- Teorema Pythagoras adalah salah satu proposisi paling terkenal dalam matematika, tetapi tidak ada bukti bahwa Pythagoras sendiri yang menemukannya atau membuktikannya, dan tablet tanah liat Babilonia menunjukkan asal-usul yang lebih tua
- Tablet tanah liat YBC 7289 dalam koleksi Babilonia milik Yale University berasal dari sekitar 1800–1600 SM, dan mencatat hubungan antara sisi dan diagonal persegi dengan angka basis-60
1;24,51,10pada tablet tersebut bernilai 1.414213 dalam desimal, yang merepresentasikan √2 secara akurat hingga lima angka di belakang koma dan menunjukkan kasus khusus dari rumus diagonal persegi- Mazhab Pythagoras adalah komunitas rahasia yang mempelajari matematika, filsafat, dan astronomi, dan karena adanya kebiasaan mengatribusikan penemuan kepada Pythagoras, kontribusi individual sulit dibedakan
- Dari Elements karya Euclid, kumpulan 371 pembuktian oleh Loomis, pembuktian Einstein pada usia 12 tahun dan penggunaannya dalam teori relativitas, hingga Teorema Terakhir Fermat dan pembuktian oleh Wiles, teorema ini menghubungkan sejarah matematika lintas zaman
Pythagoras dan nama teorema
- Teorema Pythagoras juga dikenal dengan berbagai nama seperti Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem, dan Euclid I 47
- Ini adalah salah satu proposisi paling terkenal dalam matematika, dan buku karya Elisha Scott Loomis yang terbit pada 1927 memuat 371 pembuktian
- Pembuktian tersebut mencakup pembuktian oleh Albert Einstein saat berusia 12 tahun, Leonardo da Vinci, dan Presiden Amerika Serikat James A. Garfield
- Pythagoras secara permanen dikaitkan dengan penemuan dan pembuktian teorema ini, tetapi tidak ada bukti bahwa ia sendiri yang menemukannya atau membuktikannya
- Ada bukti tablet tanah liat bahwa matematikawan Babilonia telah menemukan dan membuktikan teorema ini 1.000 tahun sebelum kelahiran Pythagoras
Pythagoras dan mazhab Pythagoras
- Pythagoras of Samos lahir di Samos sekitar 569 SM dan wafat sekitar 475 SM; para sejarawan pada umumnya menganggapnya sebagai matematikawan pertama
- Tidak ada tulisan Pythagoras sendiri yang tersisa, dan catatan tentang hidupnya sulit dipercaya karena bercampur antara rekaman yang ditulis ratusan tahun kemudian dan legenda
- Ia diyakini mendirikan sebuah sekolah bernama Semicircle of Pythagoras di dekat Crotone, di wilayah yang kini merupakan Italia selatan
- Sekolah ini memiliki sifat setengah religius dan setengah ilmiah serta mengikuti aturan kerahasiaan
- Mereka mempelajari matematika, filsafat, dan astronomi, dengan semboyan “Number Rules the Universe”
- Pengetahuan mazhab ini diwariskan secara lisan, dan penemuan para pengikutnya pun sering diatribusikan kepada Pythagoras
- Karena itu, nama “Pythagoras’ Theorem” mungkin muncul
- Karena pengelolaannya yang kolektivis, sulit memisahkan kontribusi nyata Pythagoras dari para pengikutnya
Tablet tanah liat Babilonia YBC 7289
- Mesopotamia adalah wilayah di antara Sungai Tigris dan Sungai Euphrates, dengan posisi geografis yang kira-kira sama dengan Iraq modern
- Peradaban Babilonia menonjol 4.000 tahun lalu, dan selama dua abad terakhir ribuan tablet tanah liat telah ditemukan
- Tablet-tablet ini menunjukkan peradaban unggul dalam pencatatan fenomena astronomi, seni, dan sastra
- Banyak tablet masih tersimpan di ruang bawah tanah museum, menunggu untuk diuraikan
- YBC 7289 adalah tablet tanah liat bernomor 7289 dalam Babylonian Collection milik Yale University
- Ini adalah materi dari periode Babilonia Lama sekitar 1800–1600 SM
- Di atasnya terukir persegi miring dan dua diagonal, serta angka-angka paku di bawah satu sisi dan diagonalnya
- Angka Babilonia menggunakan basis-60, dan hingga 59 bentuknya mirip dengan sistem desimal modern, tetapi tidak memiliki 0
- Satuan ditandai dengan cekungan vertikal berbentuk Y
- Puluhan ditandai dengan cekungan serupa yang diletakkan horizontal
√2 dan kasus khusus teorema Pythagoras
- Salah satu catatan pada tablet menunjukkan perhitungan untuk mencari lebar ketika panjang satu sisi 4 dan diagonal 5
4 × 4 = 165 × 5 = 2525 - 16 = 9- Karena
3 × 3 = 9, lebarnya adalah 3
- Pada salah satu sisi persegi di YBC 7289 tertulis 30
1;24,51,10di bawah diagonal menunjukkan nilai tempat basis-60 dalam notasi modern- Dalam desimal, ini adalah
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213 - Nilai ini merepresentasikan √2 secara akurat hingga 1 per 100.000
- Dalam desimal, ini adalah
- Tablet ini menunjukkan bahwa orang Babilonia mengetahui hubungan antara sisi dan diagonal persegi,
d = √2 × a - Karena itu, orang Babilonia telah mengenal teorema Pythagoras, atau setidaknya kasus khusus diagonal persegi
d² = a² + a² = 2a², lebih dari 1.000 tahun sebelum Pythagoras - Tablet tersebut juga menunjukkan bahwa orang Babilonia dapat menghitung akar kuadrat dengan tingkat ketelitian yang cukup tinggi
- Ada kemungkinan nilai sisi 30 dipilih karena merupakan angka yang nyaman dalam sistem basis-60
- Pembagian modern seperti 60 detik per menit, 60 menit per jam, dan 360 derajat dalam lingkaran juga terkait dengan basis-60 ini
Bentuk modern teorema dan Euclid
- Saat ini, teorema Pythagoras biasanya dipahami sebagai ekspresi aljabar
a² + b² = c² - Bagi Pythagoras, teorema ini adalah proposisi geometris tentang luas, dan bentuk aljabar yang akrab bagi kita baru mengakar sekitar tahun 1600 dengan munculnya aljabar modern
- Euclid of Alexandria adalah matematikawan Yunani yang aktif sekitar 300 SM dan dikenal sebagai “bapak geometri”
- Elements karya Euclid dinilai sebagai buku pelajaran paling sukses dalam sejarah matematika
- Terdiri dari 13 buku
- Memuat definisi, aksioma, proposisi, dan pembuktian
- Menurunkan prinsip-prinsip Euclidean Geometry dari himpunan aksioma kecil
- Dalam Elements, Euclid menyajikan dua pembuktian untuk teorema Pythagoras
- Book I, Proposition 47 bergantung pada hubungan luas dan sangat canggih
- Book VI, Proposition 31 didasarkan pada konsep proporsi dan lebih sederhana
- Book I, Proposition 47 juga disebut Euclid I 47, dan kemudian disebut sebagai teorema Pythagoras oleh Proclus dan yang lain
- Pembuktian pertama Euclid tidak mungkin merupakan pembuktian Pythagoras sendiri, karena tingkat geometri pada masa Pythagoras belum memungkinkan pendekatan seperti itu
- Jika menggunakan cara Book VI Proposition 31, pembuktiannya juga akan belum lengkap, karena teori proporsi yang utuh baru dikembangkan oleh Eudoxus hampir dua abad setelah Pythagoras
Klaim terkait Mesir dan piramida
- Bangsa Mesir kuno adalah peradaban yang terkonsentrasi di wilayah tengah dan hilir Sungai Nile, sekitar 500 mil di barat daya Mesopotamia
- Mesir dan Babilonia hidup berdampingan relatif damai selama lebih dari 3.000 tahun, dari sekitar 3500 SM hingga era Yunani
- Tidak ada bukti bahwa orang Mesir mengetahui teorema Pythagoras dan menggunakannya untuk membangun piramida
- Ada lebih dari 100 piramida di Mesir, dan sebagian besar dibangun sebagai makam Pharaoh
Loomis dan 371 pembuktian
- Elisha Scott Loomis adalah guru matematika asal Ohio yang sepanjang hidupnya mengumpulkan pembuktian teorema Pythagoras yang diketahui
- The Pythagorean Proposition karya Loomis adalah buku yang mengumpulkan 371 pembuktian
- Naskahnya disiapkan pada 1907
- Diterbitkan pada 1927
- Edisi kedua yang direvisi terbit pada 1940
- Pada 1968, National Council of Teachers of Mathematics menerbitkannya kembali dalam seri “Classics in Mathematics Education”
- Setelah buku itu terbit, Loomis menerima ratusan pembuktian baru hingga wafat, tetapi tidak sempat terus memperbarui kumpulannya
- Jumlah pembuktian yang tepat tidak benar-benar pasti
- Para geometer pun kesulitan menentukan pembuktian mana yang sungguh berbeda satu sama lain
Einstein dan teori relativitas
- Albert Einstein mengenang dalam autobiografinya bahwa ia sangat terkesan ketika menemukan buku geometri bidang Euclid sekitar usia 12 tahun
- Einstein menyatakan bahwa ia membuat sebuah “proof” teorema Pythagoras berdasarkan kesebangunan segitiga
- Ia sendiri memberi tanda kutip pada kata “proof”
- Pembuktian ini elegan dan sederhana, serta menunjukkan keterkaitan inti antara panjang dan luas dalam teorema tersebut
- Kelak Einstein menggunakan teorema Pythagoras dalam bentuk empat dimensi dalam teori relativitas khusus
dx² + dy² + dz² = (c dt)²menghubungkan jarakc dtyang ditempuh cahaya selama waktudtdengan diferensial tiga koordinat ruang- Persamaan metrik ini dapat dipandang sebagai teorema Pythagoras yang diterapkan pada diferensial koordinat
- Dalam relativitas umum, sifat geometris ruang ditentukan oleh materi, dan dijelaskan bahwa konsep “empty space” kehilangan maknanya
- Kutipan terkait relativitas menjelaskan bahwa energi, momentum, dan massa dihubungkan secara grafis oleh teorema Pythagoras
Teorema Terakhir Fermat dan Wiles
- Pierre de Fermat pada abad ke-17 meneliti masalah solusi bilangan bulat berbentuk
xⁿ + yⁿ = zⁿ - Ketika
n = 2, solusi bilangan bulat memang ada menurut teorema Pythagoras - Fermat menduga bahwa ketika
n > 2, tidak ada solusi bilangan bulat tak nol untukx,y,z, tetapi ia tidak meninggalkan pembuktiannya- Ia menulis di pinggir Arithmetica karya Diophantus bahwa ia mengetahui pembuktiannya, tetapi tidak punya cukup ruang untuk menuliskannya
- Proposisi ini dikenal sebagai Fermat’s Last Theorem
- Andrew Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat yang telah berusia 350 tahun pada 1993, dan berita ini dimuat di halaman depan New York Times
- Wiles pertama kali mengenal Teorema Terakhir Fermat saat berusia 10 tahun, lalu meneliti teori bilangan sebagai profesor di Princeton University
- Hasil terkenal Wiles menunjukkan bahwa setiap rational semi-stable elliptic curve adalah modular, dan hal itu mengimplikasikan Teorema Terakhir Fermat
- Shimura–Taniyama–Weil conjecture adalah proposisi bahwa semua rational elliptic curve adalah modular; proposisi penuhnya dibuktikan oleh Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, dan Richard Taylor pada 1998
Teorema yang terhubung ke sejarah matematika 4.000 tahun
- Teorema Pythagoras menyandang nama Pythagoras, tetapi tablet tanah liat Babilonia menunjukkan perhitungan dan pengetahuan yang jauh lebih awal
- Euclid menempatkan teorema ini dalam sistem geometri logis, dan Elements tetap menjadi dasar sistem pembuktian ketat dalam matematika bahkan 23 abad kemudian
- Dari kumpulan pembuktian Loomis, pembuktian Einstein di masa kecil dan penggunaannya dalam teori relativitas, hingga pembuktian Wiles atas teorema Fermat, teorema ini menghubungkan para matematikawan dari berbagai zaman
- Setiap tahun, pelajar, cendekiawan, dan pemecah masalah berusaha menambahkan pembuktian baru yang orisinal, sehingga teorema Pythagoras tetap menjadi tema matematika yang tak pernah usai
1 komentar
Opini Hacker News
Pythagoras dikenal terutama sebagai sosok yang menghimpun kebijaksanaan dari berbagai budaya.
Menurut tradisi, ia bertemu Thales, diinisiasi sebagai imam Mesir di Hermopolis, menghabiskan waktu di Babylon setelah ditawan, dan masuk ke semua agama misteri yang mungkin. Di kampung halamannya, Samos, kemungkinan besar ia menyaksikan pembangunan Kuil Hera, kuil batu terbesar di Yunani kuno, serta pencapaian rekayasa yang menakjubkan berupa Terowongan Eupalinos.
“Kehidupan Pythagoras” karya Iamblichus[1] layak dibaca karena merupakan karya yang saat itu masih dapat mengakses sumber-sumber lama yang kini telah hilang. Pada masa itu, hubungan antara matematika dan spiritualitas sangat kuat.
Ada banyak anekdot menarik yang mungkin benar, tetapi selamanya tidak bisa dipastikan. Dalam “Kehidupan Para Filsuf” karya Diogenes Laertius disebutkan bahwa ketika Pythagoras menemukan apa yang kini kita sebut teorema Pythagoras, ia mempersembahkan 100 ekor sapi, yaitu hecatomb[1]. Seperti kata Charles Dodgson, alias Lewis Carroll, “itu pasti menghasilkan daging dalam jumlah yang sulit ditangani”[3], apalagi jika ia seorang vegetarian. Sementara itu, Iamblichus mengatakan hanya satu ekor sapi, dan itu pun sapi yang terbuat dari tepung.
[1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
[2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
[3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press
Namun Hippasus, salah satu anggota kelompok itu, menunjukkan dengan meyakinkan bahwa √2 tidak mungkin menjadi bilangan rasional. Konon Pythagoras mencoba membuatnya bersumpah untuk diam, dan ketika itu gagal, ia membunuhnya. Gara-gara √2.
[1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
Dalam teks-teks kuno juga disebutkan bahwa Plato bepergian ke Mesir dan Italia, tetapi setahu saya para sarjana modern umumnya meragukan apakah perjalanan seperti itu benar-benar terjadi.
Salah satu hal yang ia sukai adalah menggali terowongan di bawah rumahnya, dan ia mengatakan bahwa saat bekerja di terowongan, “kunjungan para elf” adalah rahasia keberhasilannya. Konon ia berkata, “kalau sedang menggali terowongan, para elf sering membawakan jawaban untuk suatu masalah”[0].
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
Contohnya termasuk transhumanisme, rasionalisme ala Yudkowsky yang diekstrapolasi secara absurd (Basilisk, dll.), hipotesis simulasi, dan soteriologi kecerdasan buatan umum.
Saya penasaran bagaimana kita bisa melestarikan informasi digital selama ribuan tahun.
Kelompok mana pun yang mampu membangun gedung dengan fondasi persegi panjang pasti akan menemukan hubungan antara panjang sisi dan diagonal. Orang Mesir sudah menggunakan tripel bilangan Pythagoras untuk mengukur sudut siku-siku jauh sebelum Pythagoras lahir.
Namun itu adalah pengamatan, bukan teorema. Ia menjadi teorema ketika dibuktikan, yaitu dijelaskan mengapa hubungan itu selalu berlaku berdasarkan hal-hal yang lebih jelas. Lempeng tanah liat Babylonian yang disebut dalam tulisan itu tampaknya tidak melakukan hal tersebut, tetapi orang Yunani jelas melakukannya. Apakah Pythagoras sendiri yang melakukannya tidak bisa diketahui karena tidak ada karya tulisnya yang tersisa, tetapi orang Yunani kemudian tahu cara membuktikannya dan mengatribusikannya kepada Pythagoras.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
Meski begitu, saya setuju dengan paragraf kedua. Ada perbedaan besar antara sesuatu yang diwariskan sebagai prosedur “beginilah cara memperkirakan proyek bangunan” dan teorema yang dinyatakan sebagai kebenaran universal sekaligus dasar bagi berbagai teorema lain. Itu tetap berlaku meskipun keduanya mengatakan hal yang persis sama.
Pada dasarnya itu kelas berisi slideshow perjalanan Eropa sang profesor dan foto-foto situs kuno. Lalu ia menunjukkan gambar garis dari struktur-struktur itu, kadang memilih titik-titik yang tampak acak untuk membentuk segitiga 3-4-5. Setelah itu ia berseru, “Lihat? Mereka sudah tahu teorema Pythagoras sebelum Pythagoras!”
Satu-satunya tugas yang dinilai adalah menulis makalah yang “menemukan” contoh serupa. Saya memilih foto gereja kuno sembarang, “menemukan” segitiga siku-siku pada fondasinya, dan mendapat A. Jelas itu cuma pengamatan, bukan teorema.
Dengan menaksir pakai mata lalu memotong khusus bagian yang diperlukan, orang bisa melangkah cukup jauh.
Jadi saya mengira pembuktian yang benar baru muncul setelah aljabar, atau mungkin trigonometri, ditemukan.
Ini penjelasan bagi yang penasaran bagaimana pendekatan √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 diperoleh.
Intinya sederhana.
Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
=> (2a+b) b < Z-a^2
Dengan nilai tebakan awal “a”, cari “b” terbesar yang membuat suku di kiri lebih kecil daripada suku di kanan. Dengan begitu tebakan selalu sedikit lebih kecil dari jawaban sebenarnya, dan proses ini bisa diulang untuk mendekatinya sedikit demi sedikit.
Pada iterasi pertama, Z=2 dan a=1. Jika b=x/60, maka
(2+x/60)*x/60 < 2-1^2
120x + x^2 < 3600
x = 24 ... 3456 < 3600
x = 25 ... 3625 > 3600
Jadi suku pertama adalah 24/60.
Jika diulang dengan a=1+24/60 dan b=x/60^2, maka
(2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
10080x+x^2 < 518_400
x = 51 ... 516_681 < 518_400
x = 52 ... 526_864 > 518_400
Tinggal ulangi beberapa kali.
Jika ditulis sebagai kode, dengan mudah bisa diperoleh 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951.
Seluruh proses ini bisa diformalkan sebagai algoritma pembagian panjang untuk akar kuadrat, dan juga bekerja cukup rapi dalam basis 10.
Yang diperhatikan orang-orang pada masa itu bukanlah rumusnya sendiri. Rumus itu sudah diketahui secara empiris selama berabad-abad.
Yang mengejutkan adalah bahwa ia pertama kali membuktikan bahwa untuk “sebagian besar” segitiga siku-siku, tidak ada bilangan rasional P, Q yang membuat PA = QC untuk satu sisi A dan hipotenusa C. Itulah bagian yang mengguncang cara pandang.
Rasanya cocok saja bahwa “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing” yang kini sudah tidak terbit memberi judul clickbait yang menyesatkan pada tulisan yang sepenuhnya keluar topik dan kualitasnya tampak sangat rendah.
Mungkin itu pendahulu dari karya-karya aneh berbasis optimisasi pencarian masa kini yang disponsori Springer.
Mencampuradukkan perhitungan dan pembuktian adalah kesalahan yang tidak bisa diterima untuk jurnal akademik serius.
Hampir tidak diragukan bahwa pembuktian teorema adalah alat kognitif yang berkembang dari pola keteraturan yang diamati. Namun bertanya “mengapa?”, dan yang lebih penting, menjawabnya dengan logika, adalah perkembangan yang sama sekali tidak sepele.
Budaya arus utama, dulu maupun sekarang, selalu terpikat pada Yunani Kuno
Budaya Barat menjadikan akar kosakata ilmiahnya berasal dari bahasa Yunani Kuno
Ia juga memiliki silsilah filsafat yang berlanjut dari Yunani Kuno hingga abad ke-19
Baru pada abad ke-19, melalui arkeologi—yang juga merupakan neologisme yang dibentuk dari akar kata Yunani Kuno, sehingga seolah mengisyaratkan kepada arus utama bahwa orang Yunani Kuno memiliki konsep arkeologi, padahal tentu saja tidak—kita mulai melihat kebenarannya. Sejarah jauh lebih dalam ribuan tahun, dan asal-usul segala sesuatu jauh lebih tua ribuan tahun
Ibu kota Hattuša baru ditemukan 30 tahun lalu, dan pemahaman tentang berbagai lapisan kota historis Troy juga baru muncul pada abad ke-20
Kita baru belakangan ini memahami fakta bahwa “semuanya tidak dimulai dari Yunani Kuno”, tetapi arus utama masih mengikuti tradisi sekolah tata bahasa abad pertengahan dan tidak melihat melampaui Yunani Kuno
Saya memahaminya begini: alasan “garis penghubung” perkembangan sains modern dimulai dari Yunani adalah karena dari sanalah sejarah tertulis yang mudah dibaca oleh para sarjana modern bermula
Kita selalu tahu bahwa semuanya tidak dimulai dari Yunani Kuno. Orang Yunani sendiri pun mengatakan demikian. Namun karena tidak ada sumber primer yang melimpah dari masa sebelum Yunani Kuno, tidak banyak yang bisa kita lakukan selain menyalakan lilin untuk mereka dan membaca gagasan-gagasan yang tersaring melalui Plato dan lain-lain dalam cahaya itu
Tentu saja mereka juga menjatuhkan hukuman mati kepada beberapa pemikir bebas karena tidak menyembah para dewa, tetapi itu persoalan lain
Orang Mesir Kuno dan orang Mesopotamia pun memiliki konsep arkeologi, jadi mengapa orang Yunani tidak?
Artikel tersebut mengklaim bahwa orang Babylonian “menemukan” teorema Pythagoras, tetapi yang benar-benar ditunjukkannya hanyalah kemungkinan bahwa mereka meyakini teorema itu benar
Sampai ada bukti yang lebih baik, setidaknya di “Barat”—saya tidak begitu tahu soal matematika Tiongkok—tampaknya pihak yang pertama kali menciptakan konsep pembuktian matematis yang valid secara deduktif, bukan induktif, tetap orang Yunani
Ini masalah penerbitan massal
Orang biasanya secara keliru mengaitkan penemuan bukan kepada orang yang pertama kali menemukannya, melainkan kepada orang yang mampu menyampaikan atau menerbitkannya paling luas
Pada zaman kuno, ini masalah yang sangat sulit
Pengetahuan sering kali diwariskan secara lisan, bukan tertulis
Kalaupun ditulis, bahan yang digunakan kemungkinan besar sudah lama terkorosi
Karena itu, sebagian besar pemikiran kuno yang kita ketahui didasarkan pada pengetahuan yang begitu luas dikenal dan banyak dicatat hingga banyak salinannya tersisa, atau pengetahuan yang dicatat pada bahan keras seperti batu, seperti hieroglif Mesir. Namun itu bukan berarti orang-orang kuno itulah yang pertama mengetahuinya; itu hanya berarti catatan tertulis dari pengetahuan tertentu itulah yang paling lama bertahan menghadapi ujian waktu
Pernah ada diskusi di HN 7 tahun lalu tentang pembuktian paralel yang ditemukan dalam buku Tiongkok berusia 2600 tahun
https://news.ycombinator.com/item?id=13952265
Setahu saya, di Tiongkok hal ini sudah diketahui setidaknya sebelum Pythagoras
https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing