Matematika Diskret – Buku Pengantar Terbuka Edisi ke-4

• Edisi ke-4 Discrete Mathematics: An Open Introduction, yang bisa langsung digunakan dalam mata kuliah pengantar matematika diskret di perguruan tinggi, telah dirilis dan tersedia sebagai buku ajar online gratis serta PDF
• Edisi baru ini memperkuat alur yang dimulai dari logika dan pembuktian, lalu berlatih pembuktian melalui teori graf, sebelum berlanjut ke pencacahan dan barisan
• Sejak musim semi 2013, buku ini telah digunakan sebagai buku utama atau materi pendukung di lebih dari 200 universitas di seluruh dunia, serta mendapat rekomendasi dari AIM Open Textbook Initiative dan ulasan di Open Textbook Library
• Ebook online, PDF, edisi cetak, source di GitHub, hingga set tugas Runestone Academy, Edfinity, dan WeBWorK tersedia, sehingga hambatan untuk mengadopsinya dalam kelas menjadi rendah
• Versi online akan tetap gratis, dan edisi ke-4 berlisensi CC BY-NC-SA 4.0, sehingga dapat digunakan, dicetak, dan dimodifikasi untuk keperluan nonkomersial

---

Rilis edisi ke-4 dan karakter buku ajar

• Edisi ke-4 Discrete Mathematics: An Open Introduction tersedia di online dan Runestone Academy
• Edisi ke-3 juga tetap tersedia
• Buku ajar ini adalah buku ajar open-source gratis yang disesuaikan untuk mata kuliah matematika diskret bagi mahasiswa tahun pertama atau kedua jurusan matematika dan ilmu komputer
• Sangat cocok untuk kelas yang mencakup pembelajaran berbasis eksplorasi
• Sejak musim semi 2013, buku ini telah digunakan sebagai buku utama atau materi pendukung di lebih dari 200 universitas di seluruh dunia
• Buku ini direkomendasikan oleh Open Textbook Initiative dari American Institute of Mathematics, dan juga memiliki ulasan di Open Textbook Library

Perubahan struktur pada edisi ke-4

• Edisi baru ini merombak urutan konten secara besar-besaran
  • Bagian awal membahas logika dan pembuktian
  • Kemudian pembuktian dilatih melalui teori graf
  • Bagian akhir menempatkan pencacahan dan barisan
  • Unit pencacahan mencakup bagian aplikasi probabilitas baru
• Perubahan ini mencerminkan pengalaman dalam beberapa tahun terakhir bahwa mahasiswa mencapai hasil lebih baik dengan susunan tersebut
• Penekanan pada struktur diskret juga diperkuat
  • Mencakup himpunan, fungsi, dan relasi
  • Dibuat lebih berguna bagi mahasiswa ilmu komputer, sambil tetap mempertahankan pemahaman konsep matematika yang diperlukan bagi mahasiswa matematika dan calon guru matematika

Dukungan interaksi dan tugas

• Edisi ke-4 memiliki lebih banyak elemen interaktif
  • Jika membuat kursus berbasis buku ajar di Runestone Academy, tersedia latihan interaktif yang dapat diberi nilai untuk mahasiswa
  • Termasuk kode interaktif Sage dan Python untuk mengeksplorasi sebagian topik
• Set tugas online tersedia melalui beberapa jalur
  • Runestone Academy gratis
  • Edfinity adalah opsi berbiaya rendah
  • Set WeBWorK dapat diminta kepada penulis, dan juga tersedia di folder Contrib OPL
• Kesalahan atau salah ketik dapat diajukan melalui GitHub issue

Format yang tersedia dan aksesibilitas

• Seluruh buku ajar tersedia sebagai ebook online interaktif gratis
  • Dirancang agar berfungsi dengan baik di semua ukuran layar, termasuk smartphone
  • Penggunaan screen reader untuk mahasiswa tunanetra juga dipertimbangkan
  • Petunjuk dan jawaban untuk contoh serta latihan disembunyikan, dan dapat dilihat dengan mengklik tautan
  • Pada sebagian latihan, jawaban dapat dimasukkan dan diperiksa, sehingga pembaca bisa mencoba beberapa kali tanpa langsung melihat jawaban benar
• PDF gratis untuk penggunaan offline juga tersedia
  • Cocok dibaca di tablet atau komputer
  • Mendukung pencarian dan navigasi melalui tautan bawaan
  • Petunjuk dan jawaban dapat diakses dengan mengklik nomor latihan, dan dengan mengklik nomor petunjuk atau jawaban pengguna kembali ke latihan terkait
• Edisi cetak diterbitkan oleh CRC Press
• Versi online akan terus tersedia secara gratis

Source, materi kuliah, dan komunitas

• File source PreTeXt dan LaTeX buku ajar tersedia di GitHub
• Ada juga materi video yang memanfaatkan buku ajar ini
  • Mathematical Visual Proofs: video yang menampilkan ide-ide dari buku ajar dalam bentuk animasi
  • Dr. Trevor Bazett's Course: kuliah lengkap berbasis buku ajar ini
• Pengajar yang menggunakan buku ajar ini dalam kelas dapat meminta materi untuk instruktur
• Jika memiliki akses ke server WeBWorK, set tugas WeBWorK juga dapat diminta
• Tersedia Google Group untuk pengajar matematika diskret

Isi buku ajar dan penggunaan dalam kelas

• Buku ajar ini berawal dari catatan kuliah mata kuliah matematika diskret di University of Northern Colorado
• Mata kuliah tersebut merupakan pengantar topik matematika diskret sekaligus berperan sebagai mata kuliah pengantar pembuktian bagi mahasiswa matematika
• Kelasnya banyak mencakup eksplorasi oleh mahasiswa, dan buku ajar ini juga ditulis untuk mendukung hal tersebut
• Awalnya dirancang untuk mendukung calon guru matematika, dengan nada yang ramah dan informal
• Menekankan pemahaman konsep yang tercakup, bukan hafalan prosedur
• Buku ini juga digunakan dalam mata kuliah untuk mahasiswa ilmu komputer, dengan fokus membantu pemahaman yang lebih mendalam
• Empat topik utamanya adalah logika, teori graf, pencacahan, dan barisan
• Metode pembuktian yang dibahas mencakup pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian induksi, dan pembuktian kombinatorial
• Topik tambahan juga mencakup fungsi pembangkit dan teori bilangan
• Buku ini juga memiliki fitur untuk membantu penggunaan sebagai buku utama
  • Lebih dari 750 latihan
  • Banyak soal dengan jawaban dan petunjuk
  • Mencakup soal mudah hingga soal yang cukup kompleks
  • Banyak soal yang cocok untuk tugas
  • Aktivitas Investigate! dan pratinjau yang mendukung pembelajaran aktif berbasis eksplorasi
  • Indeks lengkap dan daftar simbol
  • Tata letak dan format halaman yang konsisten, seperti identifikasi contoh serta kotak definisi dan teorema

Lisensi

• Discrete Mathematics: an Open Introduction, 4th edition didistribusikan dengan lisensi CC BY-NC-SA 4.0
• Untuk tujuan nonkomersial, buku ini dapat diunduh, digunakan, dan dicetak
• Modifikasi teks juga diizinkan
  • Dapat membuat edisi khusus untuk mahasiswa
  • Harus mencantumkan atribusi penulis untuk bagian yang digunakan
  • Versi modifikasi harus didistribusikan dengan lisensi yang kompatibel
• Jika ingin menggabungkannya dengan teks berlisensi serupa tetapi berbeda, seperti GFDL, dapat meminta izin perubahan lisensi

[GN⁺]

Opini Hacker News

• Sebagai orang yang belajar mandiri tanpa gelar CS “resmi”, matematika diskret terasa seperti kunci untuk masuk ke topik yang lebih lanjut dan memecahkan masalah praktis dalam pemrograman, dan memang beberapa kali benar-benar membantu
  Saya juga suka “A Primer of Discrete Mathematics” karya Finkbeiner II dan Lindstrom dari tahun 1987 https://archive.org/details/isbn_0716718154. Memang agak lama dan tidak gratis, tetapi masih bagus, dengan soal latihan yang baik dan sebagian jawaban
  Saya pasti akan melihat buku ini juga; tampaknya menarik karena pendekatannya lebih modern dengan latihan interaktif, dan sepenuhnya gratis

  • Berkat Discrete Mathematics and It's Applications karya Kenneth H. Rosen, musim panas lalu saya mendapat A di CS70 UC Berkeley, yaitu mata kuliah matematika diskret dan probabilitas
    Bukunya cukup tebal, tetapi materinya relatif mudah diakses. Saya juga berasal dari jalur belajar mandiri, dan kini di usia 30-an sedang mengambil mata kuliah matematika/fisika formal untuk menambal kekurangan
    California Community Colleges juga menjadi sumber daya yang luar biasa. Semua pengajar matematika yang saya temui sejauh ini sangat antusias, dan sebagian besar kelas matematika memiliki seksi asinkron/online, sehingga cukup umum bagi orang dewasa untuk mengikutinya demi kesenangan atau pengembangan diri
  • Buku-buku matematika seperti ini terlihat menakutkan, tetapi saya menemukan banyak hal menarik di Applied Discrete Structures karya Al Doerr dan Ken Levasseur https://discretemath.org/
    Saya tertarik pada bagian “logika”, dan bagian itu tidak mengecewakan. Bisa diunduh gratis dari situs webnya
    Anda mengatakan “agak lama dan sayangnya tidak gratis”; kalau ada yang mencari, buku itu juga ada di Anna's Archive
  • Buku Counting & Probability dari AOPS adalah buku matematika diskret yang sangat bagus, lengkap dengan buku pembahasan penuh: https://artofproblemsolving.com/store
  • Anda mungkin juga akan menyukai Concrete Mathematics karya Graham, Knuth, dan Patashnik

• Saya berharap, khususnya buku ajar gratis seperti materi yang ditautkan ini, menyediakan lebih banyak jawaban. Buku yang kekurangan jawaban menimbulkan masalah melingkar bagi saya
  Untuk tahu apakah solusi saya benar, saya harus benar-benar memahami konsepnya. Tetapi jika saya benar-benar sudah memahami konsepnya, saya tidak perlu mengerjakan soal itu sejak awal. Saya tidak tahu bagaimana harus belajar tanpa umpan balik

  • Saya penulisnya. Menentukan berapa persen latihan yang diberi jawaban selalu menjadi keputusan yang sulit
    Berkat PreTeXt, saya banyak menggunakan latihan interaktif yang mudah dimasukkan ke dalam teks, sehingga mahasiswa bisa memasukkan jawaban dan mendapat umpan balik apakah benar. Ini cocok untuk soal hitungan
    Untuk soal berbasis pembuktian atau teoritis, saya berusaha menyediakan cukup banyak contoh dengan pembahasan lengkap, serta memasukkan beberapa latihan yang memiliki jawaban. Pada saat yang sama, saya juga ingin tetap memberi kesempatan bagi mereka yang menginginkan soal yang lebih terbuka tanpa jawaban
    Agar dosen lain dapat memakai buku ini dengan berguna di kelas, soal tanpa jawaban yang bisa dinilai untuk pemberian nilai juga penting. Bagaimanapun, saya harap materi ini membantu
  • Tidak menyediakan jawaban dalam buku ajar matematika itu cukup umum. Para dosen juga ingin menjadikan soal dari buku sebagai tugas kelas, dan membuat jawaban itu sendiri merupakan pekerjaan yang sangat banyak
    Jika ingin belajar dari buku ajar di luar kelas tanpa umpan balik eksternal, Anda perlu membaca materi jauh lebih aktif
    Anggap setiap pernyataan dalam teks sebagai latihan informal. Setiap kali muncul suatu proposisi, entah teorema maupun klaim dalam penjelasan, sebelum lanjut membaca cobalah membuktikan atau membenarkannya sendiri
    Misalnya Theorems 2.3.1 dan 2.3.2 sangat mirip. Jika Anda memahami bukti 2.3.1, Anda bisa mencoba mengerjakan 2.3.2 sendiri. Jika buntu, baca beberapa kalimat dari bukti yang disertakan sebagai petunjuk, dan setelah menyelesaikan bukti, bandingkan dengan bukti di teks
    Jika membaca cukup aktif, Anda bisa mempelajari materinya dengan cukup baik tanpa mengerjakan soal. Orang sering mengatakan bahwa untuk belajar matematika diperlukan pengerjaan soal formal, tetapi itu tidak benar. Banyak buku ajar matematika tingkat lebih tinggi sama sekali tidak memiliki latihan atau soal formal, dan orang tetap bisa belajar dengan baik
    Tentu saja, membaca matematika itu sendiri adalah keterampilan tersendiri, jadi jangan berharap akan mudah sejak awal. Guru privat satu lawan satu adalah yang terbaik, tetapi hanya sedikit orang yang seberuntung itu
  • Selesaikan soal dengan dua cara atau lebih. Di bidang seperti matematika diskret, itu seharusnya cukup memungkinkan
    Pertama kerjakan dengan tangan, lalu modelkan dengan alat seperti Mathematica atau OR-Tools untuk memastikan hasilnya sama
    Ini lebih efektif pada matematika tingkat lebih rendah seperti aljabar atau kalkulus. Untuk banyak soal, Anda bisa memakai fungsi Solve[] di Mathematica untuk mengetahui apakah jawaban Anda benar atau salah
    Pendekatan yang sama juga bisa dipakai di kelas algoritma. Tulis sendiri program naif yang menyelesaikan kasus uji secara sederhana tetapi pasti, lalu bandingkan hasilnya dengan algoritma yang lebih canggih. Atau gunakan implementasi acuan dari pustaka lain. Misalnya, Anda bisa membandingkan solusi algoritma graf buatan sendiri dengan hasil yang dikembalikan Neo4j
  • Menurut saya, buku matematika setidaknya harus memiliki jawaban untuk semua soal, dan sebagian besar soal juga harus memiliki proses penyelesaiannya. Namun demi latihan, sebagian soal bisa saja dibiarkan tanpa pembahasan
    Kalau kurang dari itu, buku tersebut hanya sebatas bisa dipakai guru sebagai referensi. Sebab guru harus memastikan bahwa solusi benar-benar lengkap dan tepat
    Ketika saya belajar teknik dan ekonomi puluhan tahun lalu, tanpa pembahasan, solusi saya sering kali tidak lengkap dan melewatkan detail atau kasus tertentu
  • Belakangan ini, untuk banyak pertanyaan, ChatGPT ternyata cukup baik mengisi celah itu

• Anda mungkin juga tertarik pada PreTeXt, teknologi berbasis XML yang dipakai untuk membuat buku ini: https://pretextbook.org/

  • Sayangnya tautan “source on github” di https://pretextbook.org/examples.html rusak

• Senang melihat materi sebagus ini. Terutama berterima kasih kepada semua penulis, termasuk para penulis buku ajar ini, yang membuka karya mereka secara gratis di online
  Dedikasi mereka jelas terlihat. Berkat materi gratis atau nyaris gratis seperti ini, banyak orang, termasuk pembelajar mandiri atau mereka yang sumber dayanya terbatas, bisa terus belajar
  Semoga para penulis tahu bahwa usaha mereka benar-benar sangat dihargai

• Agak terlambat, tetapi saya sangat merekomendasikan Discrete mathematics with applications karya Susanna Epp
  Ada beberapa buku dengan judul serupa, tetapi buku Epp ditulis dengan luar biasa baik. Ini buku ajar yang dibuat dengan ketekunan besar dan perhatian pada detail, dan itu sangat terasa. Bagus juga untuk belajar mandiri
  The Math Sorcerer juga punya video yang membahas edisi lama; rasanya lebih seperti himne penuh kasih untuk buku itu. Sepertinya dia benar-benar jatuh cinta pada buku tersebut: https://www.youtube.com/watch?v=FPr5-X9nZc4

• Seperti banyak buku ajar matematika diskret, bagian teknik akar karakteristik untuk akar berulang tidak memberikan pembuktian rumusnya

  • Ini berasal dari bentuk persamaan karakteristik. Jika akar berulangnya adalah r, kembangkan x^2 - 2r + r^2 lalu cocokkan sukunya untuk memperoleh a = 2r, b = -r^2. Jadi relasinya menjadi a(n) = 2r a(n-1) - r^2 a(n-2)
    Jika dibagi dengan r^n, ini ekuivalen dengan c(n) = 2c(n-1) - c(n-2), dengan c(n) = a(n)/r^n
    Ini adalah relasi rekurens selisih konstan c(n) - c(n-1) = c(n-1) - c(n-2)
    Karena itu c(n) menjadi barisan aritmetika c(n) = x*n + y untuk suatu x, y yang ditentukan oleh kondisi awal. Barisan aslinya adalah a(n) = c(n) r^n = (x*n + y) r^n
  • Pembuktian lengkap yang mencakup eksistensi dan keunikan tampaknya akan menjadi sangat panjang, atau memerlukan alat di luar cakupan buku ajar
    Misalnya, dengan aljabar linear ada pembuktian yang cukup ringkas; sebagian dapat direkonstruksi seperti ini. Saya suka pembuktian ini karena persamaannya diturunkan dari prinsip pertama, bukan dimulai dari bentuk yang diasumsikan
    Misalkan ada barisan x_n yang didefinisikan oleh relasi rekurens x_{n+1} = a * x_{n-1} + b * x_n
    Jika kita mendefinisikan barisan vektor berisi dua elemen berurutan [x_0; x_1], [x_1; x_2], [x_2; x_3], ... maka relasinya dapat dibuat sebagai perkalian matriks/vektor
    [x_1; x_2] = [[0 1], [a b]] [x_0; x_1]
    Jika barisan vektor disebut y_n dan matriksnya M, maka y_1 = M * y_0
    Suku berikutnya diperoleh sebagai y_2 = M * y_1 = M * (M * y_0) = M^2 * y_0, dan secara induktif menjadi y_n = M^n * y_0
    Polinomial karakteristik M adalah r^2 - br - a = 0, dan akarnya r_1 = (b - c)/2, r_2 = (b + c)/2, c = √(b^2 + 4a)
    Jadi melalui diagonalisasi kita memperoleh y_n = S * [[r_1^n 0], [0 r_2^n]] * S^(-1) * y_0. Di sini S adalah matriks eigenvektor
    Dari sini, pembuktian eksistensi dan keunikan dapat diselesaikan dengan eksistensi dan keunikan nilai eigen M
  • Membicarakan ini mengingatkan saya pada hal lain. Saya ingat pernah membandingkan mata kuliah matematika diskret yang saya ambil sekitar 1990 dengan AoCP karya Knuth
    Knuth mencari bentuk tertutup dari barisan rekursif dengan fungsi pembangkit, dan jika ingatan saya benar, hampir tidak membahas metode lain. Kelas yang saya ambil tidak menyentuh fungsi pembangkit, begitu juga kebanyakan buku ajar lain yang saya baca
    Menarik bahwa buku ini membahas topik itu. Sepertinya “matematika diskret” memang bisa berarti banyak hal

• Saya berharap saya menyukai bidang saya sendiri sebesar orang-orang yang menulis buku ajar gratis ini mencintai bidang mereka

• Ini mata kuliah favorit saya di universitas. Karena saya sangat menyukai matematika diskret pada tahun pertama, saya akhirnya mengambil dua jurusan, matematika dan AI; matematika saya pilih karena verifikasi formal

• Tertulis “PDF akan tersedia hingga 15 Agustus”, tetapi di sidebar hanya tertulis “PDF coming soon” :(

  • PDF-nya benar-benar akan segera keluar. Ada beberapa masalah dalam proses kompilasi, dan seharusnya sudah diperbaiki paling lambat Senin
  • Kalau tidak membayar, Anda tidak berhak mengeluh

• Jika tertarik pada kriptografi, apakah matematika diskret merupakan titik awal yang bagus? Pastinya lebih baik daripada analisis, bukan?

  • Jelas begitu, dan kelas matematika diskret saya punya kriptografi seperti lampiran tambahan
  • Betul. Ini merupakan komponen untuk memahami teori bilangan dengan baik, yang penting dalam kriptografi