6174: Bilangan asli yang dikenal sebagai Konstanta Kaprekar

 (en.wikipedia.org)
3 poin oleh GN⁺ 2024-01-17 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • 6174 adalah bilangan asli di antara 6173 dan 6175, dan secara matematis diklasifikasikan sebagai Kaprekar's Constant
  • Faktorisasi primanya adalah 2 × 3² × 7³, dan merupakan 7-smooth number karena semua faktor primanya tidak lebih dari 7
  • 6174 dapat dinyatakan sebagai 18³ + 18² + 18¹, dan jumlah digitnya juga 18
  • Jika faktor-faktor prima, termasuk pengulangan, dikuadratkan lalu dijumlahkan, hasilnya 169 = 13², sehingga kembali menjadi kuadrat sempurna
  • Tersedia tautan ke video Numberphile serta contoh kode Perl, Python, dan C untuk melihat contoh perhitungan Kaprekar's Constant

Definisi dasar 6174

  • 6174 adalah bilangan asli setelah 6173 dan sebelum 6175
  • Dalam bentuk kardinal ditulis “six thousand one hundred seventy-four”, dan bentuk ordinalnya adalah 6174th
  • Faktorisasi primanya adalah 2 × 3² × 7³
  • Pembaginya adalah 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174

Notasi dalam berbagai sistem bilangan

  • Biner: 1100000011110₂
  • Ternary: 22110200₃
  • Senary: 44330₆
  • Oktal: 14036₈
  • Duodesimal: 36A6₁₂
  • Heksadesimal: 181E₁₆
  • Dalam angka Yunani ditulis ,ϚΡΟΔ´, dan dalam angka Romawi ditulis V MCLXXIV atau VI CLXXIV

Sifat matematis

  • 6174 adalah Kaprekar's Constant
  • Merupakan 7-smooth number, yaitu tidak memiliki faktor prima yang lebih besar dari 7
  • 6174 dapat dibentuk dari jumlah tiga pangkat pertama dari 18
    • 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
    • 6 + 1 + 7 + 4 = 18, sehingga jumlah digitnya juga 18
  • Jumlah kuadrat dari faktor-faktor primanya adalah sebuah kuadrat sempurna
    • 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²

Materi eksternal terkait

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-01-17
Komentar Hacker News

  • Ini jelas tampak terkait dengan trik akuntansi manual standar yang dipakai saat mencari kesalahan dalam pembukuan berpasangan. Pertama, periksa apakah jumlah selisihnya habis dibagi 9; jika ya, anggap ada dua digit atau lebih yang tertukar di suatu tempat
    Alasannya bisa dibuktikan seperti ini: untuk digit x dan y apa pun, nilai yang benar adalah 10x + y, sedangkan nilai yang tertukar adalah x + 10y. Selisihnya adalah (10x - x) + (y - 10y), yang menyederhana menjadi 9x - 9y, dan akhirnya dapat difaktorkan menjadi 9(x - y)

    • Benar. Sepertinya ada dua elemen di sini, dan itu tampaknya yang pertama. Jumlah digit di sisi kiri dan kanan konvergen ke 18
      Jumlah digit di kedua sisi persamaan a - rev_a = b semakin mendekat satu sama lain seiring iterasi. Kadang jaraknya tetap sama, tetapi tidak makin jauh. Dan konvergensi itu hanya terjadi di 18
      Contoh:
      5200 (jumlah 7) - 0025 = 5175 (jumlah 18, selisih 11)
      7551 (jumlah 18) - 1557 = 5994 (jumlah 27, selisih 9)
      9954 (jumlah 27) - 4599 = 5355 (jumlah 18, selisih 9)
      5553 (jumlah 18) - 3555 = 1998 (jumlah 27, selisih 9)
      9981 (jumlah 27) - 1899 = 8082 (jumlah 18, selisih 9)
      8820 (jumlah 18) - 0288 = 8532 (jumlah 18, selisih 0)
      8532 (jumlah 18) - 2358 = 6174 (jumlah 18, selisih 0)
      7641 (jumlah 18) - 1467 = 6174 (jumlah 18, selisih 0)
      Ini terasa seperti petunjuk pertama. Satu-satunya saat jumlah digit kedua sisi bisa menjadi sama adalah ketika keduanya 18, dan jumlah di kedua sisi makin mendekat hingga akhirnya harus sama; titik itu harus 18. Jika digali, ini tampaknya variasi dari aturan klasik jumlah digit mod 9
      Lalu setelah jumlah digit di kedua sisi menjadi 18, dari situ tampaknya harus konvergen ke 6174
      Jadi pertama-tama, jumlah digit selalu konvergen agar sama di kedua sisi, dan konvergensi itu selalu terjadi saat jumlah digit di kedua sisi persamaan adalah 18. Sifat ini sepertinya bisa dibuktikan dengan aturan mod 9 klasik, meski perlu sedikit kerja
      Setelah itu sifat kedua bekerja: semua bilangan empat digit yang jumlah digit di kedua sisi persamaan ini sama-sama 18 akan konvergen ke 6174. Ini adalah himpunan bilangan yang lebih terbatas. Karena konvergensi ke 18 di atas bisa dilihat secara terpisah, kita hanya perlu mempertimbangkan bilangan berbentuk a - a_rev = b, dengan jumlah digit a dan b sama-sama 18
    • Ungkapan jelas sama sekali tidak terasa jelas. Saya harus berpikir cukup keras
    • Mengapa nilai yang benar adalah 10x + y?

  • Saya sama sekali tidak tahu mengapa ini penting, tetapi ini hal paling keren yang saya lihat di HN belakangan ini
    Saya jauh dari kutu buku matematika dan sebisa mungkin menghindarinya di sekolah, tetapi hal seperti ini benar-benar menarik dan aneh. Bagaimana, dan untuk alasan apa, orang bisa menemukan hal seperti ini? Sifat angka ini saja sudah cukup menarik, tetapi proses penemuannya sendiri benar-benar ganjil

    • Coba baca Lockhart's Lament. Mungkin sebenarnya Anda menyukai matematika, tetapi cara sekolah mengajarkan matematika saja yang buruk
    • Dalam konteks serupa, dulu saat sekolah saya sempat terpikat pada bilangan Lychrel. Ambil angka x, balik digitnya untuk membuat y, lalu jumlahkan x dan y, dan ulangi
      Pada akhirnya proses ini mengarah ke bilangan palindrom yang tetap sama saat digitnya dibalik. Namun angka seperti 196 tampaknya tidak pernah menghasilkan palindrom. Tidak ada yang tahu apakah itu benar-benar demikian, atau apakah palindromnya begitu besar sehingga komputer belum menemukannya

  • Tulisan terkait:
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - Juni 2011 (64 komentar)
    6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - Agustus 2010 (1 komentar)
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - Februari 2009 (41 komentar)

  • Bilangan empat digit menarik lain yang terkait dengan matematikawan India adalah 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

  • Menakjubkan. Adakah intuisi informal mengapa setidaknya ada satu konstanta empat digit dengan sifat seperti ini? Secara intuitif, rasanya graf ini akan memiliki banyak siklus

    • Hal yang membuatnya tidak terlalu mengejutkan adalah ada banyak angka yang dipetakan ke hasil yang sama. Misalnya semua permutasi dari kumpulan digit yang sama begitu
      Setelah saya cek, ketika proses ini diterapkan ke semua bilangan empat digit, hanya ada 55 hasil berbeda, atau 54 jika mengecualikan 0000. Jadi ruang untuk munculnya banyak siklus berkurang
    • Lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar%27s_routine
      Sekilas ada beberapa pola. Misalnya, pada basis yang memiliki bilangan Kaprekar dua digit, jumlah digitnya menjadi basis-1. Sepertinya ada penjelasan teori bilangan di sini
    • Ada solusi di referensi pertama tulisan itu
      https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
    • Grafnya kecil. Graf-graf serupa, misalnya algoritma ini untuk 2 digit atau 5 digit, atau kasus bilangan 3–4 digit dalam basis 9 atau basis 11, memiliki beberapa siklus: https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar's_routine#Kaprekar's_...
    • Apakah ini juga bekerja di basis lain? Sebagai orang yang bahkan gagal kalkulus SMA, saya membayangkan ini mungkin hasil dari sistem desimal

  • Teringat sebuah perangkat berbentuk silinder yang saya lihat di Exploratorium, San Francisco lebih dari 10 tahun lalu. Sepertinya sebelumnya juga pernah diperkenalkan di kolom Mathematical Recreations atau Computer Recreations di Scientific American
    Seingat saya, ada silinder horizontal besar yang dipenuhi angka, dan mungkin ada semacam cincin atau kursor. Saat diputar, perangkat itu menjalankan suatu operasi matematika, dan seperti 6174 ini, tampaknya setelah diulang beberapa kali ia konvergen ke satu angka terlepas dari keadaan awalnya
    Andai saya bisa ingat itu apa

    • Saya tahu pameran yang mana. Setahu saya, benda itu masih ada di sana. Terakhir saya ke sana sekitar setahun lalu
    • “Mungkin yang dimaksud adalah Kaprekar Machine di San Francisco Exploratorium. Itu adalah pameran interaktif yang menunjukkan prosedur Kaprekar dan konvergensi ke 6174 melalui operasi matematika pada bilangan empat digit.” (ChatGPT 3.5)

  • Saya mencoba mencari makalah asli Kaprekar, tapi gagal. Ada yang punya PDF-nya?

    • Benar, saya juga tidak bisa menemukannya
      Sedikit menyimpang, tapi saya jadi penasaran berapa banyak penelitian yang lenyap begitu saja karena dianggap tidak semenarik ini

  • 6174 hanya istimewa kalau menghitung dalam basis 10. Karena ini HackerNews, tentu semua orang pakai heksadesimal. Sayangnya, menurut https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php, tidak ada konstanta Kaprekar sederhana dalam heksadesimal

  • Untuk 5 digit, angkanya 98532. Menarik

    • Untuk 5 digit tidak ada angka seperti 6174, hanya ada siklus. Angka itu adalah bagian dari salah satunya:
      74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
      63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
      53955 -> 59994 -> repeat
      https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php

  • Artikel itu mengatakan proses ini bekerja untuk semua angka dan hanya repdigit yang menjadi pengecualian, tapi bukankah ini juga gagal untuk semua bilangan palindrom?

    • Proses ini bukan sekadar membalik urutan digit. Kalau bilangan palindrom memang akan tetap sama, tetapi digitnya diurutkan dulu, baru kemudian dibalik, jadi bilangan palindrom pun berubah
    • 1221 menjadi 2211, sehingga terhindar dari selisih menjadi 0