- Dalam lingkar matematika yang berlangsung sekitar 7 bulan bersama 7 anak usia 7–8 tahun, terlihat perbedaan besar antara topik yang menurut orang dewasa akan menarik dan topik yang benar-benar membuat anak-anak tenggelam di dalamnya
- Aktivitas visual dan manipulatif seperti SET, puzzle lipat-potong, teselasi, flexagon, dan konstruksi dengan penggaris serta jangka tidak bekerja sebaik yang diharapkan, sementara soal berbasis cerita seperti puzzle pembohong mendapat respons yang kuat
- Hanya dengan bangun geometri atau pola bilangan, minat mereka cepat pudar, tetapi dalam situasi dengan kecurigaan dan petunjuk seperti “siapa pembohongnya”, mereka mulai menimbang kemungkinan, memeriksa kontradiksi, dan mengembangkan rasa terhadap pembuktian
- Masalah Seven Bridges dimulai sebagai cerita, tetapi ketika anak-anak sendiri mencoba mencari masalah jembatan tak mungkin terkecil, mereka mengalami penyederhanaan masalah dan mengembalikan kompleksitas secara bertahap
- Pendekatan yang membiarkan matematika berbicara sendiri mungkin cocok untuk kelompok yang memang sudah tertarik, tetapi bagi anak-anak yang belum punya ketertarikan awal, diperlukan framing cerita yang lebih imersif
Perbedaan minat yang terlihat selama 7 bulan lingkar matematika
- Pesertanya adalah 7 anak laki-laki dan perempuan yang berusia 7 hingga hampir 8 tahun, dan setelah menjalankan lingkar matematika selama sekitar 7 bulan, dilakukan refleksi tentang apa yang efektif
- Ada jarak besar antara topik matematika yang tampak menarik dari sudut pandang orang dewasa dan topik yang benar-benar membuat anak-anak fokus
Aktivitas yang ternyata tidak efektif seperti yang diharapkan
- Aktivitas berikut diperkirakan akan disukai anak-anak, tetapi pada kenyataannya nyaris gagal
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Teselasi: Tooti Tooti
- Prime Climb
- membuat flexagons
- konstruksi dengan penggaris dan jangka
- Geometri khususnya mendapat respons yang buruk, dan soal yang membahas luas bangun sembarang atau area arsiran sulit dibungkus dengan cerita yang menarik
- Teselasi tidak terasa indah bagi anak-anak, dan pada aktivitas lipat-potong serta flexagon, keterampilan tangan mereka untuk memotong dan melipat kertas dengan cukup baik masih kurang sehingga rasa frustrasi membesar
Topik yang sukses di luar dugaan
- Ada aktivitas yang diperkirakan tidak akan disukai anak-anak, tetapi justru mendapat respons besar
- Knights and Knaves puzzles, serta topik logika proposisional seperti blue-eyed islanders
- Menyusun sendiri jadwal pertandingan olahraga dengan sistem round-robin dan memecahkan masalah untuk mengurangi waktu keterlambatan seluruh turnamen
- Awalnya dibingkai sebagai turnamen sepak bola, tetapi karena anak yang paling suka sepak bola tidak datang minggu itu, ini diubah menjadi kompetisi tari dan menjadi lebih menyenangkan
- Masalah Seven Bridges dan mencari masalah jembatan “tak mungkin” yang paling kecil
- Menentukan siapa yang lebih baik berdasarkan jumlah penalti yang berhasil dan gagal
- Membuat sendiri pola ala Pascal’s triangle
- Ada juga aktivitas yang memang disukai anak-anak sesuai dugaan
- Game Function Machine: permainan menebak fungsi yang bisa ditanyai seperti kotak hitam
- Variasi dari Nim
- The Turing Tumble
- Pembagian kue yang adil menggunakan kukis sungguhan dan topping yang tidak merata
- Permainan teori game seperti Prisoner’s dilemma dan Chicken
- Membuat mocktail untuk 3 orang berdasarkan resep untuk 1 gelas dan 5 gelas
- Ini adalah latihan pecahan, dan satuan pengukurannya dalam kelipatan 1/4 ons
Struktur cerita yang mendorong partisipasi
- Dalam tulisan tahun 2019, Attention spans for math and stories, dirangkum pengalaman menggunakan storytelling agar anak-anak mau ikut dalam aktivitas dan merasa diterima di dalam kelompok
- Saat membaca literatur tentang lingkar matematika, muncul penerimaan terhadap gagasan bahwa “matematika harus berbicara sendiri”, dan dalam beberapa sesi storytelling tidak bekerja dengan baik
- Dalam pendekatan itu, fasilitator memulai dengan misteri terbuka seperti “apakah mungkin menggambar bangun yang sempurna?”, lalu diam menunggu sampai peserta sendiri mulai bertanya dan mengeksplorasi
- Pendekatan ini mungkin cocok untuk siswa yang lebih besar atau siswa yang sejak awal sudah memiliki ketertarikan tertentu pada matematika
- Pada kenyataannya, kelompok yang ikut adalah anak-anak kelas menengah atas yang tipikal datang ke lingkar matematika setelah latihan sepak bola, dan saat bosan mereka mulai bercanda atau bermain dorong-dorongan
- Anak-anak itu belum pernah bermain “Among Us”, tetapi terus menyebut sesuatu sebagai “sus”
- Bahkan pola bilangan pun tidak terlalu menarik bagi mereka jika tidak dibungkus dalam format yang lebih imersif
Cara Knights and Knaves menanamkan rasa terhadap pembuktian
- Premis “dari dua orang, salah satunya adalah pembohong busuk, dan dari petunjuk dalam ucapannya kita harus mengetahui siapa pembohongnya” bekerja sangat baik
- Puzzle Knights and Knaves pertama dilakukan dengan menuliskan ucapan Alice dan Bob di kertas, menempelkannya pada sedotan plastik, lalu mengangkatnya seperti papan tanda
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- Anak-anak segera mengatakan siapa yang paling “sus”, dan pada awalnya mereka menganggap Alice mencurigakan karena menyalahkan Bob
- Melalui diskusi, mereka memahami bahwa ucapan Alice dan Bob saling bertentangan, sehingga tidak mungkin keduanya sama-sama mengatakan yang benar
- Anak-anak belum tahu kata “kontradiksi”, dan sering menyebutnya sebagai “opposites”
- Saat mempertimbangkan semua kemungkinan, mula-mula mereka mengira ada 2, lalu sampai pada 4 kemungkinan
- Keduanya pembohong
- Alice pembohong, Bob orang yang berkata benar
- Alice orang yang berkata benar, Bob pembohong
- Keduanya orang yang berkata benar
- Setelah memeriksa tiap kemungkinan, mereka sepakat bahwa satu-satunya kemungkinan adalah Alice berkata benar dan Bob berbohong
- Ketika hendak lanjut ke puzzle berikutnya, anak-anak bertanya apakah mereka benar pada soal pertama, dan setelah ditanya “menurut kalian, kalian benar tidak?”, mereka menunjukkan bahwa keyakinan mereka masih kurang
- Setelah itu mereka terus berpikir sampai semua orang yakin lewat pembuktian, dan belakangan salah satu anak berkata, “Tidak, kasus itu kan sudah kita buktikan!”
Perubahan lanjutan yang terlihat pada Seven Bridges dan flexagon
- Masalah Seven Bridges of Königsberg dimulai sebagai cerita, tetapi anak-anak cepat meninggalkan ceritanya dan fokus pada tantangan itu sendiri
- Pada sesi berikutnya, anak-anak ingin mencoba masalah ini lagi dan ingin mencari “masalah jembatan tak mungkin terkecil”
- Mereka tidak berhasil menyelesaikan masalah aslinya, tetapi terlihat jelas bagaimana mereka menyederhanakan masalah, membuatnya lebih kecil, lalu menambah kembali kompleksitas saat sudah mencapai titik yang bisa mereka pecahkan
- Mereka tidak suka aktivitas membuat flexagon, tetapi sebagai hadiah penutup sesi diberikan hexaflexagon berbasis templat dengan gambar-gambar cerah dan mudah dibedakan di tiap sisinya
- Templat yang digunakan adalah printed template
- Beberapa minggu kemudian, ayah dari salah satu anak mengatakan bahwa anak itu sangat terobsesi dengan hexaflexagon tersebut dan baru belakangan menemukan sisi keenamnya
- Gerakan flexagon, seperti peta Seven Bridges, juga bisa digambar sebagai peta sehingga seluruh ruang konfigurasinya terlihat lebih jelas
Pendekatan yang diperlukan jika memulai kelompok baru
- Kelompok ini juga, seiring waktu, sedikit demi sedikit mulai terbiasa mengapresiasi matematika demi matematika itu sendiri
- Jika harus memulai lagi dengan kelompok anak baru yang tidak punya ketertarikan awal pada matematika, perlu perancangan yang lebih sengaja untuk membungkus masalah dalam cerita yang imersif
1 komentar
Komentar Hacker News
Anak-anak ini benar-benar sangat beruntung karena di usia semuda itu mereka bisa bersentuhan dengan konsep dan soal seperti ini melalui guru yang bersemangat
Bahkan di antara orang-orang yang bekerja sebagai guru matematika K-12, mungkin tidak banyak yang bisa mengajarkan kurikulum seperti ini dengan baik. Melihat blog penulisnya, tampaknya ia tidak melakukannya demi bayaran besar, melainkan secara gratis, dan justru berusaha meyakinkan orang tua lain agar anak-anak mereka ikut serta: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
Dalam pendidikan matematika ada kesenjangan privilese besar yang tidak begitu dikenal oleh orang-orang di luar matematika. Siswa yang hanya mengikuti kurikulum standar atau akselerasi biasanya kurang siap untuk karier matematika dibanding siswa yang sejak kecil terpapar konsep-konsep nonstandar seperti ini lewat les privat, sekolah anak berbakat, atau orang tua yang matematikawan
Kurikulum standar hingga sekitar tahun kedua kuliah hampir semuanya berpusat pada komputasi hafalan, lalu tiba-tiba berubah menjadi soal terbuka dan pembuktian; sementara dunia tempat para matematikawan profesional hidup menuntut kemampuan menerapkan logika secara kreatif. Siswa yang mendapat paparan seperti ini sejak kecil jauh lebih mudah melewati transisi itu, dan juga lebih awal mengumpulkan aset karier matematika seperti makalah dan prestasi lomba
Orang tua lain mungkin tidak menyadarinya, tetapi OP menyediakan layanan yang sangat bernilai, sulit ditemukan di beberapa daerah, dan sebagian orang tua bersedia membayar mahal untuk itu
Saya bukannya buruk dalam matematika, tetapi juga tidak terlalu matang lebih awal; saya beberapa kali mewakili sekolah menengah pertama dalam kompetisi matematika regional, tetapi tidak meraih hasil berarti. Kalau dipikir kembali, rasanya agak aneh bahwa sama sekali tidak ada orang yang membantu saya bersiap
Dalam satu atau dua tahun terakhir saya makin memikirkan hal ini, dan memindahkan porsi cukup besar dari donasi saya ke program-program semacam math circle. Memang lebih sulit diverifikasi dibanding cause ala effective altruism sebelum longtermism, tetapi saya melihat pemikiran matematis seperti itu sangat bernilai dan sulit diperoleh tanpa program semacam ini
Saya teringat cerita bahwa ketika seorang siswa kelas 2 di Prancis ditanya berapa 2×3, ia hanya tahu sifat komutatif perkalian dan menjawab “3×2”
Jika ingin terlibat dalam math circle online sebagai orang tua atau calon instruktur, lihat https://theglobalmathcircle.org
Jeremy, penulis artikel ini, juga lulusan program pelatihannya
Permainan mesin fungsi saya coba setelah melihatnya di HN ketika anak saya berusia 6 tahun, dan ia sangat menyukainya
Saat ia mempelajari operasi matematika yang lebih lanjut, saya menambahkannya ke kotak alat, dan ketika kami bertukar peran lalu ia bisa menjawab pertanyaan saya dengan tepat, saya tahu ia sudah memahami konsep itu
Jika aktivitas seperti ini menarik minat Anda, ada juga beberapa opsi berbayar yang mirip, meski tidak banyak
Tim matematika sepulang sekolah untuk usia 7–11 tahun di San Francisco: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
Math circle sepulang sekolah di beberapa sekolah SFUSD: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
Organisasi nirlaba 501(c)(3) jarak jauh yang mengadakan sesi mingguan matematika kompetitif online untuk siswa SD dan SMP: https://mrmathonline.com/
Jika Anda mencari sesuatu di antara kelas dan circle, Engaging Math Circles(https://emc.school) atau Russian School of Math(RSM) juga layak dilihat
Jika ingin tahu lebih banyak tentang math circle, ada materi ini: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
Sebagai tambahan, saya bisa merekomendasikan Mammoth Math untuk anak-anak
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
Kelompok usianya berbeda, tetapi saya pernah berhasil menarik minat siswa SMA dengan memakai penambangan Bitcoin sebagai topik
Itu adalah aktivitas sekitar 15 menit setelah kuliah tentang blockchain dalam seminar kriptografi
Algoritma proof-of-work Bitcoin pada dasarnya mengubah input tengah dari hash agar hasilnya diawali beberapa angka 0 biner, yaitu mencari
xyang membuatsha256(sha256(a || x || b)) < H. Saya menyederhanakannya menjadix^2 % N < 10^H, mengizinkan penggunaan kalkulator dan komputer, serta membebaskan perubahanNdanHPara siswa sangat menikmatinya; menurut saya karena topiknya terasa lebih aktual daripada teka-teki lama, mereka bisa saling berkompetisi, imbalannya setengah acak sehingga tim yang cepat atau pintar punya keunggulan, hadiahnya “Bitcoin fisik” berupa koin cokelat, dan meski brute force saja hampir bisa menang, ada banyak jalan pintas yang bisa ditemukan
Sayang sekali konstruksi dengan penggaris dan jangka tidak berhasil menarik minat anak-anak.
Saat ini saya sedang mendigitalisasi terjemahan Ibrani dari Euclid's Elements, jadi saya berharap sisi fisiknya yang hampir seperti kelas seni akan lebih menarik daripada materi teoretisnya, dan karena terlepas dari angka, terasa tidak terlalu menakutkan dibanding kelas matematika biasa.
Saya melihat Euclid's Elements punya nilai pendidikan selain kepentingan historisnya, tetapi mungkin dugaan saya bahwa ini akan lebih menyenangkan bagi kebanyakan anak dalam konteks pendidikan keliru.
Jika ada anak yang tertarik pada olahraga tertentu, aktivitas menentukan siapa yang lebih baik menendang penalti berdasarkan jumlah gol dan tendangan meleset adalah cara yang bagus untuk mengajarkan aljabar linear. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' membahas berbagai metode penilaian dan pemeringkatan secara rinci, dan merupakan salah satu bacaan wajib di program magister sains data saya.
Namun saya tidak tahu apakah itu yang terbaik untuk belajar. Biasanya kuncinya adalah berinteraksi secara aktif dengan materi, misalnya mencoba konstruksi sendiri tanpa model, tetapi aturan yang efektif untuk anak-anak bisa saja berbeda.
Justru menyenangkan mendengar anak-anak tertarik pada logika proposisional, karena itu bisa menjadi dasar berpikir yang konsisten. Saya juga, seperti penulis, mengira mereka akan lebih menyukai aktivitas yang dikerjakan dengan tangan.
Apa sebenarnya motivasi awal dari konstruksi dengan penggaris dan jangka? Gagasan seperti kelengkapan, simetri, dan keterkonstruksian semuanya cukup abstrak.
https://www.euclidea.xyz/ memang menyenangkan, tetapi saya juga suka menggambar pola Girih dan saya bukan anak 8 tahun.
Untuk memperkenalkan Euclid kepada anak-anak dengan cara yang menyenangkan, saya ingat gim bernama Euclidea cukup bagus: https://www.euclidea.xyz/
Bukan karena sisi aksiomatiknya, melainkan karena pertanyaan yang mengguncang asumsi matematis seperti “berapa banyak garis lurus yang bisa digambar melalui dua titik? Terserah kamu!”, serta diagram-diagram yang menarik. Model bidang proyektif Fano dan model cakram Poincaré juga menarik, dan ada animasi serta perangkat lunak interaktif.
Meski begitu, setelah sekitar seminggu saya bosan. Satu sesi 2 jam yang didedikasikan untuk berbagai geometri dan konstruksi tampaknya cukup pas.
Geometri aksiomatik gaya Euclid's Elements menarik dan mungkin cocok untuk kurikulum SMA. Sebelum siswa belajar aljabar, sulit bagi mereka untuk benar-benar punya rasa bagaimana persamaan atau bukti diturunkan dari titik awal kecil, dan geometri koordinat jauh lebih praktis. Dengan penggaris dan jangka, ada hal-hal yang sejak awal memang mustahil dikonstruksi.
Progres level, sistem skor, dan cara membuka “alat” baru dengan memecahkan bukti semuanya sangat bagus.
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
Sebagai aktivitas untuk diajarkan kepada anak-anak dengan usia serupa, saya ingin menambahkan menghitung sampai 1000 dengan jari.
Bagi programmer ini terasa alami, tetapi ada unsur penting yang membantu pendidikan matematika.
Pertanyaan “Kamu bisa menghitung sampai 1000 dengan jari?” tampak seperti sulap atau kekuatan super bagi anak-anak, jadi mereka menikmatinya. Awalnya saya menunjukkan cara menghitung sampai sekitar 20, dan melewati 4 dan 6 dengan cepat. Lalu saya meminta mereka memprediksi susunan jari tertentu yang tidak terlihat, dan jika gagal, saya menunjukkannya lagi.
Setelah mereka memahami polanya, saya memberi kuis: berapa nilainya ketika semua jari terbuka. Biasanya mereka buntu, tetapi jika diberi petunjuk, “Kalau ada satu jari lagi, dan hanya jari itu yang terbuka sementara sisanya terlipat semua, itu berapa? Dari sini bisakah kamu mengetahui angka lainnya?”, hampir selalu mereka bisa memecahkannya meski butuh waktu.
Keindahannya adalah hambatan masuknya rendah. Anak hanya perlu bisa mengalikan dengan 2 dan tahu nama bilangan sampai 1024. Pada saat yang sama, ini bisa mengajarkan berbagai representasi, formalisasi yang sesuai tujuan, dan sensasi memperoleh “kekuatan super” dengan keluar dari ekspektasi orang biasa.
Teka-teki di atas juga menunjukkan bahwa menemukan pola bisa membuat pemecahan masalah lebih baik. Alih-alih pendekatan brute force dengan menjumlahkan nilai tiap jari, mereka bisa memakai titik acuan, karena posisi petunjuk hanya berbeda satu dari posisi yang diinginkan. Titik acuan adalah konsep yang sangat penting dalam matematika dan menjadi akar dari banyak solusi soal terkenal.
Jika masuk lebih dalam, ini juga bisa membahas pembuktian dan desain algoritme. Algoritmenya bisa dijelaskan seperti pembuktian induksi. Pada tahap awal, telapak tangan menghadap pengguna dan semua jari terlipat, lalu mulai dari kanan dan menaikkan jari paling kanan. Pada tahap ke-n, mulai dari ujung kanan: jika jarinya terlipat, buka; jika terbuka, lipat lalu naikkan jari kanan berikutnya secara rekursif dengan kondisi yang sama.
Untuk “permainan” apa pun, sebaiknya menjadikannya berpusat pada hal yang paling disukai anak. Jika anak kesulitan dalam satu permainan, gunakan permainan lain yang ia kuasai untuk mengajarkan permainan yang sulit. Pada akhirnya matematika adalah bahasa, dan banyak hal bisa diekspresikan ulang.
Saya melihat salah satu kesulitannya adalah banyak orang menginternalisasi matematika sebagai sesuatu yang terlalu kaku. Jika diajarkan sebagai “inilah cara yang benar” dan cara lain tidak diakui, kemampuan untuk menggeneralisasi konsep menjadi rendah. Soal cerita mencoba mengatasi ini, tetapi terasa seperti pendekatan brute force yang lebih mirip cara mengajar mesin daripada manusia.
Hal ini juga diperparah oleh kenyataan bahwa pada usia dini, banyak orang belajar dari orang yang tidak punya gairah terhadap matematika. Ketidakpedulian itu menular dari guru ke siswa. Banyak orang mungkin ingat betapa segarnya saat beruntung bertemu guru yang mencintai matematika dan mendorong sisi kreatifnya. Saya sendiri membenci matematika sampai bertemu kelas seperti itu di kelas 2 SMA, meskipun saya pandai matematika dan berada di kelas unggulan.
Tahun lalu saya mengajarkan SET bersama putri saya di kelas 1 SD-nya. Sebagian besar rancangan pengajarannya saya yang buat, tetapi anak-anak bisa mempelajarinya dan juga menunjukkan minat
Itu bukan lingkungan math circle, melainkan pelajaran untuk seluruh kelas; akan menarik untuk melihat apa perbedaannya
Ada banyak matematika yang bisa dilakukan dengan permainan ini. Mulai dari aritmetika modular sederhana, kita bisa membahas konsep mengabstraksikan atribut menjadi 0, 1, 2. Jika melangkah sedikit lebih jauh, kita juga bisa membicarakan teori grup dan bahwa permainan ini bersesuaian dengan
Z3^4, yaitu empat buahZ3Jika mereka tertarik pada teori grup, kita bisa mencetak dan mencoba permainan kartu serupa yang merepresentasikan grup lain, lalu membahas aksioma grup, bagaimana permainan merepresentasikan grup, dan mengapa itu masuk akal
Pemrograman juga bisa diperkenalkan sedikit. Dengan memanfaatkan sifat invarian dalam definisi himpunan, yaitu
sum c_i = 0untuk setiapi, kita bisa menjelaskan cara mengajari komputer memainkan permainan ini. Panjang permainan juga mudah digeneralisasi dengan menambah atau mengurangi karakteristik seperti warna latar kartuBagaimanapun, permainan ini memang terbaik
Setelah beberapa ronde, ia menemukan set secepat kami, tetapi kemampuan dan minatnya berubah-ubah tergantung apakah ia terdistraksi atau lelah
Jika Anda menginginkan permainan Set untuk dimainkan sendiri, ada versi open-source yang cukup bagus: https://playset.netlify.app/
Di sini, ‘AI’ mencari jawaban secara acak. Dalam mode mudah, setiap 2 detik ia memilih secara acak dua kartu yang terlihat, lalu memeriksa apakah kartu yang dibutuhkan untuk melengkapi set ada di layar
Jika anak baru pertama kali mengenal Set, mungkin sebaiknya jeda waktunya disesuaikan menjadi sekitar 5 detik. Tentu saja, Set lebih seru jika dimainkan melawan orang lain