Bentuk tetrahedron mirip piramida baru selalu mendarat pada sisi yang sama
(quantamagazine.org)- Para matematikawan membuat tetrahedron monostabil (monostable tetrahedron) sebagai benda nyata, sehingga memverifikasi secara fisik masalah keseimbangan tiga dimensi yang diajukan John Conway dan Richard Guy pada 1966
- Bentuk ini adalah tetrahedron dengan empat sisi segitiga, tetapi pusat massanya diatur agar, meskipun diletakkan pada sisi lain mana pun, ia akan terbalik dan jatuh ke satu-satunya sisi yang stabil
- Pada 2023, Gábor Domokos, Gergő Almádi, Krisztina Regős, dan Robert Dawson membuktikan kemungkinan teoretisnya, dan prapublikasi baru ini menampilkan model kerja berbobot 120 g dengan sisi terpanjang 50 cm
- Pembuatannya memakai struktur serat karbon berongga dan tungsten carbide berdensitas tinggi, dan agar dapat berfungsi, galat berat dan dimensi masing-masing harus dijaga dalam 0,1 g dan 0,1 mm
- Ini menunjukkan bahwa pembuatan dan eksperimen nyata dalam masalah keseimbangan polihedron dapat memunculkan pertanyaan baru, dan juga dapat terhubung ke perancangan wahana pendarat bulan yang bisa kembali tegak sendiri setelah terjatuh
Tetrahedron yang stabil hanya pada satu sisi
- Tetrahedron adalah bangun Platonik paling sederhana dengan empat sisi segitiga
- Pada 1966, John Conway dan Richard Guy bertanya apakah tetrahedron dari bahan seragam bisa berdiri stabil hanya pada satu sisi
- Beberapa tahun kemudian, keduanya menyimpulkan bahwa tetrahedron monostabil dengan distribusi berat seragam tidak mungkin ada
- Setelah itu, persoalannya tersisa untuk kasus ketika berat tidak harus terdistribusi merata, dan beberapa matematikawan mengingat bahwa Conway memperkirakan tetrahedron semacam itu memang ada
- Jika Conway memiliki bukti untuk dugaan tiga dimensi itu, ia tidak pernah memublikasikannya
Dari gömböc ke polihedron runcing
- Gábor Domokos adalah matematikawan di Budapest University of Technology and Economics yang telah lama tertarik pada masalah keseimbangan
- Pada 2006, Domokos dan rekan-rekannya menemukan bentuk bernama gömböc
- gömböc hanya seimbang pada dua titik: satu titik stabil dan satu titik tidak stabil
- Jika diletakkan di tempat lain, ia akan menggelinding hingga berdiri pada titik stabilnya
- gömböc adalah bentuk yang sebagian membulat, seperti mainan roly-poly
- Domokos ingin mengetahui apakah sifat serupa juga mungkin pada polihedron dengan rusuk tajam dan sisi datar
- Dávid Papp menilai bahwa pendekatan menempatkan pemberat di bagian bawah bekerja untuk bentuk halus atau membulat, tetapi sulit merancang polihedron dengan rusuk runcing dan sisi datar agar selalu terbalik ke sisi yang sama
Syarat yang ditemukan lewat pencarian komputer
- Pada 2022, Gergő Almádi, yang saat itu masih mahasiswa sarjana, mengikuti kelas dinamika Domokos lalu mendapat tugas membuat algoritme sederhana untuk menelusuri keseimbangan tetrahedron
- Ketika Conway mengajukan masalah itu, orang harus bergantung pada penalaran matematika abstrak dan perhitungan tangan, tetapi Almádi dapat menelusuri banyak bentuk kandidat secara brute force dengan komputer
- Program Almádi, jika diberi distribusi berat tertentu, dapat menemukan koordinat empat titik sudut tetrahedron yang bisa menjadi monostabil
- Tim peneliti menemukan bahwa pada semua tetrahedron monostabil, tiga rusuk berurutan harus membentuk sudut tumpul lebih dari 90 derajat
- Kondisi ini membuat satu sisi menopang di atas sisi lain sehingga bangun itu dapat tumbang
- Selanjutnya, tim menunjukkan bahwa untuk tetrahedron dengan ciri tersebut, pusat massanya harus masuk ke salah satu dari empat wilayah tetrahedron kecil di dalam bentuk asal, yaitu loading zone, agar hanya satu sisi yang stabil saat menyeimbangkan bentuk itu
Jarak antara kemungkinan matematis dan pembuatan nyata
- Dalam matematika abstrak, bagian yang tak berbobot dan bagian yang sangat berat dapat didefinisikan dengan bebas, sehingga distribusi massa mudah disesuaikan
- Almádi, Dawson, dan Domokos ingin membuat tetrahedron monostabil nyata dari bahan sungguhan yang bisa dipegang dengan tangan
- Tim meninjau beberapa falling pattern saat tetrahedron jatuh ke sisi stabilnya
- Dalam satu pola, bagian tertentu harus dibuat dari material yang densitasnya sekitar 1,5 kali lebih tinggi daripada inti Matahari
- Mereka memilih pola yang lebih realistis, tetapi sebagian komponennya tetap harus sekitar 5.000 kali lebih rapat daripada bagian lainnya
- Pemilihan material juga sangat dibatasi
- Material ringan dan lentur dapat merusak bentuknya
- Jika dibuat terlalu bulat atau halus, monostabilitas menjadi lebih mudah diperoleh seperti pada roly-poly, sehingga tidak sesuai dengan tujuan membuat polihedron tajam
Model serat karbon dan tungsten carbide
- Rancangan akhirnya sebagian besar berupa struktur berongga
- Bagian ringan dibuat dari rangka serat karbon (carbon fiber frame), dan bagian kecil berdensitas tinggi dibuat dari tungsten carbide yang lebih rapat daripada timbal
- Untuk mengurangi bobot bagian ringan semaksimal mungkin, rangka serat karbon itu sendiri juga harus berongga
- Domokos memesan pembuatannya ke perusahaan rekayasa presisi di Hungaria
- Proses pembuatan harus sangat presisi sampai-sampai berat sejumlah kecil lem pun harus diperhitungkan
- Model pertama yang dibuat selama beberapa bulan dengan biaya ribuan euro tidak berfungsi
- Domokos dan kepala insinyurnya menemukan gumpalan lem tambahan yang menempel pada satu titik sudut, dan setelah itu dihilangkan, model tersebut pun bekerja
- Model fisik pertama yang berfungsi dalam prapublikasi baru itu berbobot 120 g, memiliki sisi terpanjang 50 cm, dan toleransi galatnya berada di tingkat 0,1 g untuk berat dan 0,1 mm untuk panjang
Riset matematika dan aplikasi rekayasa
- Richard Schwartz menilai bahwa riset tetrahedron monostabil memang tidak memerlukan matematika yang sangat canggih, tetapi penting justru karena berani mengajukan pertanyaan semacam ini
- Belum jelas wawasan teoretis baru seperti apa yang akan diberikan model fisik ini
- Namun, proses bereksperimen secara nyata dapat membantu menemukan pertanyaan baru yang bisa diajukan matematikawan tentang polihedron
- Domokos dan Almádi sedang menerapkan pengetahuan yang diperoleh selama proses pembuatan itu pada perancangan wahana pendarat bulan (lunar lander) yang dapat kembali tegak sendiri setelah terjatuh
- Schwartz menilai bahwa khususnya dalam geometri, penalaran spasial itu sulit dan kesalahan bisa terjadi, sehingga bahkan dalam matematika teoretis pun melihat objek nyata dapat menjadi hal penting
2 komentar
Menarik sekali karena meski dibaringkan pada sisi lain, benda ini bisa bangkit sendiri dan kembali ke posisi semula.
Apakah ini karena perbedaan pusat gravitasinya?
Komentar Hacker News
Di makalah disebutkan bahwa implementasi fisiknya menjadi tantangan, dan model yang dibuat penulis kedua dari lembaran timah serta bambu yang dicacah halus berguling secara berurutan dari satu sisi, melewati dua sisi, hingga akhirnya mencapai posisi stabil
Model itu ada pada saya. Saya membuatnya bersama Bob Dawson saat berada di Cambridge, dan mungkin saya harus menghubunginya
Makalah: https://arxiv.org/abs/2506.19244
HTML: https://arxiv.org/html/2506.19244v1
Ini sebenarnya agak sulit disebut "bentuk", karena yang benar-benar bekerja adalah pusat massa yang dimanipulasi besar-besaran. Rasanya lebih tepat disebut benda atau benda tegar
Kalau tidak, beratnya akan menekannya ke alas dan menguncinya, alih-alih membuatnya terguling. Alasan benda itu lebih dulu miring ke belakang sebelum jatuh ke samping dalam satu arah juga karena pusat massanya berada di dalam jejak tepi kanan tetrahedron, tetapi berada di luar jika dilihat terhadap tepi belakang. Jadi ia miring ke belakang, akibatnya alasnya menyempit, lalu jatuh ke kanan dan menjadi stabil
Ini kategori yang berbeda dari Gömböc. Kerapatannya tidak seragam, dan sebagian besar massanya terkonsentrasi pada pelat dasar
Kalau posisi pusat massanya dibuat sama, benda itu akan bergerak dengan cara yang sama
Alur ketika Conway melemparkan ide begitu saja, lalu 60 tahun kemudian seseorang benar-benar membuatnya, terasa seperti puncak kisah matematika
Ini D-4 terburuk! Lebih seriusnya, saya penasaran seberapa dekat kita bisa membuat polihedron bermassa tidak seragam ke kondisi seperti 'seimbang di atas mata pisau'
Maksudnya, membuat polihedron dengan distribusi berat tidak merata yang stabil tepat pada dua sisi saja, lalu menjadikan salah satu sisi jauh lebih stabil sehingga ketika diletakkan pada sisi yang stabilnya terbatas, sedikit sentuhan akan memindahkannya ke sisi dengan stabilitas tinggi. Struktur seperti ini bisa berguna sebagai detektor gangguan
Aneh, ia tidak menyukai saran saya untuk membeli bola biliar nomor 1
https://www.uline.com/Cls_10/Damage-Indicators
https://www.youtube.com/watch?v=M9hHHt-S9kY
Ada juga polihedron mono-monostatic dengan 21 sisi: https://arxiv.org/pdf/2103.13727v2
Namun batang akan menimbulkan suara keras saat jatuh dan memantul beberapa kali. Saya penasaran apakah ada polihedron bistabil yang transisinya cukup mulus sehingga tidak memantul. Gömböc asli tampak memiliki pusat massa yang berubah cukup mulus sehingga dalam gravitasi normal biasanya tidak akan memantul
Tulisan yang bagus
Di awal, setelah melihat video dan melihat ada pelat atau pemberat di salah satu sisi, minat saya agak turun. Itu karena alurnya: "Beberapa tahun kemudian, keduanya sendiri menemukan jawaban bahwa tetrahedron mono-stabil seragam mustahil. Lalu bagaimana jika bobotnya tidak harus didistribusikan merata?" Namun menjelang akhir, ketika John Conway muncul, saya kembali tertarik
Kenapa tidak membuat pendarat Bulan dengan bentuk ini saja :-)
Justru eksoskeleton untuk kura-kura mungkin lebih berguna. Kura-kura berkaki pendek membutuhkan bagian bawah tempurung yang benar-benar datar, sementara Gömböc tidak punya sisi datar. Kendaraan yang melaju di lereng juga bisa mendapat manfaat dari sifat ini
Jadi seperti Vans saya?
https://en.wikipedia.org/wiki/Vans_challenge
Hal yang paling mengesankan adalah benda yang tampak tidak seimbang justru sangat stabil. Bentuk ini membuat kita memikirkan ulang makna keseimbangan
Ini bukan sekadar soal gaya yang saling menyamai; rasanya seolah-olah benda itu tahu ingin mendarat di mana setiap kali