- Saat masih menjadi mahasiswa pascasarjana di University of Toronto, Malors Espinosa mencari masalah riset yang bisa dicoba dibuktikan oleh siswa SMA, lalu mengajukan pertanyaan apakah semua simpul bisa masuk ke dalam Menger sponge
- Menger sponge adalah fraktal yang dibuat dengan berulang kali melubangi kubus, dan pada 1926 Karl Menger membuktikan bahwa struktur ini adalah kurva universal yang dapat memuat semua kurva
- Joshua Broden, Noah Nazareth, dan Niko Voth membuat simpul menjadi kisi melalui arc presentation, lalu mengembangkan cara menghindari lubang pada sponge dengan menggunakan koordinat Cantor set
- Setelah beberapa bulan rapat mingguan lewat Zoom, ketiga siswa membuktikan bahwa semua simpul dapat masuk ke dalam Menger sponge, dan makalahnya dipublikasikan di arXiv
- Pada versi tetrahedral, mereka menunjukkan bahwa trefoil knot dan keluarga pretzel knot yang lebih luas dapat ditempatkan di dalamnya, tetapi apakah ini dapat diperluas ke semua simpul masih menjadi pertanyaan terbuka
Teorema simpul-fraktal yang bermula dari masalah riset untuk siswa SMA
- Pada musim gugur 2021, Malors Espinosa sedang mencari masalah matematika yang cukup bernilai untuk riset tetapi juga bisa dibuktikan langsung oleh siswa SMA
- Ia telah mengajarkan ide dasar riset matematika dan cara menulis bukti dalam workshop musim panas untuk siswa SMA setempat, dan sebagian siswa sudah siap menangani masalah yang tidak memiliki kunci jawaban
- Setelah kembali menemukan Menger sponge dalam buku teks teori chaos, hal itu berujung pada pertanyaan yang menggabungkan fraktal ini dengan teori simpul
Menger sponge dan kurva universal
- Menger sponge dibuat dengan membagi kubus seperti Rubik’s cube, lalu menghapus kubus kecil tepat di tengah dan kubus-kubus kecil di tengah keenam sisinya, kemudian mengulangi proses yang sama tanpa henti pada 20 kubus kecil yang tersisa
- Seiring iterasi berjalan, jumlah lubang meningkat secara eksponensial; setelah pengulangan tak hingga, volumenya menyusut menjadi 0 dan luas permukaannya menjadi tak hingga
- Saat mendefinisikan sponge ini pada 1926, Karl Menger membuktikan bahwa sembarang kurva dapat dideformasi sehingga masuk di suatu tempat pada sponge tanpa berpotongan dengan dirinya sendiri
- Garis dan lingkaran sederhana
- Struktur yang tampak seperti pohon atau kepingan salju
- Kurva seperti debu fraktal
- Karena sifat ini, Menger menyebut sponge tersebut universal curve
Apakah semua simpul yang homeomorfik dengan lingkaran juga bisa masuk?
- Pertanyaan Malors berangkat dari fakta bahwa teorema Menger tidak membedakan kurva-kurva yang homeomorfik (homeomorphic)
- Simpul matematis adalah loop tertutup yang dibuat dengan menyambungkan kedua ujung tali yang dipelintir dan diikat; bagi seekor semut yang berjalan di atasnya, ia kembali ke titik awal seperti berjalan di lingkaran
- Dalam arti ini, semua simpul homeomorfik dengan lingkaran, tetapi bukti Menger hanya menjamin bahwa lingkaran dapat masuk ke dalam sponge
- Tujuannya adalah menunjukkan bahwa semua simpul dapat ditemukan di dalam Menger sponge sambil mempertahankan lingkaran dan keterkaitan simpul tersebut
Membuat simpul menjadi kisi dengan arc presentation
- Tiga siswa, Joshua Broden, Noah Nazareth, dan Niko Voth, menangani masalah ini dengan merepresentasikan simpul sebagai arc presentation di atas kisi bidang
- Arc presentation mengubah informasi tentang untaian simpul yang saling lewat di depan dan belakang menjadi susunan titik pada kisi; setiap baris dan kolom memuat tepat dua titik
- Titik-titik dihubungkan dengan garis horizontal dan vertikal, dan saat dua segmen garis berpotongan, garis vertikal digambar melewati bagian depan garis horizontal
- Semua simpul dapat direpresentasikan dalam bentuk kisi seperti ini, sehingga sifat-sifat penting simpul lebih mudah diteliti
Menghindari lubang sponge dengan koordinat Cantor set
- Para siswa menggunakan ide menempatkan garis horizontal dari arc presentation pada salah satu sisi Menger sponge, dan garis vertikal pada sisi yang berlawanan
- Bagian tersulitnya adalah memastikan jalur tidak jatuh ke dalam lubang saat menghubungkan dua sisi melalui bagian dalam sponge di setiap sudut arc presentation
- Untuk itu, mereka memanfaatkan Cantor set, fraktal satu dimensi
- Sebuah segmen garis dibagi menjadi tiga bagian, lalu sepertiga bagian tengahnya dihapus
- Proses yang sama diulangi tanpa henti pada dua segmen yang tersisa
- Hasil akhirnya adalah himpunan titik-titik yang tersebar
- Jika Menger sponge dan Cantor set dianggap telah melalui jumlah tahap penghapusan yang sama, maka pada sisi sponge tidak boleh ada lubang di titik yang kedua koordinatnya sama-sama termasuk Cantor set
- Karena struktur berulang pada sponge, tepat di belakang titik-titik seperti itu juga tidak boleh ada lubang, sehingga simpul dapat melintas tanpa keluar dari material sponge
Bukti memasukkan semua simpul ke dalam Menger sponge
- Tugas yang tersisa adalah menunjukkan bahwa sembarang arc presentation dari sebuah simpul dapat dipadatkan atau diregangkan sehingga semua sudutnya cocok dengan koordinat Cantor set
- Pemadatan dan peregangan seperti ini tidak mengubah keseluruhan struktur arc presentation, sehingga simpul yang direpresentasikan tetap sama
- Broden, Nazareth, dan Voth membuktikan bahwa sembarang arc presentation dapat diubah sehingga titik-titik perpotongan garis vertikal dan horizontal berada di dalam Cantor set
- Hasil ini menjamin bahwa jumlah sudut yang lebih banyak pun dapat disesuaikan dengan Cantor set, dan pada akhirnya membuat simpul yang diberikan dapat dimasukkan ke dalam suatu tahap iterasi Menger sponge
- Ketiga siswa menunjukkan bahwa semua simpul dapat masuk ke dalam Menger sponge
Masalah yang diperluas ke tetrahedral sponge
- Setelah menjawab pertanyaan awal, para siswa mulai menyelidiki apakah semua simpul juga dapat masuk ke dalam versi tetrahedral dari Menger sponge
- Dalam kasus ini, metode sebelumnya yang menggunakan dua sisi yang saling berhadapan secara tepat tidak lagi bekerja, sehingga masalahnya menjadi lebih sulit
- Malors sempat berpikir bahwa trefoil knot tidak dapat masuk ke dalam tetrahedron, tetapi ketiga siswa tidak setuju dan menemukan cara penempatan baru
- Setelah itu, mereka juga membuktikan bahwa hal yang sama mungkin dilakukan untuk seluruh keluarga simpul yang lebih umum tempat trefoil termasuk, yaitu pretzel knot
- Apakah jenis simpul lain dapat masuk ke dalam tetrahedral sponge masih menjadi masalah terbuka
Kemungkinan melihat kompleksitas fraktal melalui simpul
- Malors melihat bahwa metode para siswa dapat menjadi cara yang lebih luas untuk mengukur kompleksitas fraktal
- Karena tidak semua fraktal dapat memuat semua jenis simpul, simpul mana yang dapat dan tidak dapat dimuat bisa menjadi kriteria untuk memahami struktur fraktal
- Pada 2014, para penggemar matematika pernah membuat Menger sponge berhingga seberat 200 pon dari kartu nama melalui proyek global bernama MegaMenger
- Allison Moore melihat hasil ini dapat mengarah pada seni matematika baru yang dibuat dari material fisik
- Ketiga siswa semuanya telah lulus SMA; hanya Broden yang masih menangani masalah tetrahedron sambil mengikuti kuliah, dan ketiganya sedang mempertimbangkan karier di bidang matematika
1 komentar
Komentar Hacker News
Ini puzzle browser yang dibuat berdasarkan teori simpul; entah apa yang saya pelajari saat memainkannya, tapi seru
https://brainteaser.top/knot/index.html
Quanta sepertinya majalah yang benar-benar bagus. Baru kali ini saya mengetahuinya
Penjelasan tentang “setiap simpul homeomorfik (homeomorphic) dengan lingkaran” ada di sini
https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...
Yang dirujuk oleh tulisan aslinya adalah bahwa jika dibatasi pada citranya, ia menjadi homeomorfisme dari lingkaran ke citra tersebut. Itu karena ia adalah embedding dari lingkaran
Jika dilihat sebagai pemetaan antar-ruang topologis, dan karena biasanya dipilih dalam kategori mulus atau kategori linear sepotong-sepotong, ada batasan tambahan; interpretasi yang paling alami dan paling dekat dengan “isomorfisme” adalah pasangan homeomorfisme f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 yang memenuhi Kf=gK. Dengan kata lain, ini setara dengan transformasi alami atau persegi komutatif
Dengan ini kita hampir mendapatkan yang diinginkan, tetapi homeomorfisme dapat membalik orientasi ruang atau orientasi simpul, dan ini tidak sesuai dengan fenomena simpul fisik. Karena itu ruang perlu diberi orientasi, dan untuk itu kita beralih ke kategori linear sepotong-sepotong/mulus atau menggunakan homotopi/isotopi
Secara formal, simpul adalah pemetaan kontinu bijektif dari lingkaran ke citra pemetaan tersebut, yaitu simpul. Jawaban yang ditautkan juga mengatakan demikian
Sunting: Setelah membaca ulang artikelnya, ternyata penjelasan intuitif ini sudah ada lewat analogi semut
Saya sangat suka Quanta. Andai ada edisi cetak
Namun remaja sekarang mungkin tidak pergi ke perpustakaan, jadi mungkin majalahnya perlu disebar di toilet, koridor, dan kafe
“Versi tetrahedron dari Menger sponge” biasanya lebih dikenal sebagai Sierpiński tetrahedron, dan merupakan versi 3D dari Sierpiński triangle
Saya tidak mengerti kenapa harus memakai fraktal. Tidak bisakah cukup memakai kisi 3D? Bukankah kisi dengan resolusi yang sesuai juga menjalankan peran yang sama?
Atau apakah tujuannya menunjukkan bahwa semuanya bisa dilakukan bahkan di dalam subset kisi 3D yang terbatas seperti ini?
Seperti yang Anda katakan, Menger sponge adalah subset dari kisi 3D, jadi para siswa harus menemukan konstruksi yang menghindari lubang-lubangnya. Secara pribadi hasilnya tidak mengejutkan, tetapi bagus untuk dilihat
Namun menurut saya bagian yang benar-benar keren dalam artikel itu adalah masalah terbuka di bagian akhir. Bisakah setiap simpul di-embedding ke dalam Sierpiński tetrahedron?
Saya suka karena pembuktiannya elementer dan mudah dipahami. Hampir mengingatkan pada pembuktian-pembuktian teorema Pythagoras, tetapi tampaknya bisa cukup bermakna
Sangat keren. Saya berharap mereka juga menunjukkan dengan visualisasi serupa bagaimana menyelesaikannya pada Sierpiński gasket