- Teks yang diberikan sebenarnya bukan membahas GPT-5.6 atau optimasi cembung, melainkan teorema teori grup yang mengklasifikasikan semua grup sederhana hingga ke dalam 18 keluarga tak hingga dan 26 grup sporadis
- Grup sederhana hingga adalah blok penyusun dasar dari grup hingga seperti bilangan prima bagi bilangan bulat, tetapi karena ada grup nonisomorfik dengan deret komposisi yang sama, komponen penyusunnya saja tidak secara unik menentukan grup asal
- Bukti klasifikasi terdiri dari ratusan makalah dan puluhan ribu halaman yang terutama diterbitkan oleh sekitar 100 orang pada 1955–2004; setelah kasus grup quasithin yang sempat hilang dibuktikan oleh Aschbacher dan Smith dalam 1.221 halaman, penyelesaiannya diumumkan pada 2004
- Buktinya berjalan dengan terlebih dulu menangani grup dengan 2-rank kecil, lalu membagi sisanya menjadi component type dan characteristic 2 type, kemudian memeriksa keberadaan dan keunikan tiap kandidat grup sederhana
- Bukti generasi kedua untuk menyederhanakan dan menyatukan bukti generasi pertama yang terlalu panjang masih terus diterbitkan, dan klasifikasi ini dipakai pada algoritme teoretis untuk masalah isomorfisme graf serta berbagai hasil dalam teori grup dan grup permutasi
Klasifikasi grup sederhana hingga dan perannya
- Klasifikasi grup sederhana hingga menetapkan bahwa setiap grup sederhana hingga, hingga isomorfisme, adalah salah satu dari berikut
- Grup siklik berorde prima
- Grup alternan berderajat 5 atau lebih
- 16 keluarga tak hingga grup sederhana bertipe Lie
- 26 grup sporadis
- Jika digabungkan, ini menjadi 18 keluarga tak hingga dan 26 pengecualian
- Tits group kadang dimasukkan ke grup sporadis karena bukan grup bertipe Lie dalam arti ketat, dan dalam konvensi ini jumlah grup sporadis menjadi 27
- Grup sederhana adalah blok penyusun dasar dari grup hingga dalam arti yang diperinci oleh teorema Jordan–Hölder
- Berbeda dari faktorisasi prima pada bilangan bulat, deret komposisi yang sama dapat menghasilkan beberapa grup nonisomorfik, sehingga solusi masalah ekstensi tidak unik
- Masalah tentang grup hingga atau aksi grup hingga dapat direduksi menjadi pemeriksaan untuk tiap keluarga grup sederhana dan tiap grup sporadis
Skala bukti dan penyelesaiannya
- Seluruh bukti terdiri dari ratusan makalah dan puluhan ribu halaman yang ditulis sekitar 100 orang, kebanyakan diterbitkan pada 1955–2004
- Daniel Gorenstein mengumumkan penyelesaian klasifikasi pada 1983, tetapi itu terlalu dini karena ia menerima informasi yang keliru tentang bukti grup quasithin
- Setelah Michael Aschbacher dan Stephen D. Smith membuktikan kasus grup quasithin yang hilang dalam 1.221 halaman, Aschbacher mengumumkan penyelesaiannya pada 2004
- Pada 2008, Harada dan Solomon melengkapi kasus komponen standar yang sempat terlewat akibat kesalahan perhitungan Schur multiplier dari Mathieu group M22
- Gorenstein, Richard Lyons, dan Ronald Solomon menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan diperbaiki secara bertahap
Pembagian besar bukti
- Dua jilid Gorenstein meninjau bagian rank rendah dan karakteristik ganjil, sedangkan Aschbacher, Lyons, Smith, dan lainnya membahas sisa kasus karakteristik 2 di jilid ketiga
- Seluruh klasifikasi tersusun dengan menangani grup 2-rank kecil, grup bertipe komponen, dan grup characteristic 2 type, lalu memeriksa keberadaan dan keunikan tiap kandidat
- Jika sectional 2-rank setidaknya 5, hasil MacWilliams dan balance theorem digunakan untuk membagi grup sederhana menjadi component type atau characteristic 2 type
- Pada 2-rank rendah, syarat rank yang dibutuhkan signalizer functor theorem dan lainnya tidak terpenuhi, sehingga pembagian ini tidak bisa langsung diterapkan
Grup dengan 2-rank kecil
- Grup berorde ganjil dengan 2-rank 0 semuanya dapat diselesaikan menurut teorema Feit–Thompson
- Pada 2-rank 1, subgrup Sylow 2 harus berupa grup siklik atau grup kuaternion tergeneralisasi
- Dengan menerapkan transfer map dan teorema Brauer–Suzuki, tidak ada grup sederhana selain grup siklik berorde 2
- Pada 2-rank 2, subgrup Sylow harus berupa dihedral, semidihedral, bertipe wreath, atau subgrup Sylow 2 dari (U_3(4))
- Teorema Gorenstein–Walter menghasilkan (L_2(q)) dan (A_7) pada kasus pertama
- Teorema Alperin–Brauer–Gorenstein menghasilkan (L_3(q)), (U_3(q)), dan (M_{11}) pada dua kasus berikutnya
- Lyons menunjukkan bahwa satu-satunya kemungkinan sederhana pada kasus terakhir adalah (U_3(4))
- Grup dengan sectional 2-rank paling banyak 4 diklasifikasikan oleh teorema Gorenstein–Harada
- Khususnya, klasifikasi untuk rank 2 atau kurang sangat bergantung pada teori karakter biasa dan modular, yang hampir tidak dipakai langsung di wilayah klasifikasi lain
Grup bertipe komponen
- Jika untuk suatu centralizer involution (C), hasil bagi (C/O(C)) memiliki komponen, maka grup itu diklasifikasikan sebagai component type
- (O(C)) adalah subgrup normal berorde ganjil maksimum dari (C)
- Sasaran utamanya adalah grup bertipe Lie ber-rank tinggi pada karakteristik ganjil, grup alternan, dan beberapa grup sporadis
- B-theorem menunjukkan bahwa setiap komponen dari (C/O(C)) adalah citra komponen dari (C), sehingga hambatan yang dibentuk oleh core involution tersingkir
- Dengan mengasumsikan secara induktif bahwa grup quasisederhana yang lebih kecil yang menjadi komponen centralizer sudah diketahui, peneliti memeriksa kemungkinan grup sederhana untuk setiap ekstensi pusat dari semua grup sederhana hingga yang sudah diketahui
- Selain 26 grup sporadis dan 16 keluarga Lie type, perilaku pengecualian pada field kecil, rank rendah, serta perbedaan karakteristik genap dan ganjil juga harus ditangani terpisah
Grup characteristic 2 type
- Sebuah grup disebut characteristic 2 type jika generalized Fitting subgroup (F^*(Y)) dari setiap subgrup 2-local (Y) adalah 2-grup
- Ini terutama mencakup grup bertipe Lie di atas field berkarakteristik 2, serta beberapa grup alternan, sporadis, dan grup berkarakteristik ganjil
- Rank yang relevan adalah rank maksimum dari subgrup abelian ganjil yang menormalkan subgrup 2 tak trivial
- Pada grup Lie karakteristik 2, ini sering sama dengan rank subaljabar Cartan, tetapi tidak selalu
- Thin group dengan rank 1 diklasifikasikan oleh Aschbacher, dan grup quasithin dengan rank 2 oleh Aschbacher dan Smith
- Rank 3 atau lebih dibagi menjadi tiga kelas menurut trichotomy theorem
- Tipe GF(2) terutama diklasifikasikan oleh Timmesfeld
- Standard type untuk prima ganjil ditangani oleh teorema Gilman–Griess dan penelitian lanjutan
- Pada uniqueness type, tidak ada grup sederhana menurut hasil Aschbacher
- Hasil umum untuk rank tinggi kebanyakan bermuara pada grup bertipe Lie di atas field berkarakteristik 2 dengan rank 3 atau 4 ke atas
Keberadaan dan keunikan
- Setelah klasifikasi struktural mengarakterisasi tiap kandidat, masih harus dibuktikan secara terpisah bahwa grup sederhana yang memenuhi karakteristik itu benar-benar ada dan juga unik
- Bukti pertama keberadaan dan keunikan Monster group saja panjangnya sekitar 200 halaman
- Identifikasi Ree group oleh Thompson dan Bombieri adalah salah satu bagian tersulit dalam seluruh klasifikasi
- Banyak bukti keberadaan grup sporadis dan sebagian bukti keunikannya mula-mula memakai komputasi komputer, tetapi sebagian besar kemudian diganti dengan bukti manual yang lebih pendek
Program 16 langkah Gorenstein
- Pada 1972, Gorenstein mengumumkan program untuk menyelesaikan klasifikasi, dan klasifikasi akhir secara umum mengikuti kerangka ini
- Grup dengan 2-rank rendah
- Semikesederhanaan 2-layer
- Standard type pada karakteristik ganjil
- Klasifikasi grup odd type melalui classical involution theorem dari Aschbacher
- Quasistandard type
- Involution pusat
- Klasifikasi grup alternan
- Beberapa grup sporadis
- Thin group yang diklasifikasikan Aschbacher pada 1978
- Grup dengan subgrup strongly (p)-embedded untuk prima ganjil (p)
- Metode signalizer functor untuk prima ganjil yang diselesaikan McBride pada 1982
- Grup characteristic (p) type yang ditangani Aschbacher
- Grup quasithin yang diselesaikan Aschbacher dan Smith pada 2004
- Grup dengan 2-local 3-rank rendah
- Centralizer unsur orde 3 bertipe standar
- Klasifikasi grup sederhana characteristic 2 type dengan memanfaatkan teorema Gilman–Griess
Perkembangan historis
- Pada 1832, Galois memperkenalkan subgrup normal dan menemukan grup sederhana (A_n) dan (PSL_2(\mathbf F_p)), sedangkan Cayley mendefinisikan grup abstrak pada 1854
- Mathieu memperkenalkan lima Mathieu group, grup sederhana sporadis pertama, pada 1861–1873, dan Hölder mengajukan klasifikasi grup sederhana hingga sebagai tantangan pada 1892
- Pada paruh pertama abad ke-20, teorema Sylow, teori karakter, karakter modular, Fitting subgroup, dan grup klasik di atas field hingga membentuk fondasi
- Pada 1955, teorema Brauer–Fowler menunjukkan bahwa jumlah grup sederhana hingga dengan centralizer involution tertentu adalah hingga, sehingga mendorong pendekatan berbasis centralizer
- Chevalley, Steinberg, Suzuki, dan Ree memperkenalkan berbagai keluarga baru grup sederhana bertipe Lie pada 1955–1961
- Feit dan Thompson membuktikan teorema orde ganjil pada 1963, dan pada 1960–1970-an berbagai teorema klasifikasi yang memakai struktur subgrup Sylow 2 dan involution pun diselesaikan
- Setelah penemuan Janko group J1 pada 1966, banyak grup sporadis lain ditemukan, dan Janko memperkenalkan J4, grup sporadis terakhir yang ditemukan, pada 1976
- Penemuan baby monster dan monster pada 1973 mendorong penemuan Thompson group dan Harada–Norton group
- Pada 1974, teorema Gorenstein–Harada membagi grup sederhana yang tersisa menjadi component type dan characteristic 2 type
- Setelah classical involution theorem pada 1977, diyakini bahwa penyelesaian klasifikasi sudah dekat karena sebagian besar grup sederhana kini dapat ditangani
- Pada 1981, Bombieri menyelesaikan karakterisasi Ree group, dan pada 1982 Griess membangun Monster group secara manual
- Pada 1983, trichotomy theorem membagi grup characteristic 2 type ber-rank tinggi menjadi tiga subkasus, tetapi pengumuman penyelesaian pada tahun yang sama masih menyisakan celah quasithin
- Pada 1985, Atlas of Finite Groups memuat informasi dasar tentang 93 grup sederhana hingga
- Pada 2012, Gonthier dan rekan-rekannya menerbitkan versi verifikasi komputer untuk teorema Feit–Thompson dengan memakai Rocq, yang saat itu masih bernama Coq
Bukti generasi kedua dan ketiga
- Bukti hingga sekitar 1985 disebut generasi pertama, dan karena panjangnya yang ekstrem, didoronglah bukti klasifikasi generasi kedua yang lebih sederhana
- Hingga 2023, Gorenstein, Lyons, Solomon, dan Inna Capdeboscq telah menerbitkan 10 jilid
- Solomon memperkirakan pada 2012 masih diperlukan sekitar 5 jilid lagi, tetapi menilai progresnya lambat
- Bukti baru itu diperkirakan sekitar 5.000 halaman, tetapi dengan memasukkan jilid kesembilan dan karya Aschbacher–Smith, volumenya sudah mencapai angka itu dan jilid tambahan masih disiapkan
- Penyederhanaan dimungkinkan karena daftar klasifikasi akhir sudah diketahui, sehingga teknik dapat dipilih sesuai kebutuhan
- Pada generasi pertama, bahkan jumlah grup sporadis pun belum diketahui, dan beberapa Janko group ditemukan selama proses pembuktian
- Teorema-teorema kasus khusus yang tadinya berdiri sendiri dapat disatukan ke dalam satu bukti terorganisasi, sehingga penanganan kasus bisa ditunda sampai asumsi yang lebih kuat berlaku
- Identifikasi keluarga yang tadinya berulang dapat dihapus lewat pembagian kasus baru
- Pengalaman dalam teori grup hingga dan teknik baru juga telah terakumulasi
- Kekurangannya adalah bahwa teorema-teorema individual lama yang relatif singkat kini menjadi bergantung pada keseluruhan klasifikasi
- Aschbacher menyebut penelitian oleh Meierfrankenfeld, Stellmacher, Stroth, dan lainnya sebagai program generasi ketiga, dengan salah satu target menyatukan penanganan semua grup berkarakteristik 2 melalui metode amalgam
Mengapa bukti singkat sulit
- Karena adanya 26 grup sporadis, hampir semua bukti kemungkinan besar akan memuat banyak kasus khusus, dan belum dikenal parameterisasi yang rapi dan terpadu seperti klasifikasi compact Lie group lewat Dynkin diagram
- Ada juga usulan untuk membangun objek geometris tempat grup bertindak, lalu mengklasifikasikan objek itu
- Dalam praktiknya, klasifikasi memang mencari struktur geometris seperti BN-pair, tetapi hal itu baru mungkin setelah struktur grup sederhana dianalisis dalam waktu lama
- Teori representasi bekerja baik pada rank rendah, ketika subgrup dapat dikendalikan dengan sangat rinci
- Pada rank tinggi, teori representasi belum berhasil menyederhanakan klasifikasi
Hasil yang memanfaatkan klasifikasi
- Dipakai dalam pengembangan algoritme teoretis terbaik saat itu, termasuk hasil 1982 tentang pengujian waktu polinomial untuk masalah isomorfisme graf dengan derajat terbatas
- Dipakai untuk Schreier conjecture, signalizer functor theorem, B conjecture, dan teorema Schur–Zassenhaus untuk semua grup
- Hasil terakhir tidak memerlukan seluruh klasifikasi, hanya teorema Feit–Thompson
- Setiap grup permutasi transitif tak trivial pada himpunan hingga memiliki unsur bebas titik tetap dengan orde pangkat prima
- Juga dipakai dalam klasifikasi grup permutasi 2-transitif dan rank 3, Sims conjecture, serta Frobenius conjecture tentang banyaknya solusi dari (x^n=1)
- Grup sederhana hingga nonabelian dapat dicirikan oleh graf komutasi
1 komentar
Komentar Hacker News
Saya agak paham bidang ini; dugaan ini memang lebih niche dibanding dugaan cycle double cover yang baru-baru ini dibuktikan OpenAI, tetapi jelas tetap merupakan kontribusi yang nyata
Ini membahas waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimisasi fungsi convex Lipschitz, dan batasan domain bola tidak esensial karena pada domain terbatas kita bisa mengganti variabel. Batas atas kompleksitas waktu relatif mudah ditunjukkan lewat waktu eksekusi algoritme, tetapi batas bawah yang bermakna jauh lebih sulit dibuktikan karena harus membatasi semua algoritme
Bukti kali ini tampaknya menunjukkan bahwa kompleksitas waktu batas bawah sama dengan kompleksitas algoritme lama berusia 30 tahun, dan bahwa untuk menyelesaikan masalah pada kelas fungsi ini dibutuhkan Ω(d²) evaluasi fungsi. Jika ada gradient oracle, gradien bisa diaproksimasi dengan d kali evaluasi fungsi, jadi kemungkinan ini berarti jumlah evaluasi minimum adalah d, tetapi saya tidak yakin seberapa sulit membuktikannya secara ketat
Saya penasaran apakah dalam riset matematika juga ada pola berlatih dengan memecahkan masalah tingkat rendah, lalu naik ke tingkat menengah sebelum menuju masalah terbuka. Saya juga tertarik bagaimana ini dibandingkan dengan perubahan yang terjadi pada developer junior di pengembangan perangkat lunak
Bisa saja ada senior hebat yang tidak tahu apa itu L1 cache miss, dan model AI saat ini memang mengetahui hal semacam itu, tetapi tanpa arahan manusia mereka kesulitan menerapkannya dengan benar. Di industri energi, dalam konteks debugging tertentu, keselamatan runtime harus diprioritaskan di atas safety biasa, tetapi AI belum bisa menilainya dengan tepat. Jika mencari developer muda dengan pengalaman sedikit tetapi benar-benar paham ilmu komputer, mereka lebih murah sehingga justru lebih mungkin direkrut
Ini bukan fenomena khusus software. Saya sedang membuat aplikasi AI enterprise yang akan dipasang ke agen AI milik karyawan, dan ternyata satu-satunya orang di tim yang tidak berisiko adalah pakar inti yang selalu jadi tempat semua orang meminta saran. Bahkan orang yang pekerjaannya bagus pun sering kalah dari AI. Ini akan menjadi tantangan sosial yang sangat besar, dan AI mungkin juga bisa menggantikan pakar domain. Mengingat empat bulan lalu saya sendiri masih akan bilang semua ini sekadar hype, sulit memastikan bahwa itu masih masa depan yang jauh
Untuk mendapatkan gelar doktor, Anda harus melakukan riset orisinal, jadi sejak awal Anda memang menangani masalah terbuka. Namun tidak harus bersifat terobosan; sebagian besar disertasi doktor, termasuk milik saya, berada pada tingkat yang bisa dibuat tanpa terlalu sulit oleh peneliti senior di subbidang yang sama. Sebagian besar tujuan memberi riset kepada peneliti junior adalah melatih mereka agar kelak menjadi senior, dan hasil akhirnya sendiri sering kali tidak terlalu istimewa, jadi mirip dengan pengembangan perangkat lunak
Melihat tren perkembangan pembuktian LLM, struktur ini tampaknya harus segera berubah. Saya tidak punya gagasan bagus tentang bentuk yang seharusnya, jadi syukurlah saya bukan orang yang harus memutuskan, tetapi saya cukup khawatir dengan masa depan dunia matematika
Solusi software membutuhkan maintainability dan perencanaan, dan LLM lemah dalam hal ini. Karena itu muncul kode campur-aduk buatan LLM yang tidak memakai ulang pustaka standar yang sudah ada dan malah membuat logika kusut penuh duplikasi dan tambal-sulam
Kecuali dalam kasus seperti Grothendieck yang marah karena Deligne tidak menyelesaikan dugaan Weil dengan ‘cara yang benar’, software dan matematika pada dasarnya berbeda dalam hal ini. Ada cukup banyak masalah besar yang bisa ditangani dengan kemampuan perencanaan jangka panjang saat ini, jadi AI mungkin akan meraih Medali Fields sebelum bisa menjalankan McDonald’s
Jika dilihat lebih dekat, penulis telah mencoba selama 1 tahun menyelesaikan masalah ini dengan GPT-5.4 dan GPT-5.5, lalu memasukkan semua informasi itu ke prompt Sol Pro, dan mungkin saja Sol Pro juga punya akses langsung ke riwayat percakapan sebelumnya. Jadi klaim 148 menit itu pada dasarnya adalah 1 tahun + 148 menit
Selain itu, teknik yang dipakai untuk menyelesaikan masalah tampaknya juga sudah ada di prompt: https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
Penulis memasukkan ke dalam prompt hampir semua pendekatan masuk akal yang akan terpikir oleh orang yang memahami bidangnya, dan juga meminta bantuan Sol untuk menulis prompt dengan memberikan prompt CDC, ide-ide, serta definisi dan spesifikasi masalah yang jelas. Bahkan kelas fungsi akhir, yang dibangun dari nilai maksimum fungsi afin, juga sudah ada di prompt
Jadi pada akhirnya tidak jelas apakah GPT-5.6 benar-benar menutup celah itu hanya dari prompt, atau apakah penulis sebenarnya sudah mengerjakan hampir semuanya lalu dengan antusias mengatribusikan keberhasilan itu kepada GPT-5.6
Di Reddit dikoreksi bahwa pekerjaan ini dilakukan dengan Sol Pro, bukan Ultra; saya penasaran bagaimana perbedaan keduanya sebaiknya dipahami
Saya memahami ChatGPT Pro lebih seperti sistem multi-agen yang menjalankan beberapa LLM secara paralel lalu memilih jawaban terbaik, sedangkan Ultra saya pahami seperti Claude-Code UltraCode, yaitu agen utama membuat alur kerja JavaScript dinamis untuk mengoordinasikan beberapa agen dan verifier adversarial secara deterministik. Apakah ini kurang lebih benar, dan adakah sumber yang mendukungnya?
Saya ingat bukti dugaan abc yang diajukan Mochizuki https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs ditolak karena terlalu sulit dipahami manusia. Bukankah justru bukti seperti ini objek yang ideal untuk LLM?
Meski begitu, LLM tetap punya potensi besar baik dalam verifikasi informal—membaca cepat dan menemukan celah—maupun verifikasi formal dengan benar-benar mencoba melakukan formalisasi
Yang mengejutkan sekarang adalah bahwa kecerdasan telah menjadi murah, efisien, dan umum. Karena sebagian besar keterampilan manusia menjadi tidak bermakna, kita perlu kembali memusatkan energi pada nilai dan prinsip inti
Juga tidak jelas bagaimana efisiensi diukur. Sulit menyebutnya efisien hanya dari satu sesi dan hasilnya sambil mengabaikan infrastruktur dan biaya pelatihan yang sangat besar yang dibutuhkan sampai pekerjaan ini menjadi mungkin. Hasil AI juga tidak serta-merta membuat keterampilan manusia tidak bermakna, dan apakah menyerahkan berpikir kepada AI membuat kita kehilangan kemampuan kognitif justru merupakan inti perdebatan saat ini
Secara keseluruhan ini pembuktian kemampuan yang mengesankan, tetapi saya tidak akan melebih-lebihkannya
Namun, jika pembedaan ini dipertahankan, muncul masalah yang sulit diatasi. Kerangka konsep untuk memahami dunia selalu sudah mengandung nilai, dan tidak ada sudut pandang tanpa perspektif atau sistem nilai yang lepas dari kondisi historis. Kerangka yang mengharuskan nilai dipaksakan dari luar kecerdasan pada akhirnya buntu dalam semacam pseudos-teologi seperti alignment AI dan superintelligence
Daripada memisahkan secara keras fakta dan nilai, kecerdasan dan etika, lebih baik fokus pada menerima secara kritis dan memperluas kebijaksanaan yang diwariskan melalui manusia maupun LLM
Namun, kemungkinan besar LLM pada akhirnya akan sampai ke sana, baik dengan langsung mempelajari penalaran spasial maupun dengan menjadi antarmuka bagi model yang melakukannya, jadi poin dasarnya tetap berlaku
Pada akhirnya, ini membuktikan bahwa informasi adalah kekuatan. Jika Anda tidak tahu ke arah mana harus bergerak, yaitu tidak tahu gradien parsialnya, Anda akan terus menghitung tanpa akhir
Saat mencoba menyelesaikan masalah matematika tingkat tinggi dengan AI, ternyata kita bisa melontarkan brute force dalam skala sangat besar ke masalah tersebut. Jika kita bisa melakukan brute force terhadap logika matematis, akan muncul perkembangan yang menarik
Ini masih belum melalui peer review
Menarik bahwa hingga beberapa bulan lalu masih banyak orang yang dengan yakin mengatakan tidak ada yang peduli pada masalah matematika ‘tak terpecahkan’ yang diselesaikan AI