Mengapa energi kinetik meningkat secara kuadrat, bukan linear, saat kecepatan bertambah? (2011)
(physics.stackexchange.com)- Energi kinetik benda tak berotasi, $\frac{1}{2}mv^2$, bukan sekadar rumus untuk dihafal; ini adalah persoalan intuisi tentang mengapa mempercepat dari $1\to2\ \mathrm{m/s}$ memerlukan lebih banyak energi daripada dari $0\to1\ \mathrm{m/s}$
- Penjelasan intinya adalah invariansi Galilea dan kekekalan energi: jika tumbukan yang sama dilihat dari kerangka acuan lain, diperoleh $E(2v)=4E(v)$, sehingga ketergantungan pada kuadrat kecepatan terlihat
- Momentum $p=mv$ bertambah secara linear terhadap kecepatan, tetapi saat dihentikan dengan gaya yang sama, benda dengan kecepatan 2 kali lipat memiliki waktu dan kecepatan rata-rata yang sama-sama 2 kali lipat, sehingga jarak pengereman dan usaha menjadi 4 kali lipat
- Contoh jatuh dan lemparan menunjukkan hubungan antara tinggi, energi potensial, dan kecepatan; bola yang jatuh dari 2 m tidak menjadi 2 kali lebih cepat daripada bola yang jatuh dari 1 m
- $\frac{1}{2}mv^2$ adalah aproksimasi mekanika Newton untuk kecepatan rendah; dalam relativitas khusus, bentuknya menjadi $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$ dan hanya pada kecepatan rendah nilainya hampir sama
Inti pertanyaan
- Dalam mekanika klasik, energi kinetik benda tak berotasi diberikan oleh $\frac{1}{2}mv^2$
- Fokus pertanyaannya bukan pada rumus itu sendiri, melainkan pada mengapa energi bertambah sebagai kuadrat terhadap kecepatan, bukan secara linear, yang terasa bertentangan dengan intuisi
- Contoh utamanya adalah mengapa lebih banyak energi diperlukan untuk mempercepat dari $1\ \mathrm{m/s}$ ke $2\ \mathrm{m/s}$ dibandingkan dari $0\ \mathrm{m/s}$ ke $1\ \mathrm{m/s}$
Hubungan kuadrat dilihat dari invariansi Galilea
- Salah satu penjelasan mendefinisikan energi kinetik sebagai “jumlah panas yang dihasilkan saat bola tanah liat bermassa $m$ menabrak dinding dengan kecepatan $v$”
- Jika dua bola tanah liat bermassa sama ditabrakkan berdampingan, panasnya menjadi 2 kali lipat, sehingga energi sebanding dengan massa
- $E(m,v)=mE(v)$
- Jika dua bola tanah liat bermassa sama $m$ masing-masing bergerak dengan kecepatan $v$ dan bertumbukan frontal, karena simetri keduanya berhenti dan total panas yang dihasilkan adalah $2mE(v)$
- Dalam kerangka acuan kereta yang bergerak bersama salah satu bola, peristiwa yang sama terlihat berbeda
- Bola pertama awalnya diam
- Bola kedua mendekat dengan kecepatan $2v$
- Setelah tumbukan, sistem dua bola yang menempel bergerak dengan kecepatan $v$
- Energi kinetik awal dalam kerangka ini adalah $mE(2v)$, dan setelah tumbukan tersisa panas $2mE(v)$ serta energi kinetik gumpalan bermassa dua kali lipat sebesar $2mE(v)$
- Dengan menerapkan kekekalan energi, diperoleh hubungan berikut
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Karena menggandakan kecepatan membuat energi menjadi 4 kali lipat, energi kinetik sebanding dengan kuadrat kecepatan
Perbedaan momentum dan energi
- Pertanyaan ini sangat penting terutama saat membedakan momentum dan energi
- Besaran kinematik yang sebanding secara linear dengan kecepatan adalah momentum
- $p=mv$
- Perubahan momentum sebanding dengan impuls
- $F\Delta t=\Delta p$
- Ini terkait dengan hukum kedua Newton, $F=ma$
- Jika benda A dan B dihentikan dengan gaya yang sama $F$:
- Kecepatan A adalah $v$
- Kecepatan B adalah $2v$
- Momentum B adalah 2 kali momentum A
- Jika diperlambat dengan gaya yang sama, waktu yang diperlukan B untuk berhenti adalah 2 kali waktu A
- Karena kecepatan awal dan kecepatan rata-rata B juga 2 kali lipat, jarak pengeremannya menjadi $2 \times 2=4$ kali lipat
- Usaha adalah hasil kali gaya dan jarak, $W=Fs$, sehingga jika jarak pengereman 4 kali lipat pada gaya yang sama, usaha yang diperlukan juga menjadi 4 kali lipat
- Energi kinetik adalah besaran yang menyatakan usaha ini, sehingga pada kecepatan 2 kali lipat energi kinetik menjadi 4 kali lipat
Intuisi dari jatuh dan gravitasi
- Pertanyaannya dapat diubah dari “mengapa energi kinetik berbentuk kuadrat terhadap kecepatan, bukan linear” menjadi “mengapa kecepatan bertambah seperti akar kuadrat energi kinetik”
- Jika sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 m dan kecepatannya saat menyentuh tanah adalah $v$, kecepatan bola yang dijatuhkan dari ketinggian 2 m bukanlah $2v$
- Pada segmen 1 m kedua, bola sudah bergerak sehingga melewati segmen itu dalam waktu lebih singkat, dan waktu untuk memperoleh tambahan kecepatan juga berkurang
- Di dekat permukaan bumi, energi potensial gravitasi sebanding dengan tinggi, dan saat benda jatuh, tinggi jatuh sebanding dengan kuadrat kecepatan
- Agar energi kekal, energi kinetik juga harus sebanding dengan $v^2$
- Kasus melempar ke atas juga mengarah pada kesimpulan yang sama
- Dengan perlambatan gravitasi yang sama, jika kecepatan awal 2 kali lipat, waktu hingga berhenti juga 2 kali lipat
- Kecepatan rata-rata juga 2 kali lipat
- Tinggi yang dicapai menjadi 4 kali lipat
- Jika dihubungkan dengan energi potensial $mgh$, energi kinetik awal sama dengan energi potensial pada saat berhenti, dan muncul bentuk $\frac{1}{2}mv^2$
Teorema usaha-energi dan besaran kekal
- Secara matematis, bentuk energi kinetik muncul dari hukum kedua Newton dan definisi usaha
- Hukum kedua Newton:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- Definisi usaha:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- Jika diintegralkan sepanjang lintasan, diperoleh hubungan berikut
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- Jadi definisi usaha terhubung langsung dengan ketergantungan kuadrat terhadap kecepatan
- Pada gaya konservatif, $\int d\vec s\cdot\vec F$ bergantung hanya pada titik akhir, bukan pada lintasan, dan dapat dinyatakan sebagai fungsi potensial
- Jika tidak ada gaya nonkonservatif seperti gesekan, jumlah energi kinetik dan energi potensial tetap menjadi besaran kekal yang tidak berubah
Mengapa “definisi” saja tidak cukup
- Dalam mekanika klasik, energi kinetik didefinisikan sebagai $\frac{1}{2}mv^2$, dan berguna karena ketika hukum fisika tetap terhadap waktu, jumlah besaran ini dan suku yang bergantung pada posisi menjadi kekal
- Jika percepatan merupakan fungsi posisi dan tetap terhadap waktu, seperti pada hukum gravitasi, hukum Coulomb, atau hukum Hooke, maka cukup mengetahui kecepatan di satu posisi untuk menghitung kecepatan di posisi lain melalui kekekalan energi
- Jawaban “karena didefinisikan begitu” saja masih menyisakan pertanyaan mengapa definisi itu berguna
- Berbagai penjelasan memandang kegunaan itu terkait dengan besaran kekal, simetri, dan invariansi Galilea
Sudut pandang Lagrangian dan simetri
- Dengan menggunakan homogenitas ruang, homogenitas waktu, dan isotropi ruang, Lagrangian partikel bebas tidak boleh bergantung secara eksplisit pada posisi atau waktu
- Jika ruang bersifat isotropik, Lagrangian harus bergantung pada besar kecepatan atau pangkatnya, bukan pada arah vektor kecepatan
- Jika Lagrangian partikel bebas ditulis dalam bentuk $\mathcal{L}=\alpha v^n$, lalu momentum dihitung sebagai $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$, diperoleh $p=\alpha nv^{n-1}$
- Jika diberi syarat bahwa dalam limit nonrelativistik momentum bersifat linear terhadap kecepatan, maka $n=2$, sehingga energi kinetik sebanding dengan $v^2$
- Pernyataan bahwa momentum linear terhadap kecepatan hanya benar dalam limit nonrelativistik
Limit relativistik dan syarat skalar
- Energi kinetik tidak selalu persis sebanding dengan $v^2$; dalam relativitas khusus digunakan rumus berikut
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- Pada kecepatan rendah, rumus ini secara praktis sama dengan $\frac{1}{2}mv^2$
- Fakta bahwa energi kinetik adalah skalar sementara kecepatan adalah vektor juga menjadi alasan ketergantungan linear dikesampingkan
- Jika energi kinetik linear terhadap kecepatan, nilainya akan berubah saat $\mathbf{v}$ diganti menjadi $-\mathbf{v}$, sehingga bergantung pada arah
- Suku $v^2$ dalam mekanika Newton serta suku koreksi relativistik seperti $v^4$, $v^6$, dan seterusnya memenuhi syarat bahwa energi kinetik adalah skalar dan invarian terhadap $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$
Eksperimen pikiran dan contoh sehari-hari
- Eksperimen pikiran dengan pegas dan dua kotak menggunakan situasi ketika energi potensial pegas yang terkompresi berubah menjadi energi kinetik dua benda
- Dalam satu kerangka acuan, pegas menghentikan satu kotak dan membuat kotak lain bergerak dengan $2v$, sementara dalam kerangka acuan lain dua kotak bergerak masing-masing dengan $v$ ke arah berlawanan
- Jika energi potensial invarian terhadap transformasi Galilea dan energi kinetik bersifat aditif terhadap massa, maka diperoleh $KE(m,2v)=4KE(m,v)$
- Contoh tabrakan mobil menjelaskan bahwa selama paruh pertama waktu perlambatan, mobil menempuh 3/4 dari total jarak berhenti, sehingga kerusakan sebanding dengan jarak tempuh, bukan waktu
- Eksperimen pikiran yang berulang kali menggunakan pegas untuk menaikkan kecepatan satu bola dari $0,1,2,3,4$ menunjukkan bentuk pertumbuhan energi kinetik seperti $0,1,4,9,16$
1 komentar
Komentar Hacker News
Paling mudah dipahami jika dilihat sebagai konversi energi potensial
Bola di atas tangga 20ft memiliki energi potensial 2 kali bola di atas tangga 10ft, dan ketika menyentuh tanah energi itu berubah menjadi energi kinetik sebesar itu
Namun kecepatan tumbukan bola yang jatuh dari tempat 2 kali lebih tinggi masih jauh dari 2 kali lipat. Gravitasi adalah gaya yang memberi percepatan konstan dalam jatuh bebas, terlepas dari kecepatan, dan kenaikan kecepatan terjadi “per waktu”, bukan “per jarak”
Katakanlah bola yang jatuh dari 10ft setelah 1 detik memiliki energi kinetik 10 dan kecepatan 100. Bola yang jatuh dari 20ft juga, pada saat melewati 10ft pertama, sama-sama memiliki energi kinetik 10 dan kecepatan 100
Intinya ada pada sisa bagian 10ft. Karena sudah masuk dengan kecepatan 100, bola melewatinya dalam waktu yang lebih singkat daripada 10ft sebelumnya, dan tambahan kecepatan yang diberikan gravitasi pun lebih kecil. Dari sini terlihat bahwa hubungannya tidak linear
Jika dihitung atau diuji secara nyata, agar sebuah bola menyentuh tanah dengan kecepatan 2 kali lebih tinggi daripada bola lain, ia harus dijatuhkan dari ketinggian 4 kali lipat, dan energi kinetiknya juga menjadi 4 kali lipat
Pertanyaannya sendiri juga berangkat dari intuisi bahwa energi kinetik sepertinya bertambah linear terhadap kecepatan, tetapi dalam kenyataannya intuisi itu keliru
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Namun pada akhirnya ini juga soal satuan dan besaran apa yang kita pilih untuk ukur. Misalnya, jika “Squenergy” diukur dalam Sqoules dan kita tetapkan 1Sq² = 1J, maka squenergy tiba-tiba meningkat linear terhadap kecepatan
Tentu saja, kalau begitu Squenergy potensial menjadi sqrt(MgH), tidak bisa dijumlahkan, dan bagian-bagian lain jadi rumit
Menjatuhkan sesuatu 10 kali dari 1ft tidak memiliki energi atau daya rusak sebesar menjatuhkannya sekali dari 10ft
Penjelasan yang paling intuitif bagi saya adalah ini: gaya = perubahan momentum terhadap waktu, energi = gaya × jarak
Jika kita lihat berapa banyak energi yang bisa didisipasikan melalui perubahan momentum kecil selama jarak kecil dx pada suatu kecepatan v, maka dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv
Untuk menerapkan gaya selama suatu jarak, Anda harus mengubah kecepatan benda sebesar dv, tetapi jarak yang ditempuh selama itu juga bergantung pada kecepatan saat ini v. Karena itu total energinya tidak sekadar sebanding dengan kecepatan
Jika semua dE kecil dijumlahkan dari kecepatan awal sampai 0, muncullah rumus energi kinetik
Namun intuisi ini pada akhirnya tetap berangkat dari “gaya = perubahan momentum terhadap waktu”. Definisi “gaya”, “momentum”, dan “energi” jelas secara matematis, dan sekalipun ada realitas bersama yang kita alami, semuanya bisa terasa menyebalkan karena tampak begitu sirkular
“2 kali lebih cepat” mudah terasa sebagai momentum 2 kali lipat, sedangkan energi kinetik lebih abstrak karena merupakan momentum × kecepatan
Ada anekdot kecil
Mobil biru melaju dengan kecepatan 70, dan mobil merah dengan model yang sama mengejarnya dengan kecepatan 100. Saat keduanya sejajar, di balik tikungan muncul rintangan yang menutup dua lajur, dan kedua mobil mengerem dengan kekuatan dan perlambatan yang sama
Mobil biru berhenti tepat sebelum rintangan. Mobil merah melaju lebih cepat, jadi meski mengerem dengan rasio yang sama, ia tidak bisa berhenti. Berapa kecepatannya saat menabrak rintangan?
Berdasarkan ½mv², mobil biru kehilangan energi sekitar 70² = 4900 satuan. Mobil merah awalnya memiliki energi kinetik 100² = 10000 satuan, dan jika kehilangan jumlah yang sama, 4900, tersisa 5100. Jadi kecepatan tumbukannya adalah √5100 ≈ 71
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
Inilah alasan mobil F1 bisa mencapai 4G saat mengerem. Mobil kustom monster terakhir Ken Block atau mobil seperti Valkyre memanfaatkan pengereman aerodinamis aktif lebih besar lagi
Untuk eksperimen mobil virtual dasar seperti ini, BeamNG.drive adalah simulator fisika yang cukup bagus. Anda bisa membuka alat bawaan dan menjalankan tes pengereman sendiri
Kedua mobil bisa saja mengerem dengan perlambatan yang sama, yaitu berdasarkan percepatan, atau dengan kekuatan yang sama, yaitu berdasarkan laju konversi energi kinetik menjadi panas, tetapi karena kecepatannya berbeda, kedua nilai itu tidak bisa sama pada saat yang sama
Perhitungan di atas didasarkan pada kekuatan, bukan gaya atau percepatan. Perbedaannya dilebih-lebihkan oleh kuadrat dalam rumus energi kinetik. Jika dihitung berdasarkan gaya, selisihnya menjadi linear dan lebih landai
Ungkapan “mengerem dengan rasio yang sama” juga licik. Biasanya “rasio” berarti gaya atau percepatan, tetapi di sini yang dihitung adalah laju konversi energi kinetik menjadi panas
Laju konversi energi yang sama berarti gaya pengereman aktual pada mobil yang lebih cepat jauh lebih kecil. Matematikanya sama seperti saat menuruni turunan pada kecepatan rendah masih baik-baik saja dengan gaya yang sama, tetapi jika gaya yang sama diterapkan pada kecepatan tinggi, rem akan terlalu panas
Pada dasarnya ini adalah perhitungan untuk truk yang menuruni turunan—yaitu perhitungan ketika batasnya bukan gesekan, melainkan seberapa banyak panas yang bisa dibuang rem—yang disusun ulang menjadi masalah menghentikan mobil untuk membuat pertanyaan jebakan
Ron Maimon menulis argumen yang murni bergantung pada simetri. Ini cara yang melewati banyak penjelasan standar di thread ini, dan sejauh yang saya pahami, mirip versi sederhana dari teorema Noether
Sebagai catatan sampingan, setahu saya akun Ron Maimon ditangguhkan setelah ia mempermasalahkan karakter seseorang yang sedang meminta suara dalam pemilihan moderator. Posisinya adalah bahwa jika seseorang mencalonkan diri untuk jabatan terpilih, maka karakternya boleh dibahas
Situs-situs keluarga Stack Overflow punya kebijakan ketat: kritiklah pertanyaannya, bukan orangnya, dan para moderator memakai itu sebagai dasar untuk memblokirnya permanen
Saya ingat pernah membaca tulisan Ron saat itu yang mengatakan bahwa situs-situs SO sudah rusak karena kebijakan mereka dan tak lama lagi tidak akan lagi memberikan nilai. Itu sekitar akhir 2000-an atau awal 2010-an; kalau dilihat kembali, terasa cukup visioner
Sekarang memang ditambah keputusan manajemen yang makin aneh untuk memeras uang sebanyak mungkin sebelum AI membuat SE sepenuhnya tidak berguna, tetapi agresivitas dan permusuhannya sudah sejak awal berada pada tingkat yang sulit ditahan
Puluhan kali saya pernah masuk StackOverflow hanya untuk melihat sesuatu selama 10 detik lalu pergi, tetapi malah bengong beberapa menit membaca komentar karena tak percaya melihat cara orang-orang saling memperlakukan
Setelah membaca beberapa jawaban, rasanya saya masih belum melihat jawaban yang intuitif. Mengapa pergi dari 0 ke 1 membutuhkan energi jauh lebih sedikit daripada dari 1 ke 2?
Saat diam, kita bisa memanfaatkan lingkungan sekitar untuk memperoleh kecepatan, misalnya dengan mendorong dinding
Kalau sudah punya kecepatan, lingkungan sekitar seolah bergerak ke arah berlawanan relatif terhadap kita, sehingga setiap kali ingin menambah satu satuan kecepatan, usaha yang diperlukan makin besar
Mengubah premis bisa membantu
Sebuah benda yang dikenai gaya konstan akan menempuh jarak yang bertambah secara kuadratis seiring waktu
Energi adalah gaya × jarak. Ini sama dengan intuisi bahwa energi yang diperlukan untuk mengangkat benda sebanding dengan ketinggian pengangkatannya
Jadi gaya konstan menghasilkan percepatan konstan, dan akibatnya jarak bertambah secara kuadratis
Jika kita menerima bahwa energi adalah gaya × jarak, maka dalam situasi ini energi yang diperlukan untuk menggerakkan benda juga bertambah secara kuadratis
Dengan kata lain, jumlah energi yang disalurkan oleh gaya F saat diberikan selama 1 detik bergantung pada seberapa cepat benda itu sudah bergerak. Untuk memberikan gaya pada benda yang sudah cepat, diperlukan energi jauh lebih besar. Intuisinya, kita harus terlebih dahulu memakai energi untuk mencapai kecepatan benda yang sudah bergerak itu, baru kemudian bisa mulai memberikan gaya
Ini bisa dipahami lewat asumsi kontrafaktual
Misalkan energi kinetik bergantung secara linear pada kecepatan |v|, sehingga E = m|v|. Lalu seperti apa alam semesta jadinya?
Lagrangian tradisional adalah L = 1/2 mv^2 - V(x). Jika memakai energi kinetik ini, rumusnya menjadi berbeda: L = m|v|ln|v|-V(x)
Jika menurunkan persamaan gerak yang sesuai, didapat p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F
Dari rumus-rumus ini ada beberapa hal yang bisa dilihat. Pertama, relativitas Galilea rusak dan tidak ada invariansi boost. Harus ada kerangka acuan istimewa tempat alam semesta diam, yaitu eter, dan semua dinamika harus dipahami terhadap kerangka itu
Kedua, hukum pertama Newton memiliki interpretasi yang patologis terkait kerangka acuan itu. Karena ma = |v|F dan |v| = 0, gaya F sebesar apa pun yang diberikan menghasilkan a = 0. Benda yang diam terhadap eter tidak bisa bergerak meski diberi gaya apa pun
Benda yang bergerak terhadap eter akan terus bergerak jika tidak ada gaya luar, dan hukum ketiga Newton juga tetap benar, tetapi alam semesta seperti ini pada dasarnya tidak masuk akal
Dari sudut pandang prinsip antropik, bisa dikatakan bahwa alam semesta seperti ini memiliki dinamika yang terlalu patologis untuk memungkinkan kehidupan, sehingga tidak bisa kita amati
Jika argumen StackExchange adalah “dengan relativitas Galilea, hukum skala kuadratis muncul”, maka argumen ini adalah kontraposisinya: “tanpa hukum skala kuadratis, relativitas juga tidak ada”
Inti kontrafaktualnya mirip dengan argumen “mengapa” dari Richard Feynman https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
Tidak ada alasan fundamental mengapa dinamika semacam ini tidak bisa ada. Kita hanya bisa menurunkan penjelasan ke intuisi yang lebih mendasar tentang alam semesta yang sama dengan yang kita huni, misalnya dari hukum skala energi kinetik ke relativitas Galilea. Jika tidak ada bukti matematis bahwa alternatifnya bertentangan bahkan secara prinsip, membayangkan alam semesta alternatif dengan dinamika berbeda sepenuhnya sah. Hanya saja itu bukan alam semesta kita
Jawaban licik: kecepatan adalah vektor sehingga bisa bernilai negatif, sedangkan energi kinetik adalah skalar sehingga harus positif. Jadi v harus dikuadratkan untuk menghilangkan tanda minus
Mengapa tidak memakai nilai mutlak? Karena alam tidak suka hal semacam itu. Mungkin karena turunannya tidak terdefinisi di 0. Maka jadilah kuadrat
Ini seperti perbedaan antara mangkuk parabola yang mulus dan ujung kerucut yang runcing secara tidak alami. Hal yang sama juga muncul pada standar deviasi, misalnya
Omong-omong, saya penasaran apakah pada jaringan saraf bernilai kompleks, fungsi aktivasi yang ditetapkan sebagai sum(inputs)*conj(sum(inputs)) dan ambang yang dinormalisasi dengan sqrt(num_inputs) mungkin yang paling universal. Masukan yang tidak koheren akan punya rata-rata nilai mutlak sqrt(N), sedangkan masukan yang koheren menjadi N seperti laser. Amplitudo kuadrat menjadi N berbanding N^2 antara kelompok yang tidak terkoreksi dan kelompok yang berkorelasi
Dan cara menangani singularitas di 0 sangat penting bagi struktur interaksi itu
Jika kecepatan digandakan, dalam waktu yang sama benda menempuh jarak 2 kali lebih jauh. Bukan hanya 2 kali lebih cepat; keduanya sama-sama memengaruhi usaha
Physics for Mathematicians karya Michael Spivak memuat banyak argumen yang menjelaskan mengapa matematika mekanika klasik berbentuk seperti itu, seperti jawaban teratas di sini