Bukti visual untuk a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)

 (futilitycloset.com)
1 poin oleh GN⁺ 2024-12-16 | 1 komentar | Bagikan ke WhatsApp
  • Ini adalah catatan matematika singkat yang memeriksa rumus selisih kuadrat a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) melalui diagram
  • Intinya adalah identitas faktorisasi yang mengubah selisih dua bentuk kuadrat menjadi hasil kali jumlah dan selisih
  • Diagram tersebut menunjukkan korespondensi bahwa luas a^2 – b^2 menjadi sama dengan (a + b)(a – b)
  • Seperti dikatakan Sophie Germain, hal ini menekankan bahwa aljabar dan geometri dapat merepresentasikan relasi yang sama dengan cara yang berbeda
  • Ini bukan sekadar rumus yang dihafalkan, melainkan identitas yang dapat dipahami secara intuitif melalui penyusunan ulang luas

Melihat selisih kuadrat melalui diagram

  • Materi visual memuat bukti visual untuk a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • Yang dibuktikan adalah identitas yang menyatakan selisih kuadrat sebagai hasil kali jumlah dan selisih dua suku

Keterkaitan aljabar dan geometri

  • Sophie Germain mengatakan, “Aljabar tidak lebih dari geometri yang dituliskan, dan geometri tidak lebih dari aljabar yang digambarkan”
  • Kutipan ini disertakan dalam konteks untuk menunjukkan bahwa rumus dan diagram dapat merepresentasikan relasi yang sama dengan cara yang berbeda

Bacaan terkait

1 komentar

 
GN⁺ 2024-12-16
Komentar Hacker News

  • Jika Anda menyukai hal semacam ini, ada buku yang khusus mengumpulkan pembuktian visual https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., dan Wikipedia juga punya entri terkait https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Beberapa tahun lalu, bersama pembimbing doktoral dan seorang rekan, saya menggambar ulang banyak di antaranya dalam LaTeX https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor..., dan kami berencana mencetaknya sebagai poster untuk acara Pi Day, tetapi acaranya tidak jadi digelar karena pandemi

    • Karya ini benar-benar bagus. Mungkin patut dipertimbangkan juga untuk memasukkan sumber atau kredit di PDF
      Setelah orang mengunduh berkasnya lalu lupa dari mana mereka mendapatkannya, akan bagus kalau tetap bisa memberi kredit ke pihak yang semestinya

  • Ini mengingatkan saya pada video yang membahas mengapa kita perlu berhati-hati saat melihat pembuktian visual: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Di dalamnya juga ada “pembuktian” bahwa π tepat sama dengan 4. Dalam kasus ini pun, seperti yang ditunjukkan seseorang di bawah, ada asumsi yang tidak dibenarkan, dan setidaknya diasumsikan bahwa b < a

    • Saat kelas 9, guru geometri saya sangat menekankan bahwa kita tidak boleh sekali pun mengasumsikan panjang dan sudut yang tidak dinyatakan secara eksplisit pada gambar
      Terutama, ia mengatakan jangan mengira gambar digambar sesuai skala; meskipun sebuah segi empat tampak seperti persegi, kalau tidak tertulis persegi atau tidak ada cukup informasi untuk menentukannya demikian, kita harus memperlakukannya sebagai segi empat tak diketahui. Ia berkata kalau kami tidak melakukan itu saat ujian, ia akan “mengurangi nilai lebih banyak daripada bobot soalnya”, dan benar-benar pernah memberi gambar yang tampak seperti layang-layang, tetapi syarat sudutnya dibuat hanya mungkin untuk jajargenjang yang bukan layang-layang, lalu memberi pengurangan nilai tambahan kepada siswa yang salah mengiranya sebagai layang-layang
    • Masalah pada pembuktian itu hanyalah asumsi bahwa nilai pada limit sama dengan nilai di tak hingga
      Jika pi(n) dianggap sebagai fungsi yang didefinisikan pada N ∪ {inf}, memberikan nilai “pi” pada langkah ke-n prosesnya, dan pi(inf) didefinisikan sebagai nilai pada lingkaran sebenarnya, maka itu sekadar menjadi fungsi dengan lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf). Untuk setiap n berhingga nilainya 4, sedangkan pada tak hingga nilainya 3.1415...
      Ini juga bisa diungkapkan ulang tanpa memakai “tak hingga”, tetapi cara berpikir ini paling jelas. Tidak jauh berbeda dari fungsi delta Kronecker delta(t), yang bernilai 1 di t=0 dan 0 di tempat lain. lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
    • b < a dapat diasumsikan tanpa kehilangan generalitas
    • Benar, tetapi itu karena bergantung pada pengulangan tanpa henti dalam menyesuaikan keliling. Penyusunan ulang beberapa kotak di sini tidak melibatkan tak hingga
    • Jika persegi panjang dengan luas negatif tidak mengganggu Anda, ini tetap berlaku

  • Pembuktian visual untuk teorema Pythagoras ada di sini: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    Teorema Pythagoras tidak langsung intuitif bagi saya, jadi yang ini terasa jauh lebih “berguna”. Pembuktian di artikel aslinya tampak cukup redundan, karena langsung mengikuti dari a(b+c)=ab+ac. Membangun intuisi untuk hukum distributif perkalian memang sangat penting dalam pendidikan matematika, tetapi saya merasa intuisi tentang mengapa itu benar lebih baik dibangun tanpa bergantung pada geometri

    • Dulu saya benar-benar yakin bahwa jika sebuah garis dibagi menjadi 3 bagian sama, lalu dari satu titik ditarik garis, sudut 60 derajat juga bisa dibagi menjadi tiga bagian masing-masing 20 derajat; ternyata sebenarnya tidak demikian
    • Pembuktian visual itu tampak belum lengkap. Kita juga harus membuktikan bahwa segi empat pada gambar kanan adalah persegi
    • Saya tidak merasa ini lebih redundan daripada teorema Pythagoras. Toh teorema Pythagoras juga bisa dibilang langsung mengikuti dari definisi hasil kali dalam

  • Harus hati-hati. Kalau percaya pada “pembuktian” visual, Anda bisa saja percaya pada hal seperti ini: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Yang itu tampaknya memang dibuat untuk menipu
      Orang yang menggambar sambil memikirkan masalahnya pasti akan membuat dua sudut pada gambar seperti itu dimaksudkan sama, atau justru menunjukkan bahwa satu segitiga memiliki kemiringan 8/3 dan yang lain 5/2 sehingga kemiringannya jelas berbeda
      Pembuktian visual yang baik hanya menyampaikan aljabar sebenarnya lewat garis dan bangun alih-alih simbol, dan hasilnya dalam arti tertentu tetap harus aljabar. Contoh yang ditautkan maupun pembuktian Pythagoras yang terkenal juga demikian. Begitu Anda mengeluarkan penggaris dan mulai mengukur, Anda sudah tersesat. Semua hasil harus bersifat aljabar, bukan visual, tetapi boleh saja menyajikan aljabar itu dengan gambar alih-alih huruf
    • Saya tidak mengerti apa maksudnya “jadi percaya”. Apakah Anda menyiratkan contoh yang diberikan itu tidak benar? Itu sangat benar
      Dari sisi pembaca, awalnya bisa membingungkan. Sulit membedakan selisih antara 3/8 dan 2/5, dan kita mengasumsikan kemiringan kedua segitiga itu sama. Tetapi pembuktian visual tersebut sebenarnya menunjukkan dengan jujur bahwa keduanya memang tidak sama

  • Cara serupa juga berguna untuk aritmetika mental yang berkaitan dengan kuadrat. Misalnya, 1005² menjadi 1.010.025 karena cukup mengambil 1000², menambahkan dua blok 5×1000, lalu menambahkan blok kecil 5²
    Sebaliknya, 995² menjadi 990.025 karena dari 1000² kita mengurangi dua blok 5×1000 yang sama lalu menambahkan 5²

  • Sebagai orang yang lemah dalam geometri tetapi cukup baik dalam aljabar, ini benar-benar mengejutkan. Saya bahkan tidak bisa mulai memahami bagaimana gambar ini menunjukkan bahwa rumus tersebut berlaku, bahkan untuk kotak-kotak spesifik ini
    Namun keterkaitan perkalian yang membuat aljabarnya berlaku terasa sangat jelas. Bukan berarti contohnya buruk atau bagus, melainkan menakjubkan melihat betapa berbedanya cara orang berpikir

    • Pada gambar pertama di kiri, terlihat bahwa sisi horizontal dan vertikal persegi besar adalah a, sehingga luasnya a×a, yaitu a²
      Persegi kecil di dalamnya memiliki sisi horizontal dan vertikal b, sehingga luasnya b². Pada dasarnya, kita menghapus persegi kecil dari persegi besar, jadi menjadi a² - b². Pada gambar terakhir di kanan, panjang salah satu sisinya adalah (a-b), dan sisi atasnya (a+b), sehingga luasnya (a-b)(a+b). Jadi a² - b² = (a + b)(a - b), dan langkah-langkah di tengah menunjukkan proses memindahkan luas secara visual
    • Saya penasaran, di bagian mana dari lima gambar itu pemahaman Anda terputus
    • Bagian mana yang sulit dipahami?

  • Sepertinya itu hanya menunjukkan bahwa ada sejumlah a dan b tertentu yang membuat persamaan tersebut benar. Tidak menunjukkan bahwa itu berlaku untuk semua a dan b

    • Selain syarat bahwa nilainya positif, batasan apa lagi yang diminta bukti ini terhadap a dan b?
    • Benarkah? Bahkan jika a=0 atau b=0 pun tetap benar

  • Futility Closet dulu punya podcast yang menarik dan seru. Saya merindukannya. Tapi senang mereka masih menulis blog

    • Saya benar-benar menikmati podcast itu. Saya belum menemukan pengganti yang sepadan

  • Saya suka menonton beberapa video YouTube Mathologer, dan di sana sering ada bukti visual yang bagus
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (jumlah dua kuadrat Fermat)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (teorema Ptolemy)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (bilangan irasional)

  • https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html juga layak dilihat
    Ada banyak visualisasi keren, termasuk salah satu bukti teorema Pythagoras favorit saya
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...