π di Alam Semesta Lain

 (azeemba.com)
2 poin oleh GN⁺ 2023-10-30 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • π adalah rasio keliling terhadap diameter lingkaran, tetapi jika “jarak” didefinisikan berbeda, lingkaran dengan jari-jari yang sama pun bisa memiliki bentuk berbeda dan nilai π juga bisa berubah
  • Dalam matematika, metrik (metric) menetapkan 4 syarat yang harus dipenuhi fungsi jarak, sehingga geometri, kalkulus, dan topologi masih dapat dibahas di luar jarak Euclidean dengan beberapa penyesuaian
  • Dalam jarak Manhattan dan jarak maksimum, lingkaran masing-masing tampak seperti persegi yang diputar dan persegi biasa, dan hasil perhitungan keliling membuat π sama-sama bernilai 4
  • p-norm adalah keluarga metrik tak hingga yang mencakup Manhattan, Euclidean, dan maximal distance, dan π=3.14159… pada jarak Euclidean biasa saat p=2 adalah nilai minimum yang mungkin dalam keluarga ini
  • Jika diperluas ke semua metrik, π berada di antara 3 dan 4, dan dalam metrik heksagonal tertentu keliling lingkaran berjari-jari 1 menjadi 6 sehingga π=3

Mengapa nilai π bisa berubah

  • Secara umum, π muncul dalam persamaan hubungan antara keliling C dan jari-jari r, yaitu C = 2πr
  • Secara matematis, lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari pusat
  • Karena itu, π bergantung pada definisi jarak yang digunakan untuk mengukur keliling dan jari-jari lingkaran
  • Bentuk titik-titik dengan “biaya” yang sama tidak selalu menjadi lingkaran Euclidean
    • Titik-titik yang bisa dicapai dengan berlari selama waktu yang sama dari pusat dapat menjadi lingkaran berdasarkan jarak waktu
    • Titik-titik yang dapat dicapai dengan jumlah bahan bakar yang sama saat berkendara juga bisa dipandang sebagai lingkaran berdasarkan jarak bahan bakar
    • Saat berlayar pada hari berangin kencang, titik-titik yang bisa dicapai dengan usaha yang sama menjadi elips yang condong ke satu sisi sesuai arah angin

Fungsi jarak seperti apa yang menjadi metrik

  • Dalam matematika, metrik menetapkan syarat agar suatu fungsi diakui sebagai fungsi jarak
  • Metrik harus memenuhi aturan berikut
    • Jarak dari suatu titik ke dirinya sendiri selalu 0
    • Jarak antara dua titik yang berbeda selalu positif
    • Jarak dari a ke b sama dengan jarak dari b ke a
    • Jarak langsung dari a ke c tidak lebih panjang daripada jarak dari a ke c melalui b
  • “Usaha yang dibutuhkan untuk berlayar” sulit menjadi metrik
    • Usaha saat bergerak searah angin dan saat melawan angin berbeda, sehingga tidak memenuhi syarat ketiga
  • Jarak Euclidean d = sqrt(x² + y²) adalah definisi jarak tradisional yang digunakan dalam geometri Yunani kuno dan kalkulus Newton
  • Pada awal abad ke-20, para matematikawan menyadari bahwa fungsi apa pun yang memenuhi syarat dasar ini dapat digunakan sebagai fungsi jarak, dan banyak hasil matematika juga bisa diterapkan dengan beberapa penyesuaian

π dalam jarak Manhattan

  • Jarak Manhattan adalah jarak pada kota berbentuk grid, ketika kita tidak bisa bergerak diagonal dan harus menjumlahkan perpindahan di arah x dan y
  • Rumus jaraknya dinyatakan sebagai d = x + y
  • Misalnya, jika galat prediksi perubahan populasi dua kota ditempatkan pada sumbu x dan y, maka titik-titik dengan total galat 1.000 orang membentuk sebuah “lingkaran”
  • Dalam metrik ini, lingkaran tampak seperti persegi yang diputar 45 derajat
  • Jika jari-jarinya 1.000, panjang Manhattan tiap sisinya adalah 2.000, dan keliling 4 sisinya menjadi 8.000
  • Karena 8,000 = 2π(1,000), dalam sistem jarak ini π=4

π dalam jarak maksimum

  • Jarak maksimum adalah metrik yang memakai nilai yang lebih besar dari x dan y sebagai jarak
  • Rumus jaraknya dinyatakan sebagai d = max(x, y)
  • Ini berkaitan dengan situasi ketika beberapa pekerjaan dilakukan secara paralel dan total waktu ditentukan oleh tugas yang paling lama
  • Contohnya, dalam lomba memasak dua bahan disiapkan secara paralel, dan keduanya harus selesai di antara 55 hingga 65 menit
  • Lingkaran dalam sistem jarak ini berbentuk persegi
  • Saat jari-jari 5, jarak tiap sisi adalah 10, dan keliling 4 sisinya adalah 40
  • Karena 40 = 2π(5), pada jarak maksimum juga π=4

π dalam keluarga p-norm

  • Metrik p-norm didefinisikan sebagai d = (x^p + y^p)^(1/p) dan merupakan keluarga metrik tak hingga
  • p dapat bernilai 1 atau lebih
  • p-norm menggeneralisasi jarak-jarak sebelumnya
    • p=1 berarti Manhattan distance
    • p=2 berarti Euclidean distance
    • p=∞ berarti maximal distance
  • Bentuk “lingkaran” juga berubah sesuai nilai p
  • Untuk nilai p umum, kelilingnya sulit dihitung hanya dengan melihat, sehingga bisa dihitung dengan komputer yang bergerak mengikuti keliling lingkaran sambil melacak jarak tempuhnya
  • Menurut hasil makalah sebelumnya, nilai π untuk tiap p-norm adalah sebagai berikut
    • p=1: π=4
    • p=1.1: π=3.757…
    • p=2: π=3.141…
    • p=2.25: π=3.155…
    • p=3: π=3.259…
    • p=11: π=3.757…
    • p=∞: π=4
  • Makalah tersebut juga membuktikan bahwa 3.14159… adalah nilai π minimum yang mungkin dalam seluruh keluarga p-norm

Rentang π dalam semua metrik

  • p-norm jumlahnya tak hingga, tetapi metrik yang bukan p-norm ada lebih banyak lagi
  • Makalah Sahoo membuktikan bahwa π berada di antara 3 dan 4 dalam semua metrik
  • Metrik yang menghasilkan π=4 dapat dilihat pada Manhattan distance dan maximal distance
  • Contoh yang menghasilkan π=3 dapat diperoleh dari metrik heksagonal dalam jawaban StackExchange
  • Rumus jaraknya adalah sebagai berikut
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
  • π yang digunakan dalam rumus ini adalah π biasa dari trigonometri Euclidean
  • Lingkaran dalam metrik ini menjadi heksagon
  • Jika panjang tiap sisi heksagon dihitung dengan rumus jarak tersebut, tiap sisinya bernilai 1 dan total kelilingnya 6
  • Pada jari-jari 1, karena 6 = 2π(1), dalam metrik ini π=3

π-month alih-alih π-day

  • π-day pada 14 Maret didasarkan pada π biasa, yaitu 3.14…
  • Karena π bisa berada di antara 3 dan 4 dalam semua metrik, jika kita mencari metrik yang cocok untuk setiap tanggal, seluruh bulan Maret dapat dirayakan seperti π-month

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2023-10-30
Pendapat di Hacker News

  • Ungkapan yang melihat matematika sebagai “permainan yang berangkat dari asumsi lalu mencari kesimpulan logis yang mungkin” benar-benar merapikan gagasan yang sudah beberapa waktu berputar-putar di kepala saya

    • Di sinilah Lean4 dan mathlib menjadi menarik
      Semakin banyak orang terus memasukkan pembuktian yang sudah diverifikasi secara formal ke dalam mathlib, semakin mudah pula membuktikan lebih banyak teorema secara formal di atasnya
      Jika berangkat dari nol, bahkan pembuktian sederhana pun membutuhkan banyak penulisan ulang dan perincian, nyaris seperti kerja manual murni; tetapi di mathlib, alat seperti simp atau linarith tampaknya menggantikan banyak pekerjaan berat yang repetitif
      Efek bola saljunya benar-benar menarik, tetapi kemungkinan besar hal-hal yang saya pahami sudah ada di sana, jadi rasanya sulit untuk berkontribusi secara bermakna
    • Menakjubkan jika matematika dan logika dipikirkan seperti automata seluler raksasa
      “Aksioma” tidak harus selalu berpadanan dengan “kebenaran”; ia lebih mirip batasan arbitrer yang menciptakan kompleksitas, dan kadang sistem yang dihasilkannya menjadi berguna
    • Matematika adalah permainan tertua, paling luas cakupannya, dan paling kompleks yang pernah dijalankan umat manusia
      Ia juga berguna, dan ada banyak hal yang bisa digali secara filosofis tentang kegunaan itu, tetapi saya melihatnya sebagai sifat yang terpisah dari permainan itu sendiri
      Seperti mengubah buku resep ke heksadesimal untuk bersenang-senang: meski tidak berguna, tidak menambah pengetahuan, bahkan utilitasnya negatif, permainan ini tetap bisa dilakukan
      Mencoba membuktikan dugaan prima kembar adalah level yang jauh lebih sulit, dan permainan ini bisa dilakukan tanpa memandang usia maupun kemampuan, dengan apa saja: di dalam kepala, kertas dan pensil, sampai klaster komputasi terbesar di dunia
      Secara teknis, semua permainan lain pun merupakan subset dari permainan ini, dan setiap orang bisa memainkannya dengan cara yang diinginkan, entah mewarnai gambar indah, menumbukkan atom, atau menghitung sampai bilangan sebesar mungkin
    • Prinsip yang sama juga berlaku pada pemrograman
      Semakin sedikit yang diketahui sebuah fungsi tentang argumennya, semakin umum ia bisa digunakan
    • Contoh bagusnya adalah dampak aksioma pilihan terhadap teori ukuran dan teori probabilitas
      Aksioma pilihan mengimplikasikan keberadaan himpunan yang tidak dapat diukur secara Lebesgue, tetapi contoh konkret dari himpunan tak terukur seperti itu tidak bisa diberikan; yang bisa dibuktikan hanya keberadaannya
      Sebaliknya, dalam teori alternatif yang memasukkan aksioma determinasi, semua subset dari bilangan real menjadi dapat diukur
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
      https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

  • Meski dalam geometri alam semesta lain π berbeda, tetap akan ada konstanta penting yang nilainya sama dengan π kita
    Misalnya, titik nol dari fungsi yang didefinisikan oleh deret x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... adalah nπ untuk bilangan bulat n, dan π di sini adalah π kita
    π kita juga muncul dalam fungsi eksponensial, dan periodenya adalah 2πi

    • Benar. Sebagai contoh yang lebih konkret, nilai-nilai berikut tetap terkait dengan π kita terlepas dari geometri
      Jumlah deret 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) adalah π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
      Jumlah deret (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) adalah π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
      Karena itu, peluang bahwa dua angka yang dipilih secara seragam dari [1…N] saling prima akan mendekati 6/π² saat N makin besar
      Hasil kali 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… juga π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
      Saat n membesar, (n!/(√n (n/e)^n))²/2 mendekati π dengan sangat lambat: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation contoh: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
      Selain itu masih banyak hasil non-geometris lainnya: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
    • Rasanya justru sebaliknya
      Sejauh yang saya pahami, manusia dalam peradaban Eropa secara historis mendefinisikan fungsi eksponensial kompleks agar memiliki periode 2πi, supaya cocok dengan periode sin dan cos yang sudah didefinisikan
      Bisa saja didefinisikan dengan periode lain. Misalnya, jika “360 derajat” diletakkan sebagai 1, bukan 2π, dan didefinisikan sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0, maka periode e^ix juga akan didefinisikan sebagai 1
      Sistem desimal juga serupa. Kita secara historis memakai sistem desimal hanya karena punya sepuluh jari, dan tidak ada alasan alien juga harus punya sepuluh jari
    • Lebih baik mengatakan π adalah angka yang sama di mana pun, yaitu 3.14...
      Hanya saja, di alam semesta lain, rumus keliling lingkaran mungkin tidak memakai π
      Dalam jarak Manhattan (L_1), C = 8 R; dalam jarak Euklides (L_2), C = 2π R; dalam jarak maksimum (L_infinity), C = 8 R
    • Saya penasaran apakah jika jarak satuan, misalnya jarak antara 2 dan 3 atau antara 5 dan 6, didefinisikan dengan fungsi jarak mereka, π versi mereka akan muncul lagi
      Kelihatannya mirip dengan mengubah basis dalam sistem bilangan

  • Ada banyak cara untuk mendefinisikan konstanta mirip π untuk lingkaran satuan p-norm, dan pada p != 2 hasilnya bisa tidak saling berimpit
    Jika π didefinisikan sebagai luas lingkaran satuan, akan muncul nilai-nilai yang sama sekali berbeda, dan definisi ini memenuhi sifat-sifat menarik, misalnya menjadi konstanta periode untuk himpunan fungsi trigonometri yang alami pada p-circle
    Lebih jauh lagi, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
    Sebaliknya, definisi π yang berbasis keliling/panjang busur memiliki sifat menarik bahwa pi(p) = pi(q) untuk p, q yang konjugat
    “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” adalah referensi menarik yang membahas hal-hal seperti ini

    • Saya penasaran apakah fakta bahwa ini bukan ruang Hilbert memberi pengaruh yang terasa janggal pada geometrinya
      Mungkin identitas polarisasi harus dibuang, dan kalau begitu tampaknya jajaran genjang juga akan terpengaruh, tetapi saya tidak tahu persisnya

  • pi = 3.14159… muncul dalam analisis dan perluasannya, statistik, jadi ia independen dari geometri
    Alien di semesta lain pun akan mengetahui nilai ini; hanya saja mereka akan memiliki konstanta lain untuk lingkaran
    Lagi pula mereka tidak akan memakai huruf Yunani, jadi perlu penerjemahan, dan melihat 3.14159… sebagai π terasa kurang aneh daripada memetakan 3.757… milik mereka sebagai “π”
    Tentu saja, mana di antara 3.14…(π), 6.28…(2π), dan 0.785…(π/4) yang seharusnya dijadikan konstanta dasar masih bisa diperdebatkan, dan alien bisa saja berpikir berbeda
    Tulisan itu memperkenalkan konsep fungsi jarak untuk menjelaskan konstanta lingkaran di semesta lain, tetapi fungsi jarak sembarang tidak menjamin penskalaan linear atau invariansi translasi
    Untuk mendefinisikan konstanta lingkaran secara bermakna, dibutuhkan asumsi yang lebih kuat daripada fungsi jarak, misalnya ruang vektor bernorma, dan contoh-contoh yang diberikan pun sebenarnya tampak seperti ruang vektor bernorma, bukan sekadar ruang metrik

    • Poin pertama tidak mengejutkan
      π kita terikat pada satu-satunya fungsi jarak yang lingkaran satuannya sepenuhnya kontinu dan terdiferensialkan
      2-norm sangat istimewa karena banyak alasan, dan tampak wajar bahwa konstanta yang menghubungkan jarak pada satu titik dengan hasil pengintegralan konstanta sepanjang lintasan yang dibentuk titik-titik itu lebih sering ditemukan daripada konstanta lain
      Jika lingkaran satuan dari fungsi jarak tersebut tidak memiliki kontinuitas dan keterdiferensialan di semua tempat, banyak hal lain bisa runtuh seperti domino
      Ada sesuatu yang secara unik sentral dalam hubungan ringkas antara titik, jarak, dan lintasan
    • Saya penasaran dengan poin pertama
      Seperti dijelaskan di komentar lain, nilai π 3.14159 dapat diturunkan hanya dari teori bilangan murni, tetapi secara ajaib ia berperan besar dalam membentuk dunia fisik yang kita kenal
      Mungkinkah ada teori bilangan yang berbeda di semesta lain, atau apakah teori bilangan benar terlepas dari semesta? Saya penasaran seperti apa rupa teori bilangan alternatif itu
    • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
      Saya tidak ingin terdengar seperti Buzzfeed, tetapi tabel 3 cukup masuk akal
    • Benar. Dalam contohnya pun sebenarnya 2pi terus-menerus diulang

  • Orang ini sepertinya tidak paham pelayaran
    Beam reach, berlayar tegak lurus terhadap angin, termasuk kategori paling cepat karena adanya gaya angkat pada layar

    • Saya sudah menduga akan ada koreksi seperti ini
      Saya suka HN karena koreksi-koreksi kecil seperti ini, yang begitu spesifik dan akurat, terhadap satu analogi yang tidak tepat, tetapi tidak lantas dismiss seluruh tulisan
    • Saya sama sekali tidak tahu soal pelayaran, tetapi berkat komentar ini saya mencari point of sail, dan misteri seumur hidup saya tentang “bagaimana perahu layar bisa bergerak efektif melawan angin” akhirnya terbuka
      Ini benar-benar menakjubkan, dan pelayaran adalah sains yang hebat
    • Menarik juga bahwa jika dengan cara itu melampaui hull speed, kapal akan berselancar di atas gelombang haluannya sendiri
    • Beam reach tidak selalu merupakan cara berlayar tercepat
      Itu bergantung pada kapal, efisiensi layar, efisiensi centerboard/keel, yaitu rasio gaya angkat/gaya hambat, dan meski umumnya suatu bentuk reach kemungkinan besar paling cepat, arahnya belum tentu tepat tegak lurus terhadap arah angin sebenarnya
      Ini juga bergantung pada kecepatan angin, tinggi gelombang, distribusi berat, dan sebagainya
    • Saya penasaran seperti apa bentuk “lingkaran” itu jika asumsi yang benar dimasukkan

  • Semua contoh ini mengasumsikan bahwa fungsi jarak latarnya Euklides
    Jika fungsi jarak dua dimensi latarnya adalah proyeksi ruang tiga dimensi yang melengkung, pusat lingkaran bisa ditarik sehingga π menjadi sebesar apa pun yang diinginkan

    • Di sini tidak ada konsep “fungsi jarak latar”
      Jari-jari dan keliling sama-sama diukur dengan fungsi jarak itu sendiri yang didefinisikan
      Jika fungsi jaraknya menarik titik asal dibandingkan dengan jarak Euklides, pemetaan itu harus kontinu, dan pada akhirnya jari-jari serta keliling sama-sama bertambah dalam fungsi jarak tersebut
      Sebenarnya saya menautkan tulisan yang membuktikan bahwa untuk semua fungsi jarak, nilai π selalu berada di antara 3 dan 4, termasuk kedua ujungnya, tetapi tampaknya tidak kuat menahan trafik, jadi saya tinggalkan tautan alternatif: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
    • Yang diasumsikan bukan fungsi jarak latar, melainkan geometri ruangnya Euklides
      Dalam geometri non-Euklides, rasio keliling terhadap diameter suatu lingkaran bukan konstanta melainkan berubah sesuai diameter, jadi dalam kasus seperti itu “π” sejak awal tidak dapat didefinisikan
    • Agak keluar topik, tetapi hampir semua yang saya pahami tentang π berasal dari model GIF 3D yang tidak pernah saya lihat di sekolah
      Materi seperti ini seharusnya masuk jauh lebih awal sebagai inti kurva belajar, bahkan sebelum 3B1B

  • Saat kecil saya suka membayangkan hubungan-hubungan seperti ini
    Saya membayangkan ada dewa yang menciptakan semesta, dan mungkin saja seorang anak bosan seperti saya sedang membuat semesta untuk tugas sekolah
    Jika dewa itu memutar kenop π atau e ke bilangan rasional—tentu saja anggap saja di semesta sang dewa kenop itu juga bisa diputar ke nilai irasional yang tepat—apakah hidup kita akan menjadi lebih mudah atau lebih sulit? Mungkin lebih mudah
    Bagaimana dengan ukuran tampak Bumi/Bulan/Matahari jika dilihat dari Bumi? Itu petunjuk yang luar biasa, tetapi jika kebetulan itu tidak ada, mungkin kita justru akan mengetahui lebih banyak tentang astronomi
    Keanehan mekanika kuantum semesta atau ketidakseimbangan yang secara harfiah membutuhkan materi gelap mungkin sebenarnya bug dalam tugas anak yang dibuat terburu-buru, sehingga sejak awal memang tidak masuk akal
    Namun yang paling lama membuat saya berpikir adalah bilangan irasional

  • Jika membaca alur tulisan HN dengan benar, pengantar teori ukuran dari Terence Tao tidak boleh ketinggalan
    https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
    Tapi serius, siapa yang akan membaca atau menelusuri sekilas buku teori ukuran gratis setebal 260 halaman?
    https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

    • Catatan kuliah Tao bukan jenis bacaan yang sekadar dibaca atau ditelusuri sekilas
      Saya belajar teori ukuran secara otodidak dengannya untuk melewati mata kuliah prasyarat di universitas, dan itu benar-benar sulit
      Kira-kira setiap dua halaman ada latihan, dan kalau tidak meluangkan waktu untuk mengerjakannya, sepertinya tidak banyak yang bisa dipelajari
      Selain itu, latihan-latihannya sulit
    • Saya tidak mengerti mengapa membaca buku 260 halaman terasa begitu sulit dipercaya
      Orang-orang selalu membaca buku 260 halaman
      Saya tidak akan membaca buku ini karena bukan bidang minat saya, tetapi saya sibuk membaca buku-buku lebih dari 100 halaman tentang topik lain

  • Ada ruang menarik yang dibuat dengan bilangan p-adik, dan jika kita mendefinisikan jarak sederhana di atasnya, lingkaran memiliki sifat yang aneh
    Misalnya, diameter, yaitu jarak antara tepi-tepi terjauh, dan jari-jari, yaitu jarak dari tepi ke pusat, menjadi sama
    Hal-hal ganjil juga terjadi pada luas dan keliling cakram, dan cakram terbuka juga sekaligus tertutup
    Sesuatu yang setara dengan π di sana benar-benar aneh
    Sayangnya saya tidak ingat detailnya. Itu soal latihan di kelas matematika sekitar tahun 2000
    https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

  • Analogi kapal tampaknya kurang tepat
    Ia secara implisit membandingkan kapal layar pada hari berangin dengan kapal layar pada hari tanpa angin; padahal jika tidak ada angin, sejak awal tidak akan ada lingkaran
    Saya bukan ahli kapal, tetapi jika anginnya X knot, kapal bisa melaju hingga X knot searah angin, dan berbeda dengan klaim dalam tulisan itu, ke arah angin samping kapal bahkan bisa melaju beberapa kali X
    Maka memang akan muncul elips yang mirip dengan gambar, tetapi arahnya justru berlawanan
    Selain itu, kapal juga bisa bergerak “menuju” arah angin dengan tacking dan jibing