- Manifold adalah konsep matematika tentang ruang yang secara lokal tampak seperti bidang datar, tetapi secara keseluruhan memiliki struktur yang lebih kompleks
- Konsep yang diajukan oleh Bernhard Riemann pada abad ke-19 ini memperluas ruang dari sekadar latar fisik menjadi objek kajian yang mandiri
- Dengan memanfaatkan sifat yang tampak seperti ruang Euclidean di setiap titik, para matematikawan menghitung luas, volume, dan gerak menggunakan alat kalkulus tradisional
- Melalui chart dan atlas, ruang yang kompleks dibagi menjadi beberapa bagian untuk dianalisis, lalu hasilnya digabungkan guna memahami struktur keseluruhannya
- Kini manifold telah menjadi bahasa dasar matematika yang memainkan peran penting dalam relativitas umum, topologi, analisis data, dan fisika
Pembentukan gagasan
- Sejak zaman kuno, geometri adalah bidang yang mempelajari garis lurus dan bidang dalam ruang Euclidean
- Di ruang ini, jarak terpendek antara dua titik adalah garis lurus, dan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat
- Pada awal abad ke-19, para matematikawan mulai meneliti ruang melengkung dan menemukan gejala seperti garis sejajar yang bertemu atau jumlah sudut dalam segitiga yang berubah
- Riemann memperluas penelitian Gauss tentang permukaan lengkung dan mengajukan teori umum yang memungkinkan geometri didefinisikan pada ruang dengan dimensi sebarang
- Ia mempresentasikan konsep ini dalam kuliah di Universitas Göttingen pada 1854, yang kemudian menjadi dasar bagi topologi modern dan teori relativitas
- Pada masanya konsep ini diabaikan karena terlalu abstrak, tetapi melalui penelitian Poincaré dan Einstein, pada pertengahan abad ke-20 manifold menjadi konsep standar dalam matematika
Definisi dan struktur manifold
- “Manifold” berasal dari istilah Jerman yang dipakai Riemann, Mannigfaltigkeit
- Manifold adalah ruang yang secara lokal tampak seperti ruang Euclidean; sebagai contoh, lingkaran adalah manifold berdimensi satu
- Seekor semut di atas lingkaran tidak akan menyadari bahwa ia berada di atas kurva
- Sebaliknya, kurva berbentuk angka 8 bukan manifold karena pada titik perpotongannya ia tidak tampak seperti garis lurus
- Permukaan bumi adalah manifold dua dimensi, tetapi puncak kerucut ganda (double cone) bukan
- Inti dari manifold adalah berfokus pada sifat intrinsik
- Alih-alih sifat yang berubah bergantung pada dimensi ruang atau bentuk luarnya, analisis dilakukan dengan memakai pendekatan Euclidean di setiap titik
- Untuk itu, para matematikawan membagi ruang menjadi beberapa patch dan menyatakan tiap patch dengan sistem koordinat (chart)
- Aturan transformasi koordinat pada area yang saling tumpang tindih kemudian didefinisikan, dan keseluruhan himpunan ini disebut atlas
- Melalui atlas, ruang yang kompleks dapat dipecah menjadi potongan-potongan Euclidean kecil untuk dihitung, lalu hasilnya digabungkan guna memahami struktur keseluruhannya
- Pendekatan ini kini digunakan secara standar di seluruh matematika dan fisika
Pemanfaatan manifold
- Dalam relativitas umum, ruang-waktu adalah manifold empat dimensi, dan gravitasi dinyatakan sebagai kelengkungannya
- Ruang tiga dimensi yang kita rasakan juga merupakan manifold; secara lokal ia tampak datar, tetapi bentuk keseluruhannya masih belum sepenuhnya dipahami
- Para fisikawan mengubah persoalan ke dalam bahasa manifold untuk memanfaatkan sifat geometris
- Contoh: jika semua keadaan yang mungkin dari pendulum ganda (double pendulum) dinyatakan dengan dua sudut, maka ruang keadaannya menjadi manifold berbentuk donat (torus)
- Gerak pendulum dinyatakan sebagai lintasan di atas torus ini, sehingga gerak yang kompleks bisa dianalisis secara geometris
- Dengan cara serupa, himpunan solusi persamaan aljabar yang kompleks atau data berdimensi tinggi (misalnya aktivitas neuron otak) juga dapat ditafsirkan sebagai manifold untuk memahami strukturnya
- Manifold adalah bahasa dasar bagi matematika dan sains secara luas, dipandang sebagai alat yang “sama universalnya dengan menggunakan angka”
Belum ada komentar.