Kebetulan yang Menakjubkan atau Keterkaitan yang Sudah Diperkirakan: Mengapa π² ≈ g

Kecocokan yang misterius

• Pertanyaan tentang mengapa π² hampir sama dengan g
• π adalah bilangan tak berdimensi, sedangkan g adalah besaran fisika
• Kedua nilai itu tidak persis sama

Masalah yang tidak sederhana

• Nilai g dinyatakan dalam satuan m/s²
• Jika dinyatakan dalam satuan lain, kecocokan ini menghilang
• Kita perlu memahami definisi meter dan detik

Definisi meter

• Meter adalah jarak yang ditempuh cahaya di vakum selama 1/299,792,458 detik
• Definisi ini tidak mencakup π

Sejarah standar

• Di masa lalu, panjang diukur berdasarkan bagian tubuh manusia
• Seiring munculnya kebutuhan standardisasi, definisi yang menggunakan konstanta alam pun diusulkan

Mimpi standardisasi dan gravitasi

• Pada abad ke-17, Christiaan Huygens mengusulkan definisi meter menggunakan panjang bandul
• Muncul masalah karena panjang bandul berubah tergantung lokasi di Bumi

Persamaan yang mengejutkan

• π muncul dalam rumus untuk menghitung periode bandul
• Jika parameter bandul Huygens dimasukkan, hasilnya adalah π² = g

Revolusi Prancis dan perubahan meter

• Pada 1791, Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis mengubah definisi meter
• Didefinisikan sebagai seperempat puluh juta bagian dari meridian Paris

Meter yang sesungguhnya

• Meridian Paris benar-benar diukur untuk mendefinisikan meter
• Karena kelengkungan Bumi tidak diperhitungkan, timbul sedikit kesalahan

Kesimpulan

• Selisih antara π² dan g adalah sekitar 0.06
• Jika definisi meter tidak diubah, persamaan elegan π² = g mungkin akan berlaku

# Ringkasan GN⁺

• Tulisan ini menelusuri hubungan antara π² dan g, sambil menjelaskan latar belakang sejarah dan prinsip ilmiahnya
• Dibahas pula kesalahan yang muncul karena definisi meter telah beberapa kali diubah
• Ini membantu memahami kaitan menarik antara matematika dan fisika
• Untuk topik serupa, direkomendasikan 'sejarah konstanta alam dan satuan'

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Menarik, tapi saya ingin mempermasalahkan bagian ini: “Jika dinyatakan dalam satuan lain, keajaibannya langsung hilang. Jadi ini bukan kebetulan”
  Biasanya ini justru lebih dekat sebagai sinyal kuat adanya kebetulan. Kalau mencari heuristik untuk menentukan apakah sesuatu bukan kebetulan, kriteria yang tepat adalah “apakah tetap berlaku saat satuannya diubah”
  Namun dalam kasus ini tampaknya heuristik itu gagal dalam contoh yang tidak biasa

  • Tidak selalu begitu. Saat belajar astronomi, kalau teramati periodisitas yang mirip 1 tahun atau 1 hari, biasanya itu bukan kebetulan, melainkan karena revolusi atau rotasi Bumi belum dikoreksi dengan benar
  • Tidak benar. Seluruh rumus pada akhirnya bermuara pada definisi meter, lebih tepatnya salah satu definisi lamanya
  • Saya terkejut banyak orang tidak setuju dengan sanggahan ini. Saya juga berpikir persis sama
    Jika π² persis sama dengan g, dan di satuan lain “keajaibannya” hilang, barulah kita bisa berkata “jadi ini bukan kebetulan” dan menyimpulkan bahwa ini terkait dengan satuannya sendiri
    Namun π² hanya kira-kira sama dengan g, dan di satuan lain keajaibannya hilang, jadi kalau sebelum membaca tulisan itu, saya mungkin akan menganggapnya kebetulan
  • Setuju. Apa pun perkembangan ceritanya nanti, secara sekilas terasa membingungkan menulis “jadi ini bukan kebetulan” tepat setelah menunjukkan sesuatu yang tampak seperti kebetulan
  • Setuju. Namun jika kata “so” dihapus, tidak ada kontradiksi. Penulis mungkin memakainya bukan dalam arti “maka”, melainkan sebagai penanda wacana yang relatif tidak bermakna

• Sebagai fisikawan, ini masuk akal. π = 3, π² = 10, itulah g
  Saya tidak mengerti kenapa semua orang terkejut
  Oh, dan seingat saya 1 tahun adalah π*10e9 detik

  • Sebagai ilmuwan komputer juga tidak mengejutkan. Pada akhirnya hanya ada tiga angka: 0, 1, n
  • Sebagai fisikawan? Saat mengerjakan soal fisika di sekolah, jawabannya selalu berupa angka beserta satuan. π² adalah bilangan murni jadi bisa saja 10, tetapi g adalah besaran fisika berupa percepatan, sehingga tidak pernah bisa sekadar 10; harus 10 dalam suatu satuan
  • Saya kira hubungan antara π dan g terjadi karena sapi yang berakselerasi di ruang hampa itu berbentuk bola
  • π detik adalah nanoseabad. Jadi 1 tahun = π*10^7 detik
  • Sebagai insinyur mesin, bisa saya konfirmasi. e ≈ π ≈ 3

• “Kebetulan keren” lainnya adalah adanya konstanta 1.609344 dalam konversi mil ke kilometer: kilometers = miles * 1.609344. Mari kita sebut 1.609344 ini sebagai konstanta “km”
  Ternyata km sangat dekat dengan rasio emas (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989.... Selisihnya hanya sekitar 0,5% (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! Mengikuti ungkapan penulis asli, “Jika dinyatakan dalam satuan lain, keajaibannya langsung hilang. Jadi ini bukan kebetulan...”, hmm... tunggu dulu?
  Ada satu lagi. π(3.141592654...) hampir sama dengan 4 / sqrt(gr)(3.144605511...), dan mari kita sebut yang terakhir “ap” dari “almost pi”. Ini menghubungkan π dengan rasio emas, dengan selisih hanya 0,096% (100 * (pi/ap - 1)). Pasti ada maknanya, kan?
  Terakhir, favorit saya: 111111111^2 = 12345678987654321. Ini ... hmm ... tunggu ...

  • Mil terhubung dengan kaki, lalu kaki dan gravitasi terhubung dengan rasio emas? 6 kaki terasa seperti 2π?
  • 1 tahun sangat dekat dengan π * 1e7 detik, dengan galat kurang dari 0,5%
  • ln(5) ~ 1.6094379 jauh lebih dekat, selisihnya sekitar 0,5% dari satu persen
  • Yang terbaik adalah sum(1, 36)

• Jika panjang meter didefinisikan sebagai panjang pendulum detik, maka g akan tepat menjadi π². Dari persamaan pendulum:
  T = 2π√(L/g)
  Substitusikan T = 2 s, L = 1 m:
  2 s = 2π√(1 m / g)
  Jika diselesaikan terhadap g:
  g = π² m/s²
  Ini berlaku berapa pun kekuatan gravitasi, tetapi panjang meter akan berubah sesuai dengannya
  [1]. Memang pada 1790 Talleyrand mengusulkan hal ini. Bayangkan dunia tempat ini benar-benar terjadi

  • Dalam tulisan itu dijelaskan bahwa Huygens mengusulkannya pada abad ke-17, dan juga menunjukkan penurunan yang sama :)

• Ada satu hal terkait yang saya sukai. Mengapa bilangan Avogadro dan konstanta Boltzmann tampak seperti kebalikan satu sama lain, N ~ 1/k? Karena satuannya tidak cocok, kalimat itu sendiri sebenarnya tidak masuk akal, tetapi dalam sistem satuan MKS ini benar
  Itu karena jika keduanya dikalikan, hasilnya adalah konstanta gas yang kira-kira 1. Keduanya adalah angka yang memindahkan kita dari satuan mikroskopis ke satuan skala manusia, dan dalam konstanta gas yang menggambarkan gas yang kita alami pada skala manusia, keduanya saling meniadakan

  • Menariknya, konstanta Avogadro sebenarnya sama dengan 1. Ia didefinisikan sebagai bilangan Avogadro dikalikan mol, karena mol itu sendiri adalah besaran tak berdimensi yang sama dengan kebalikan bilangan Avogadro
  • Tapi bukankah itu tetap kebetulan? Nk=8,31 adalah tekananvolume/suhu untuk 1 mol gas
    Rentang suhu relatif sempit (100~1000), dan jika meter, detik, kilogram didefinisikan berbeda, tidak ada alasan rentang P*V tidak bergeser jauh dari sana, misalnya menjadi 0,01~0,1

• Rasanya sulit menjelaskannya dengan cara yang lebih buruk dari ini
  Tulisan ini ditujukan untuk pembaca seperti apa? Bagi orang yang tidak paham fisika, penjelasannya terlalu panjang dan membingungkan. Menjelaskan bahwa satu satuan bergantung pada satuan lain, dan mengapa kemampuan mereproduksi sistem metrik secara mandiri itu penting, jauh lebih penting daripada sejarah panjang standar panjang
  Banyak pertanyaan juga tidak terjawab. Detik didefinisikan dengan apa? Bukankah waktu diukur dengan bandul? Mengapa definisi astronomis lebih dapat dipercaya?
  Bagi orang yang paham fisika, ini bisa ditulis jauh lebih singkat dan jelas. Misalnya: “Definisi meter yang universal membutuhkan konstanta yang muncul di alam, seperti gravitasi. Kita bisa mengukur jarak yang ditempuh benda saat jatuh selama waktu tertentu, tetapi lebih mudah memakai bandul. Bandul berayun secara teratur dengan periode kira-kira 2πsqrt(panjang tali/gravitasi). Jika gravitasi dibuat π², π setelah akar kuadrat akan saling meniadakan, sehingga T = 2*sqrt(Length). Bandul 1 meter membutuhkan 2 detik untuk satu ayunan bolak-balik, dan 1 detik untuk sekali berayun, jadi berguna. Pada masa itu jam sudah cukup akurat, dan detik bisa direproduksi lewat pengamatan astronomis. Jadi orang bisa membawa bandul, menyesuaikan panjangnya agar berayun tepat sekali setiap 1 detik, lalu memakai tali atau batang itu untuk mengukur apa pun. Karena tampak bagus, konstanta gravitasi diubah agar menjadi π²(9,87 m/s²). Jika meter dipendekkan, semuanya menjadi lebih panjang. Belakangan diketahui bahwa gravitasi di permukaan Bumi berbeda-beda dan sulit mereproduksi bandul matematis yang sempurna, jadi definisinya diganti menjadi definisi berbasis astronomi yang didasarkan pada ukuran Bumi. Itu pun bermasalah, sehingga sebuah batang fisik sepanjang 1 meter disimpan di Paris. Sejak beberapa tahun lalu, fisikawan mulai memakai konstanta Planck, jarak terkecil yang dapat diukur.”

  • Meter saat ini (sejak 2019) didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh cahaya dalam ruang hampa selama N periode jam atom[1]. Untuk memperhitungkan efek relativitas umum, lokasi pengukuran di Bumi juga harus ditentukan. Karena gravitasi memengaruhi laju jam
    Kini kecepatan cahaya bukan nilai hasil pengukuran, melainkan nilai definisi. Ini cukup mendalam, karena sistem satuan kita sekarang didasarkan pada keabsahan teori relativitas khusus
    1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

• Ini adalah kejutan yang keren dari sejarah definisi meter dan tulisan yang bagus
  Saat membacanya, saya teringat matematikawan seperti Ramanujan. Orang-orang yang menghabiskan cukup banyak waktu bermain dengan angka-angka acak dan mencari keterkaitan. Namun dalam kasus ini, sepertinya penulis sudah mengetahui sejarahnya sejak awal
  Bagaimanapun, rasanya gelar matematika sampai batas tertentu membunuh kesenangan menjelajahi hubungan antarangka seperti itu. Waktu kecil saya suka membuat dan menemukan keterkaitan seperti coretan aneh, tetapi menjelang lulus, saya jadi lebih ingin memikirkan keterkaitan di antara unsur-unsur dasar yang lebih abstrak yang telah saya pelajari
  Meski begitu, tampaknya masih banyak matematikawan sukses yang bekerja dengan cara seperti ini. Mereka menyadari keterkaitan yang aneh, lalu mengisi teorinya untuk menjelaskan mengapa demikian, dan kadang-kadang itu berujung pada hasil yang benar-benar menarik

• Terkait hal ini, saya merekomendasikan The Measure of All Things karya Ken Alder, yang membahas asal-usul sistem metrik dan konferensi ilmiah pertama. Ternyata bukunya sangat asyik dibaca
  https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

• Ini sama sekali tidak terkait dengan isi, melainkan tentang situs webnya sendiri
  Saat mengakses situsnya, tampilannya benar-benar rusak. Setelah saya selidiki, jika Stylus (ekstensi injeksi CSS) aktif dengan aturan apa pun, bahkan hanya aturan global, situs itu menjadi tidak bisa dipakai. Karena dibuat dengan framework React, bukan sekadar tampil aneh, tetapi benar-benar rusak
  Saya membuka tiket dan mendapat jawaban cepat dari pengembang Stylus; tampaknya situs web ini dan semua situs yang dibuat dengan caseme.io akan melempar error dan rusak jika mendeteksi node yang disuntikkan di dalam ``
  [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

  • Saya tidak memakai Stylus sekarang, tetapi situsnya juga rusak di saya. Terlihat seperti CSS sama sekali tidak diterapkan, dengan gambar logo besar dan teks font bawaan. Saya tidak tahu ekstensi mana penyebabnya, tetapi mungkin Dark Reader. Tetap masih bisa dibaca, jadi bukan masalah besar

• Saya sangat meragukan apakah strategi “jika harus membeli kain lagi, mereka akan memanggil orang tertinggi di desa dan menyuruhnya mengukur kain dengan hasta orang itu” benar-benar akan berhasil terhadap penjual kain sungguhan
  Mungkin tidak ada sistem ukuran resmi, tetapi mereka bukan orang bodoh

  • Melihat shrinkflation yang terang-terangan sekarang ini, komentar ini terasa ironis dengan cara yang lucu