hasilnya harus memenuhi akurasi, kelengkapan, serta keterjangkauan bagi siswa yang cukup termotivasi
- Alasan lelucon seperti 'proof by obviousness' dan 'proof by intimidation' terasa masuk akal adalah karena situasi seperti itu memang sering muncul dalam buku teks nyata
- Masalahnya bukan sekadar penghilangan hasil-hasil dasar tingkat sarjana seperti teori grup atau teori medan, tetapi bahwa bahkan jika seluruh materi sarjana sudah diketahui, tetap belum cukup jelas mengapa pembuktian dalam buku teks pascasarjana bekerja
- Siswa harus mempelajari topik dalam tenggat yang terbatas, sehingga jika penjelasan buku teks kurang memadai, mereka tidak punya waktu untuk menguraikan sendiri semua argumen 10 baris menjadi pembuktian 10 halaman, dan pada akhirnya bisa jadi tidak pernah mempelajari alasan yang tepat
- Dalam makalah riset, masalah ini bahkan lebih parah, tetapi di sini fokusnya pada buku teks
- Ada pula kendala praktis besar bahwa buku teks tingkat lanjut tidak bisa membenarkan semua argumen
- Jika semua detail dimasukkan, buku teks 200 halaman bisa menjadi 2000 halaman
- Baik siswa maupun pengajar tidak punya waktu atau kesabaran untuk membaca ribuan halaman argumen teknis yang tidak menarik
- Para penulis cenderung fokus pada bagian yang menarik dan berharap siswa melengkapi bagian yang dihilangkan
- Meski begitu, jumlah dan besarnya penghilangan yang ada dalam buku teks pada umumnya tetap sangat menyakitkan
- Banyak universitas yang baik menyediakan catatan tambahan yang mengembangkan argumen sulit menjadi pembuktian yang ketat sekaligus membantu intuisi, dan pendekatan ini tampak sebagai praktik yang baik
- Buku teks tingkat pascasarjana jauh lebih baik daripada tidak ada sama sekali karena memperkenalkan topik-topik itu ke dunia, tetapi tetap memiliki keterbatasan karena materinya sering sulit diakses
- Jika waktu tak terbatas, ada keinginan untuk membuat materi pendamping yang menguraikan secara rinci semua argumen dalam buku-buku teks tersebut, tetapi itu secara realistis mustahil
- Meski demikian, ada rencana untuk mulai membuat catatan pendamping dari topik-topik yang dirasa kualitas penjelasannya sangat penting, misalnya s-arc transitivity pada graf dan topik-topik terkait perluasan medan
1 komentar
Komentar Lobste.rs
Aduh, ini terasa sekali. Sebagai curhat sekaligus anekdot pribadi, salah satu alasan aku akhirnya menekuni rekayasa perangkat lunak alih-alih matematika/ilmu komputer adalah karena perbedaan pemahaman matematikaku saat mendengarnya dijelaskan lisan di kelas dan saat membacanya sendiri di buku terlalu besar
Aku butuh waktu yang tidak wajar lamanya untuk memahami teorema yang ditulis, dan pada akhirnya terasa sangat tidak memuaskan ketika ternyata isinya mudah, hanya saja dijelaskan dengan sangat buruk menurut seleraku
Tapi diagnosis versiku agak berbeda. Masalahnya bukan kurang detail, melainkan justru kurang motivasi dan gambaran besar. Semua pembuktian terasa seperti ditulis benar-benar terbalik. Seseorang memikirkan soal itu lama, menemukan buktinya, lalu menghapus proses berpikirnya dan mulai menulis bukti dari langkah terakhir
Misalnya sebuah bukti biasanya dimulai dengan “ambil ɛ = n^2 / 36”, lalu kita harus membacanya sekali untuk memahami kenapa epsilon itu dibutuhkan secara mekanis, lalu berpikir lagi untuk memahami ide di balik alat teknis itu, kemudian mencoba menjalankan pembuktian informal di kepala dengan ide tersebut, dan akhirnya membaca ulang bukti itu dengan ide tadi dalam pikiran untuk melihat apakah formalisasinya benar. Formalisasi itu berguna, tapi itu bukanlah pemahaman itu sendiri
Reed-Solomon juga contoh yang bagus. Wiki sebenarnya bisa saja mengatakan “polinom derajat N dapat diinterpolasi dari N+1 titik. Jika K titik dikirim ulang sebagai redundansi, kita masih bisa memulihkan koefisiennya meskipun sebagian hilang”, tetapi alih-alih begitu, yang muncul adalah penjelasan panjang dan sulit dipahami (previously)
Contoh baru-baru ini adalah Teorema 1.5.8 di Analysis karya Tao, yaitu bahwa pada himpunan kompak, setiap penutup terbuka memiliki subpenutup hingga. Teksnya langsung masuk ke “pilih y, pilih V_a, ada bola, ada jari-jari r...” yang memang tidak salah, tapi sulit melihat kenapa langkah itu dilakukan
Baru setelah menyerap formalismenya, ide intinya mulai terlihat. Karena kita membutuhkan subpenutup hingga, pendekatan serakah untuk memilih himpunan yang “terbesar” terasa alami, tetapi kita harus mendefinisikan apa arti terbesar itu. Jika satu titik dipatok, kita bisa memilih himpunan yang terbesar relatif terhadap titik itu, dan memperbesar bola sampai hanya tersisa satu elemen penutup. Bola-bola itu tidak mungkin menjadi sangat kecil tanpa batas; kalau begitu, kita bisa memakai kekompakan untuk memilih titik dengan bola berjari-jari 0. Jadi bola-bola itu lebarnya minimal ɛ, lalu kita tinggal terus memilih himpunan terbesar untuk titik-titik yang belum tertutup. Jika selesai dalam langkah hingga, beres; jika tidak, kita mendapat barisan titik yang saling berjarak ɛ, yang bertentangan dengan kekompakan
Ide intinya hampir selalu jauh lebih sederhana daripada formalisasinya, dan begitu ide itu tertangkap, rasanya jelas bahwa dengan cukup merapikan pertidaksamaan, pasti ada formalisasi yang berhasil. Formalisasi tetap diperlukan. Bisa saja tanpa sadar kita bergantung pada sesuatu seperti aksioma pilihan. Tapi sebagai sarana menyampaikan ide, formalisasi sangat buruk. Rasanya seperti merekonstruksi quicksort dari kode assembly
Menurutku cara yang benar menyajikan matematika adalah menempatkan teorema bukan sebagai titik awal, melainkan sebagai hasil, lalu menjelaskannya dalam mode “bagaimana orang bisa menemukan ini”
Tentu, aku tidak menyangkal bahwa kadang ada argumen yang memang harus “diguncang-guncang sampai kita benar-benar yakin bahwa ini benar-benar membuktikannya”, tetapi dalam matematika yang relatif ringan yang pernah kutemui, kasus seperti itu cukup jarang
Teorema di buku teks itu seperti foto kue jadi di buku resep, dan pembuktian itu seperti resepnya. Kekacauan yang terjadi saat membuat kuenya sendiri tidak benar-benar terlihat
Yang hilang adalah bahwa untuk membuat kue yang sama, kita tetap perlu pemahaman dan keterampilan memanggang. Resep bisa saja tidak menjelaskan seperti apa kekentalan adonan yang benar atau bagaimana memperbaikinya kalau ada yang salah. Selain itu, mengetahui “prinsip pertama” memanggang juga tidak otomatis membuat seseorang jadi pembuat kue. Ide dasarnya ada, tapi tetap harus digabungkan untuk benar-benar membuat kue
Menurutku matematika sama seperti disiplin modern lain. Etalasenya penuh dengan kue, dan para pembuat kue terbaik dibayar lewat dana riset untuk membuat lebih banyak kue. Kalau ingin menjadi pembuat kue sendiri, kita harus magang di toko roti untuk belajar trik-triknya, lalu mulai membuat kue sendiri alih-alih hanya memakai resep bos. Ini butuh waktu, usaha, dan sedikit keberuntungan
https://betterexplained.com/articles/…
Urutan DNA bisa menjadi deskripsi yang sangat presisi tentang seekor kucing, tetapi dari itu saja kita tidak bisa membayangkan hewan tersebut di kepala
Dalam format ini, pemeriksaan dan koreksi menjadi lebih efisien, dan ini disebut sudut pandang BCH terhadap R-S. Hanya saja, BCH juga merupakan nama untuk seluruh keluarga kode
Meski begitu, sebagai orang yang telah banyak sekali membaca soal ini saat mengimplementasikannya, aku setuju bahwa artikel Wikipedia tentang R-S dan BCH pada umumnya nyaris mustahil dipahami. Kalau bukan karena pustaka gf256 bergaya literate programming yang keren, khususnya gf256::rs, rasanya aku tidak akan membuat kemajuan
Namun dari pengalamanku, beberapa teorema memang lebih mudah dibuktikan daripada yang lain. Di kelas Algebra I, salah satu ujiannya adalah membuktikan teorema sebarang yang dipilih profesor saat itu juga. Kedengarannya mengintimidasi, tetapi setelah cukup lama membuktikan hal-hal yang sudah pernah dibuktikan, kita mulai melihat pola. Selain itu, kita juga jadi hafal lebih banyak teorema yang dipakai dalam pembuktian lain
Bukan berarti mudah, tetapi kalau belajar matematika di tingkat itu, terasa seperti ada sesuatu yang terbuka di kepala dan hal itu menjadi mungkin. Formalisasi kadang terasa berlebihan, tetapi itu juga yang memungkinkan matematikawan mencapai kesimpulan yang tidak dilihat orang lain
Dari pengalaman pribadiku di ilmu fisika, menurutku banyak hal ini berasal dari cara makalah ilmiah ditulis, diterbitkan, dan dievaluasi
Proses penulisan dan publikasi makalah tidak benar-benar mendorong orang untuk menjelaskan sains; ia justru mendorong orang membuat pernyataan yang terdengar masuk akal dan agak meyakinkan tanpa terlalu banyak “membuang” waktu pada detail. Bias seperti ini dalam pembuktian terasa sangat mirip
Penerbit harus dikeluarkan dari sains
Untuk menjelaskan “bagaimana ini ditemukan”, kita harus membuat pernyataan yang samar dan kasar, yang belum sepenuhnya dibenarkan ataupun presisi. Para reviewer, bahkan jika tempatnya adalah prosiding konferensi terindeks yang terbit sendiri atau jurnal overlay, tidak suka ada kalimat yang sampai taraf tertentu tidak sepenuhnya benar tertinggal di versi akhir yang diterima
Jadi meskipun ada penjelasan intuitif di draf awal, sering kali itu akhirnya dihapus
Ada yang lebih buruk lagi. Rekan penulisku yang sangat piawai menulis pengantar dan mengoptimalkan makalah agar mudah diterima sering menjelaskan bahwa biasanya ada trade-off saat memilih versi suatu pernyataan. Versi yang paling mudah diterima sering kali justru yang paling buruk bagi orang-orang yang akan menyukai dan mengutip makalah itu. Ini bisa terjadi meskipun semua versinya benar dan bisa dibuktikan dengan kualitas pembuktian yang sama
Jadi insentifnya memang tidak selaras. Tapi dalam hal ini mungkin bukan salah penerbit, melainkan struktur yang memberi penghargaan kepada akademisi berdasarkan metrik publikasi, bukan pekerjaan yang benar-benar perlu mereka lakukan
Untuk buku teks, aku tidak sepenuhnya setuju dengan tulisan aslinya. Penghilangan yang baik justru bisa membuat bukti lebih enak dibaca dan mendorong pembaca berpikir. Dalam kasus terburuk, kita masih bisa melihat buku teks lain atau sumber aslinya. Tetapi bertemu bukti yang tidak lengkap dalam makalah riset bisa sangat menjengkelkan. Di titik itu muncul kecurigaan apakah ada orang yang benar-benar memiliki bukti lengkapnya, dan tahu-tahu seminggu/sebulan/setahun sudah berlalu
Sebagai mahasiswa pascasarjana matematika, menurutku ada dua sisi dalam masalah ini. Kadang bukti yang disajikan berada di tingkat yang cukup tinggi sehingga kalau benar-benar tidak paham langkah tertentu, rasanya menjengkelkan, tetapi di sisi lain proses mengisi bagian yang kosong kadang jauh lebih berguna untuk meningkatkan kemampuan daripada menerima semuanya sudah jadi
Jika sebuah bukti berpindah dari pernyataan 1 ke pernyataan 2 dan tidak langsung kupahami, pertama-tama itu memberiku intuisi tentang apa yang dianggap jelas oleh penulis, dan lebih luas lagi oleh komunitas matematika di bidang itu. Ini berharga karena memberi tahu hasil mana yang secara intuitif perlu benar-benar kita kuasai
Kedua, ketika aku mengisi langkah perantaranya dan meyakinkan diriku sendiri bahwa argumennya kokoh, aku mengingatnya jauh lebih baik dibanding kalau hanya membaca langkah perantara itu begitu saja di atas kertas
Bagiku “sweet spot”-nya adalah ketika membenarkan satu langkah dalam bukti butuh sekitar 30 detik sampai 5 menit. Kalau lebih lama dari itu, biasanya jadi membuat frustrasi dan pembelajarannya juga tidak sebaik itu
Coba tunggu sampai melihat pembuktian di makalah sungguhan
Lebih seriusnya, tentu memang ada buku matematika yang ditulis buruk dan tidak pedagogis. Tetapi menurutku pembuktian tingkat pascasarjana rata-rata memang tidak bisa menuliskan semua detail. Kalau dilakukan, hasilnya akan melelahkan dibaca dan sangat membosankan
Matematikawan memang diharapkan bisa mengisi lubang dalam pembuktian di kepala mereka, dan kemampuan ini harus dipelajari
Aku punya beberapa anekdot pribadi soal mengisi kekosongan seperti ini
Saat SMA, setelah berdebat tentang tingkat detail yang dibutuhkan, kami akhirnya sepakat bahwa aku akan menulis bukti dengan penghilangan seminimal mungkin. Jika aku bisa menunjukkan bahwa aku mampu mengisi bagian-bagian kosong itu, maka banyak teks yang kutulis lebih seperti garis besar daripada yang diharapkan akan tetap dianggap cukup untuk menunjukkan pemahaman yang dibutuhkan
Yang paling kuingat adalah pernah menulis tanda kurung bertingkat setidaknya tiga lapis untuk kalimat seperti “ini sebenarnya tidak perlu pembuktian eksplisit, tetapi karena sudah dijanjikan...”. Di salah satu kurung terdalam ada kalimat “mari buktikan dengan induksi bahwa 2^n>0”. Pernyataan tingkat atasnya mungkin tentang limit. Sebagai tambahan, kami berdua sepakat bahwa pembuktian berlebihan di lapisan terdalam itu memang benar-benar berlebihan
Saat mencatat di SMA dan kuliah, aku kadang menuliskan dulu intisari dari hal yang jelas akan dikatakan berikutnya, untuk membeli waktu ketika bagian sesudahnya butuh catatan lebih detail. Bertahun-tahun kemudian, saat menjadi postdoc, aku pernah memotong penjelasan seorang kolega tentang suatu masalah dengan berkata, “bagian itu bisa dilewati, aku sudah bisa melihat lema apa yang mau kamu sebut dan bagaimana cara membuktikannya”
Ternyata aku salah. Mereka bukan sedang menyatakan hasil, melainkan sedang mengajukan pertanyaan. Meski begitu, bukti yang muncul dari garis besar yang kutebak akhirnya memang masuk ke makalah
Di antara kami yang mengerjakan matematika konkret, ada dunia tersendiri yang mencoba memperbaiki masalah detail ini dengan proof assistant seperti Lean, Agda, dan Coq. Tapi kurasa hampir tidak ada yang menggunakan proof assistant untuk pengajaran matematika yang “umum”. Kenapa ya?
Di matematika kontinu, ada sedikit ketidakcocokan representasi antara notasi standar dan proof assistant logika orde tinggi. Untuk melangkah cukup jauh dengan formalisasi teori himpunan orde pertama, dibutuhkan definisi-definisi tertentu, dan tampaknya itu belum benar-benar tersusun sebagai kumpulan yang konsisten