Prolog ‘Calculus Made Easy’: kalkulus bisa dipelajari lebih mudah daripada yang dibayangkan
(calculusmadeeasy.org)- Prolog ini berangkat dari fakta bahwa banyak orang dapat melakukan perhitungan kalkulus, dan mengatakan bahwa mempelajari trik yang sama tidak harus sulit atau membosankan
- Dalam kalkulus, trik yang sangat mudah dan bagian yang sangat sulit hadir bersamaan, dan tidak perlu menganggap semuanya sulit sejak awal
- Buku teks matematika tingkat lanjut dikritik karena menangani perhitungan yang mudah secara rumit, seolah ingin menonjolkan kecerdikan penulis alih-alih menunjukkannya dengan mudah
- Penulis merendahkan diri dengan menyebut dirinya “remarkably stupid fellow”, lalu mengatakan bahwa ia akan menunjukkan bagian yang tidak sulit yang telah ia singkirkan kerumitannya kepada pembaca yang berada dalam posisi serupa
- Jika bagian yang mudah dikuasai dengan cukup, sisanya juga bisa mengikuti, dan sikap “What one fool can do, another can” menekankan kemungkinan untuk belajar
Tingkat kesulitan kalkulus menurut prolog
- Kalkulus bukanlah bidang yang semua bagiannya sama sulit; ada trik yang mudah dan ada trik yang sangat sulit
- Fakta bahwa banyak orang bisa melakukan perhitungan menjadi dasar bahwa orang lain juga dapat mempelajari trik perhitungan yang sama
- Buku teks matematika tingkat lanjut dikritik karena cenderung membahas bagian yang mudah secara rumit alih-alih menjelaskannya dengan sederhana
Sikap belajar yang dianjurkan kepada pembaca
- Penulis mengatakan bahwa ia sendiri telah melalui proses menyingkirkan kesulitan itu secara langsung
- Buku ini mengambil posisi bahwa pembaca perlu terlebih dahulu menguasai bagian yang tidak sulit, dan bila dasar itu sudah cukup kuat maka sisanya akan mengikuti
- Kalimat penutup “What one fool can do, another can” merangkum kemungkinan belajar: apa yang dapat dilakukan satu orang, dapat pula dilakukan orang lain
1 komentar
Pendapat di Hacker News
Sekitar 10 tahun setelah meninggalkan sekolah, saya kembali tertarik pada kuliah fisika, lalu mengambil buku mekanika klasik, dan akhirnya juga meninjau ulang aljabar linear dasar
Namun saya terkejut karena berbagai buku teks hanya membahas prosedur menghitung dot product vektor, dan hampir tidak menjelaskan mengapa itu penting—bahwa ia berguna untuk menilai kemiripan dua vektor
Baru setelah membicarakan maknanya dengan ChatGPT, saya bisa menerimanya; sekarang saya senang karena bisa memperlambat tempo dibanding masa kuliah dulu dan benar-benar memahami konsep sebelum lanjut
Sebagian besar buku matematika yang saya baca lebih condong menunjukkan prosedur mekanis daripada makna keseluruhan, jadi saya jadi penasaran di mana ada buku yang lebih baik dalam memberikan penjelasan semantik tentang konsep
Saya ingat pernah belajar prosedur menghitung eigenvector, tetapi tidak pernah mendengar sepatah kata pun tentang mengapa kita menginginkan hal seperti itu
Agar bisa menjelaskannya dengan benar, sepertinya tujuan mata kuliah seperti “mengajarkan kalkulus, aljabar linear, dan mekanika kuantum sekaligus” harus dibuat lebih rendah hati
Sejak hari itu saya kehilangan semangat terhadap matematika, dan kemudian ketika tahu bahwa integral berkaitan dengan luas di bawah kurva dan betapa bergunanya hal itu, saya kembali merasa marah
Sebagian besar guru mungkin beritikad baik dan berusaha keras, tetapi jelas ada juga orang yang begitu buruk sampai seharusnya tidak pernah masuk kelas lagi
Sebelumnya, itu hanya konsep abstrak lain yang terhubung dengan konsep-konsep abstrak lain yang harus dihafalkan demi lulus ujian
Sampai sekarang pun, saat membaca makalah tentang relasi aljabar abstrak, saya merasa frustrasi jika yang disajikan hanya relasi simbolik tanpa bahkan satu atau dua kalimat tentang bagaimana memikirkan konsep itu secara intuitif
Di dalam permainan bernama matematika, sudut pandang seperti itu mungkin menjadi alami, tetapi banyak orang belajar matematika dengan motivasi tambahan dan menginginkan sudut pandang yang menunjukkan kegunaan nyata atau kaitannya dengan dunia nyata
Dengan menunjukkan satu saja contoh konkret dari konsep abstrak, akan jauh lebih banyak pembaca cerdas dan relevan yang bisa memahami makalah matematika
Saya baru benar-benar memahami kalkulus setelah membaca buku bagus Steven Strogatz, Infinite Powers; buku ini menjelaskan bukan hanya mengapa demikian, tetapi juga sejarah di balik alasannya
Bagi saya pribadi, ini buku 10/10
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Buku-buku fisika tingkat rendah yang pernah saya lihat memperkenalkan dot product dengan definisi geometris dan definisi aljabar, lalu menunjukkan bahwa keduanya sama dalam 2–3 dimensi
Jika “bagaimana” adalah definisi aljabar, maka “mengapa” adalah definisi geometris
Dalam fisika, dot product penting bukan untuk mengukur kemiripan, melainkan karena ia memberi tahu panjang dan sudut; di ruang yang lebih abstrak, dot product bahkan dapat menjadi definisi panjang dan sudut
Dalam machine learning, kita memerlukan definisi kemiripan, dan itu bisa dirumuskan sebagai sudut antara dua vektor yang kecil, sehingga sudut pandang seperti itu masuk
Ukuran kemiripan yang lebih tradisional adalah panjang perbedaan, yaitu jarak, dan ini juga dihitung dengan dot product
Saya sudah berurusan dengan kalkulus selama 20 tahun lewat sekolah, pekerjaan, dan hobi, dan tulisan seperti ini selalu menyenangkan sekaligus membuat saya tersenyum
Rasanya seperti intuisi yang dibangun selama bertahun-tahun bisa disampaikan dalam beberapa menit jika dipaparkan dengan benar
Penjelasan seperti “(dx)^2 adalah potongan sangat kecil lain dari potongan sangat kecil x” bahkan menjadi pilar utama dalam perjuangan saya baru-baru ini yang menghabiskan puluhan jam hanya untuk memahami kalkulus stokastik secara dasar
Saat melihat materi seperti ini, saya merasa umat manusia bergerak maju karena generasi baru bisa mengakses informasi semacam ini dan belajar lebih cepat
Bahkan hari ini pun, tampaknya hal itu sulit banyak berubah
Sebagian dari itu berkaitan dengan perdebatan lama, yang sering kali filosofis dan teologis, seputar status ontologis infinitesimal
Difference quotient menjadi formalisasi resmi kalkulus diferensial, tetapi dalam praktiknya hampir tidak pernah digunakan seperti itu; di dunia nyata, kalkulus digunakan dengan cara seperti itu
Dalam praktik, kita masih memakai notasi infinitesimal yang bersifat ad hoc, tetapi itu adalah benda aneh yang punya aturan tersendiri, dan sebenarnya tidak banyak orang yang tahu aturan itu
Analisis nonstandar memungkinkan infinitesimal diperlakukan hampir seperti aturan aljabar biasa, tetapi saya tidak tahu apakah ia kurang dipakai karena ada masalah teknis dan filosofis yang mendasar, atau hanya karena konservatisme sederhana
Kalkulus stokastik benar-benar aneh, dan misalnya saya tidak pernah memahami formalisasi “yang benar” untuk filter Kalman waktu kontinu
Jika dilihat dengan cara mengirim interval waktu ke 0, dengan sedikit penyesuaian hasil yang benar memang keluar, tetapi saya memahami bahwa secara formal itu tidak tepat
Dari sudut pandang seseorang yang mengambil kalkulus dalam proses masuk universitas, pamflet semacam belajar kalkulus dengan mudah ini terasa klise sampai menyebalkan
Bagian yang sulit bukanlah konsep pada tingkat tertinggi, melainkan pengetahuan dasar yang diperlukan untuk benar-benar menyelesaikan soal kalkulus
Bagi saya, bagian tersulit pertama adalah benar-benar menguasai pengetahuan prasyarat, mulai dari melengkapkan kuadrat, pembagian panjang polinomial, hingga persamaan yang melibatkan turunan, sehingga bisa menyelesaikan soal-soal tak terduga
Kedua, memahami dan menerapkan secara tepat notasi serta teknik grafik, mulai dari notasi Leibniz hingga sketsa kurva
Karena itulah ada buku dan kuliah tebal yang hanya membahas kalkulus pengantar, dan bahkan belum menyentuh permukaan matematika yang lebih lanjut
Kalau Anda tidak hanya membaca halaman HTML-nya, itu adalah buku satu jilid yang diterbitkan Silvanus P. Thompson pada 1910, dinilai cukup baik hingga disunting ulang oleh Martin Gardner pada 1998, lalu dengan telaten ditata ulang dalam TeX oleh para sukarelawan dan dijadikan situs web
Buku itu memenuhi kebutuhan yang jelas, dan bukan sekadar pamflet “klise”
Namun ada juga yang tidak merekomendasikan edisi Gardner karena menganggap dua kepribadian kuat di dalamnya saling berbenturan
Secara pribadi saya merekomendasikan Khan Academy, dan sebaiknya mengerjakan ulang seluruh matematika SMA dari awal hingga akhir
Saat berada dalam situasi serupa, saya menonton materi Khan yang ada di YouTube; nilai SMA saya cukup baik, tetapi karena sekolah saya kurang bagus, banyak dasar yang terlewat sehingga saya sama sekali belum siap untuk belajar matematika sungguhan
Setiap kali profesor atau asisten dosen menunjukkan “trik aljabar yang sudah sewajarnya diketahui” dalam ekspresi yang rumit, sering kali itu adalah pertama kalinya saya melihatnya dalam hidup saya
Saat belajar kalkulus, hampir tidak ada jalan lain selain mempelajari kembali aljabar, geometri, dan trigonometri secara mandiri
Jika kemampuan aljabar lemah, Anda tidak akan mampu menangani persamaan kalkulus, dan solusinya bukan dicari di “belajar kalkulus dengan mudah”, melainkan di “belajar aljabar dengan mudah”
Di SMA saya cukup pandai mengerjakan soal kalkulus, tetapi hampir tidak memahami apa sebenarnya limit itu
Di universitas, ketika memahami definisi limit dan teorema-teorema dasar yang dibangun di atasnya, saya sangat terkejut
Bagi kebanyakan orang yang tidak perlu mengerjakan soal matematika rumit setiap hari, inti pembelajaran matematika bukanlah kemampuan menyelesaikan soal secara mekanis, melainkan pemahaman atas konsep dan gagasan matematika yang membentuk kemampuan berpikir secara keseluruhan
Bagian aljabar mana yang diperlukan? Anda harus menemukannya sendiri
Inilah hambatan besar ketika mempelajari matematika secara terbalik; di setiap tikungan muncul potongan yang hilang, dan potongan itu mengarah ke potongan hilang lainnya
Cara naik dari dasar ke tingkat lanjut terasa menjengkelkan karena otot matematika tumbuh terlalu lambat, dan cara turun dari atas ke bawah juga lambat dan membuat frustrasi
Memahami konsep saja tidak membuat Anda mahir matematika, dan sebelum mencoba beberapa soal, mudah sekali menipu diri sendiri dengan merasa “sudah paham”
Baru setelah cukup banyak mengulang soal tingkat rendah hingga menjadi memori otot, Anda bisa naik ke tingkat berikutnya
Meski begitu, pada suatu titik akan ada titik balik ketika rasa sakit dan perasaan seperti masuk lubang kelinci berkurang cukup cepat; latihan berulang mulai terbayar, dan kelompok berikutnya menjadi sedikit lebih mudah
Pemrograman juga sama: sekadar mengetahui konsep loop tidak membuat Anda mampu menulis kode pengurutan array secara efisien; Anda harus cukup sering memakai sintaks dan loop, lalu berulang kali membiasakan diri dengan algoritme pengurutan hingga melekat
Setelah melalui proses seperti ini, konsep yang sama berulang dalam variasi lain, dan mulai bisa ditangkap dalam waktu yang makin sedikit
Inilah juga alasan banyak orang akhirnya menyerah begitu saja dan menerima bahwa mereka tidak punya gen matematika
Buku lain untuk membaca kalkulus adalah The Calculus: A Genetic Approach karya Otto Toeplitz
Buku itu mengikuti proses yang mirip, dan saya menikmatinya
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Di SMA dan semasa kuliah teknik, saya “tahu” kalkulus cukup baik untuk mendapat nilai bagus dalam mata kuliah matematika, tetapi baru merasa benar-benar mengetahui kalkulus setelah membaca buku seperti “A Course of Pure Mathematics” yang terbit pada 1908
Buku itu dimulai dari teori bilangan lalu membangun kalkulus, dan seingat saya teorema dasar kalkulus muncul sekitar pertengahan buku
Jika belajar seperti itu, sulit untuk melupakannya
Menurut saya, alasan cara seperti ini tidak diajarkan sekarang adalah karena sistem ujian dan ruang kuliah besar lebih mendorong hafalan sementara atas rumus-rumus utama serta mengetahui di mana menerapkannya secara mekanis, daripada pemahaman makna yang mendalam dan tahan lama
Guru matematika berganti setiap tahun, sehingga pemahaman siswa terhadap pengetahuan prasyarat untuk pelajaran tahun berikutnya menjadi berbeda-beda, dan awal setiap unit harus dipakai untuk mengulang serta menyatukan kembali materi; itu juga salah satu penyebabnya
Untuk memperoleh pemahaman kaya yang bertahan seumur hidup mungkin hanya butuh tambahan waktu 10–20%, tetapi yang lebih dihargai daripada pembelajaran sungguhan adalah pemadatan materi dan hasil yang bisa langsung diukur
Menemukan materi seperti ini benar-benar menyenangkan, tetapi juga pahit karena membuat kita sadar betapa menyedihkannya kondisi umum metode pendidikan modern
Selama beberapa bulan terakhir saya mempelajari dasar-dasar aljabar lewat kanal YouTube Professor Leonard[0]
Tujuannya adalah menutup celah pengetahuan sebelum kembali melihat kalkulus
Kalau ingin melakukannya dengan benar memang butuh waktu cukup lama, tetapi sekarang saya jauh lebih percaya diri terhadap kemampuan saya dibanding dulu, dan itu sendiri terasa memuaskan serta memotivasi
Sebelum mulai, saya tidak tahu bahwa lubang dalam pengetahuan aljabar saya sebesar ini
Tujuan akhir saya adalah mengikuti “Neural Networks: Zero to Hero”[1] dari Andrej Karpathy tanpa masalah besar
Memulai hampir dari “0” untuk mempelajari pengetahuan prasyarat sebelum belajar sendiri hal yang benar-benar ingin saya pelajari memang berat, tetapi jika memilih jalan pintas, rasanya pada akhirnya hanya akan berujung frustrasi
Jadi di usia 38 tahun saya menonton kuliah aljabar di YouTube
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Saya selalu tertukar antara buku ini dan Calculus for the Practical Man yang dipelajari Feynman
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Rasanya penulisnya, Silvanus P. Thompson[1], sebaiknya disebutkan langsung di awal
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
Tautannya tidak menuju halaman pertama yang mencantumkan nama penulis
Saya kira penulisnya sengaja memakai gaya bahasa yang kelewat imut
Judulnya bilang membuat kalkulus jadi mudah, tapi ternyata teori kategori malah tidak ada
Seolah terdengar ada yang bertanya, “Bagaimana mungkin?!”
Buku ini ditulis pada 1910, sementara teori kategori baru muncul 50 tahun setelahnya, jadi memang wajar saja
Meski begitu tidak perlu khawatir
Ada buku yang mengembangkan turunan dan integral biasa menggunakan kategori
Entah apa yang lebih mudah daripada ini, tapi kalau menemukannya akan saya beri tahu
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Saya menghargai usahanya, tetapi setelah membaca beberapa halaman saja, terasa bahwa ini bukan materi yang saya inginkan jika saya baru pertama kali belajar kalkulus
Untuk mengulang pun tidak sempurna
Penulis memang tepat menunjukkan masalah pada kebanyakan buku yang “layak”, tetapi ia mengoreksinya terlalu jauh sehingga justru membuat pemahaman menjadi tidak perlu rumit dan mungkin malah lebih sulit daripada sebagian buku teks formal
Terlalu bertele-tele, informal, dan cukup sulit dibaca serta diikuti
Saya tidak butuh rujukan seperti puisi Dean Swift atau “zaman Ratu Elizabeth”; saya hanya ingin tahu apa itu kalkulus, mengapa dibutuhkan, dan bagaimana cara melakukannya dalam praktik
Itu tetap berlaku sekalipun mengikuti pendekatan rekayasa yang tampak lebih mudah; dan jika ingin mengambil pendekatan yang sedikit saja matematis, menurut saya tingkat formalitas tertentu tetap diperlukan
Matematika adalah bidang yang sangat mudah membuat kita mengira sudah paham padahal sebenarnya belum, lalu bisa terbengong-bengong di hadapan pembuktian palsu yang paradoksal atau permintaan untuk membuktikan sendiri
Untuk membedakan penurunan yang valid dan tidak valid, pada akhirnya kita memerlukan definisi formal
Sebenarnya fondasi formal itu sendiri sama sekali tidak sulit dipahami
Siapa pun mudah setuju bahwa x² tumbuh lebih cepat daripada x, dan dengan memperkenalkan konsep limit, kita bisa melihat mengapa (dx)² dapat diabaikan dibandingkan dx
Untuk itu tidak perlu membandingkan minggu dan menit, dan analogi seperti itu justru bisa mengalihkan perhatian
Rasanya membaca beberapa definisi formal membutuhkan jauh lebih sedikit kesabaran daripada beberapa halaman omongan panjang bergaya “Inggris kuno”
Sunting: ah, ternyata ini bukan “stilistisasi”, melainkan memang tulisan lama sungguhan
Namun poin utamanya tetap sama: ada materi modern yang jauh lebih baik untuk belajar kalkulus