Bentuk Pertama yang Ditemukan Tidak Dapat Melewati Dirinya Sendiri

• Para matematikawan untuk pertama kalinya menemukan bentuk tiga dimensi yang tidak dapat melewati dirinya sendiri, sebuah penemuan yang mengguncang intuisi geometris yang ada
• Sebagian besar polihedra dapat meloloskan salinannya sendiri melalui kombinasi rotasi dan translasi tertentu yang disebut Rupert passage, tetapi untuk bentuk kali ini dipastikan hal itu mustahil dari arah mana pun
• Para peneliti menghasilkan dan memverifikasi ratusan juta polihedra secara algoritmis, dan menemukan jalur pada hampir semua kasus, tetapi ada segelintir pengecualian
• Dua matematikawan, terinspirasi dari video YouTube, mengembangkan algoritme mereka sendiri, memperkirakan dalam makalah tahun 2021 bahwa polihedra tertentu mungkin tidak dapat dilalui, dan penelitian kali ini memperkuat kemungkinan tersebut
• Penemuan ini menghadirkan arah baru bagi riset simetri geometris dan algoritme penelusuran ruang, serta dinilai sebagai contoh yang mengungkap batas mendasar bentuk matematis

---

Kelangkaan bentuk Nopert dan proses pencarian

• Para peneliti memastikan bahwa kandidat Nopert (bentuk yang tidak dapat ditembus oleh dirinya sendiri) sangat langka
  • Sejak 2023, Murphy menghasilkan ratusan juta polihedra untuk diuji
  • Ini mencakup polihedra acak, susunan titik sudut di atas bola, polihedra dengan struktur simetris, serta bentuk yang sengaja memodifikasi sebagian titik sudut
• Algoritmenya dengan mudah menelusuri Rupert passage pada hampir semua bentuk, tetapi pada sebagian bentuk tertentu, jalur itu tetap tidak ditemukan
  • Masih belum pasti apakah bentuk-bentuk pengecualian ini benar-benar Nopert, atau hanya kasus yang jalurnya sulit ditemukan
• Hasil ini kuat mengisyaratkan kemungkinan adanya Nopert sejati di kalangan matematikawan
  • Namun, hingga sebelum Agustus 2024, belum ada bukti yang pasti

“No Passage” — penemuan bentuk yang tidak memiliki jalur

• Steininger (30) dan Yurkevich (29) adalah teman sekaligus mitra riset yang berasal dari komunitas alumni Olimpiade Matematika, dan tetap menelusuri masalah tak terpecahkan bersama meski telah meninggalkan dunia akademik
  • Dalam wawancara, mereka menggambarkan antusiasme itu dengan berkata, “Bahkan 3 jam yang lalu kami makan pizza sambil hampir hanya membicarakan matematika”
• Lima tahun lalu, keduanya terpikat pada masalah Rupert setelah menonton video YouTube tentang sebuah kubus yang melewati kubus lain
  • Setelah itu mereka mengembangkan algoritme pencarian Rupert passage sendiri dan menjadi yakin bahwa beberapa bentuk memang tidak dapat dilewati
• Dalam makalah tahun 2021, mereka memperkirakan bahwa rhombicosidodecahedron (rombikosidodekahedron) bukanlah bentuk Rupert
  • Ini dinilai sebagai hipotesis pertama tentang “benda padat yang tidak dapat dilalui” yang muncul sebelum riset terbaru Murphy dan Grimmer
• Steininger mengatakan, “Itu adalah penelitian yang untuk pertama kalinya memperkirakan mungkin ada benda padat yang tidak memiliki sifat ini”

Syarat matematis untuk membuktikan Nopert

• Untuk membuktikan bahwa suatu bentuk adalah Nopert, perlu dibuktikan bahwa Rupert passage tidak ada untuk semua kemungkinan kombinasi arah dan rotasi
  • Setiap arah dapat dinyatakan sebagai himpunan sudut rotasi
  • Himpunan sudut ini dapat direpresentasikan sebagai satu titik dalam ruang parameter berdimensi tinggi (parameter space)
• Karena itu, proses pembuktian bermuara pada masalah menelusuri seluruh ruang parameter dan memastikan tidak adanya jalur
  • Ini sangat kompleks secara komputasional, dan untuk pembuktian yang lengkap perlu mempertimbangkan kombinasi arah yang tak hingga
• Hasil yang ada saat ini didasarkan pada verifikasi kasus-kasus hingga yang memungkinkan melalui penelusuran komputer, dan pembuktian matematis yang lengkap masih sedang berlangsung

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Menarik bahwa karena tidak mungkin menguji semua kasus, mereka memilih satu lalu menyingkirkan banyak kemungkinan di sekitarnya
  Baru-baru ini saya menonton video keren tentang topik Rupert/Nopert, dan terasa seperti kebetulan yang menyenangkan karena waktunya bertepatan dengan riset ini
  • Sebenarnya tidak terlalu kebetulan. Di artikel juga disebut tom7, dan di bagian akhir videonya dia secara langsung menyebut makalah ini. Artinya, tom7 juga sedang mencoba membuktikan masalah yang sama
• Judulnya agak berpotensi menyesatkan. Secara spesifik, bentuk lain seperti bola (sphere) sudah lama diketahui, dan hal baru kali ini adalah bahwa ini merupakan polyhedron pertama yang tidak dapat dilewati oleh dirinya sendiri
  • Tepatnya yang dimaksud adalah polyhedron cembung (convex). Meski begitu, kritik terhadap judulnya tetap masuk akal
  • Bola bisa didekati dengan polyhedron. Secara umum, polyhedron seperti itu tampaknya akan memiliki sifat Rupert, tetapi Nopert kali ini berbeda karena titik-titik sudut di dekat bidang atas dan bawah memiliki sudut yang lebih landai terhadap sumbu vertikal.
    Saya jadi bertanya-tanya apakah tromino-T bisa dilewatkan melalui dirinya sendiri
  • Dari sudut pandang nonspesialis, mungkin akan lebih jelas jika judulnya ditulis sebagai “bentuk pertama tanpa kurva yang ditemukan” atau semacam itu
  • Saya penasaran mengapa bola tidak bisa melewati dirinya sendiri. Saat diproyeksikan sebagai bayangan, ukurannya sama dengan diameternya, jadi rasanya seharusnya mungkin
• Karena ada dua sisi datar, ini tidak bisa dipakai sebagai dadu D&D. Saya tetap mendukung rhombicosidodecahedron
• Saya menyukai tingkat detail dalam artikelnya. Tidak tenggelam dalam detail matematika, tetapi tetap cukup untuk benar-benar memahami isi risetnya
• Saya mengenal Prince Rupert hanya dari “Prince Rupert’s drops” yang memakai namanya, tetapi ternyata dia adalah tokoh yang aktif di banyak bidang
  Detail terkait bisa dilihat di Wikipedia
• Sulit dipercaya belum ada istilah seperti “anisotransient” untuk sifat seperti ini
• Jika bahkan menemukan satu saja sesulit ini, hasil berikutnya mungkin adalah “hampir semua polyhedron cembung tidak dapat melewati dirinya sendiri”
• Apakah memang harus melewati dalam garis lurus? Saya juga bisa membayangkan kasus melewati sambil berputar, seperti puzzle balok atau sofa yang diputar saat melewati sudut
  Artikel itu memang membatasi pada lintasan lurus, dan sebagian besar analisisnya juga memakai teknik proyeksi bayangan, jadi acuannya adalah garis lurus. Tetapi syarat taruhan aslinya hanya “melewatkan salinannya”, jadi saya rasa rotasi juga bisa menjadi pendekatan yang sah
  • Namun masalah ini dibatasi pada polyhedron cembung, jadi rasanya rotasi tidak akan banyak membantu
• Saya penasaran mengapa waktu dihabiskan untuk riset seperti ini. Apakah semata karena rasa ingin tahu, atau pada akhirnya ada nilai praktisnya, saya tidak tahu. Rasanya lebih dekat ke seni
  • Masalahnya sendiri mungkin tidak praktis, tetapi teknik yang dikembangkan untuk menyelesaikannya bisa diterapkan di bidang lain.
    Lagipula, melakukan riset murni karena rasa ingin tahu saja sudah cukup bernilai
  • Misalnya, selama puluhan tahun orang meneliti matematika abstrak seperti transformasi matriks dan normal permukaan, lalu pada 1980-an itu menjadi teknologi inti dalam grafika komputer
  • Riset seperti ini kadang juga berujung pada penemuan praktis seperti Velcro atau mekanisme pengunci mandiri. Jika seseorang menemukan titik hubungnya, itu bisa sedikit demi sedikit mengubah dunia
• Dari sudut pandang orang awam, kandidat Nopert tampak seperti bentuk yang makin mendekati bola. Bukankah bola tidak bisa memiliki terowongan Rupert?
  • Benar. Semakin banyak sisinya, secara visual bentuknya makin mendekati bola. Tetapi bola secara jelas memang non-Rupert, dan pertanyaan yang lebih menarik adalah apakah polyhedron cembung bisa non-Rupert
  • Saya penasaran sampai kapan bentuk itu masih bisa dilewati jika sisi terus ditambahkan. Mungkin bisa selamanya, mungkin Nopert muncul sesekali di tengah, atau mungkin Nopert makin banyak sehingga semakin sulit ditemukan. Saya ingin mencoba bereksperimen sendiri
  • Tetapi yang penting adalah, mereka berbeda dari bola