- Karena tidak mungkin memilih secara seragam dari seluruh bilangan asli, “bilangan bulat acak” didefinisikan dengan cara memilih secara seragam dari 1 hingga N, lalu melihat limit saat N → ∞
- Dalam Those Fascinating Numbers disebutkan bahwa probabilitas faktor prima kedua dari bilangan bulat acak lebih kecil dari 37 kira-kira 1/2, dan hal ini dikonfirmasi lewat perhitungan densitas serta eksperimen
- Karena bilangan prima kecil sering muncul sebagai faktor prima kecil dari bilangan bulat, muncul intuisi bahwa bilangan sekecil 37 bisa menjadi median
- Metode De Koninck dan Tenenbaum menghitung λ₂(p) dengan mengombinasikan syarat keterbagian oleh bilangan prima tertentu, mirip Sieve of Eratosthenes
- Jika λ₂(p) dijumlahkan untuk tiap bilangan prima, densitas kumulatif mencapai sekitar 0,5002 pada 37, sangat dekat juga dengan nilai perhitungan langsung 0,5002501 untuk N=10⁷
Asal-usul angka 37
- Dalam pengantar Those Fascinating Numbers, ada kalimat bahwa 37 adalah median faktor prima kedua dari bilangan bulat
- Maksudnya, probabilitas bahwa faktor prima kedua dari bilangan bulat yang dipilih secara acak lebih kecil dari 37 kira-kira 1/2
- Awalnya 37 tampak terlalu kecil untuk dipercaya, tetapi menjadi masuk akal jika mengingat bahwa bilangan prima kecil sering muncul sebagai faktor prima kecil dari bilangan bulat
- Misalnya, sekitar setengah dari bilangan bulat memiliki 2 sebagai faktor prima terkecilnya
- Tujuannya adalah menguji fakta ini secara langsung dan menghitung mengapa 37 muncul, berdasarkan makalah De Koninck dan Tenenbaum
Cara mendefinisikan “bilangan bulat acak”
- Tidak ada distribusi seragam pada seluruh bilangan asli, jadi terlebih dahulu tetapkan sebuah bilangan besar N
- Pilih satu bilangan bulat secara acak dari 1 hingga N, lalu lihat limit probabilitasnya saat N → ∞
- Ketika N kecil, faktor prima kedua dari tiap bilangan bulat dapat dicari langsung untuk memeriksa median
- Jika dijalankan dengan N=10⁷, nilai pendekatan probabilitas kumulatif yang diperoleh adalah 0,5002501
- Di SageCell online, faktorisasi sebesar ini bisa memakan waktu lama dan terkena timeout, sehingga perlu dijalankan secara lokal
λ₂(p): densitas bahwa p adalah faktor prima kedua
- Makalah De Koninck dan Tenenbaum, Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier, menetapkan densitas bilangan bulat yang menjadikan p sebagai faktor prima kedua sebagai λ₂(p)
- Inti perhitungannya adalah menghitung densitas dengan mengombinasikan apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan prima tertentu, mirip Sieve of Eratosthenes
- Untuk kasus ketika faktor prima kedua adalah 5, hanya ada dua kemungkinan
2^a 3^0 5^b ...: bilangan yang merupakan kelipatan 2 dan 5, tetapi bukan kelipatan 32^0 3^a 5^b ...: bilangan yang merupakan kelipatan 3 dan 5, tetapi bukan kelipatan 2
- Densitas kasus pertama adalah
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 - Densitas kasus kedua adalah
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 - Karena kedua himpunan ini tidak saling tumpang tindih, keduanya dapat dijumlahkan, sehingga densitas bilangan bulat yang faktor prima keduanya adalah 5 menjadi 1/10
Rumus untuk bilangan prima umum p
- Agar p menjadi faktor prima terkecil kedua, salah satu bilangan prima q yang lebih kecil dari p harus muncul, dan bilangan prima r yang lebih kecil dari p selain q dan p tidak boleh muncul
- Syarat ini dinyatakan dalam bentuk faktorisasi prima berikut
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- Dengan menghitung densitas untuk tiap q < p lalu menjumlahkannya, diperoleh rumus berikut
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- Persamaan yang sama dapat disusun ulang sebagai berikut
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]
Perhitungan yang menjadikan 37 sebagai median
- Bilangan prima (p^) yang dicari adalah titik ketika jumlah densitas bahwa faktor prima kedua bernilai paling besar (p^) kira-kira menjadi 1/2
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- Jika λ₂(p) diimplementasikan dan dijumlahkan untuk tiap bilangan prima, densitas kumulatif mencapai sekitar 1/2 pada 37
- Densitas harapan aktual yang dihitung adalah sekitar 0,5002
- Nilai 0,5002501 yang diperoleh dalam eksperimen berbasis faktorisasi langsung saat N=10⁷ juga sangat dekat dengan nilai ini
Perluasan ke faktor prima ke-k
- Rumus umum untuk densitas λₖ(p) bahwa faktor prima ke-k adalah p adalah sebagai berikut
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]
- Di sini, (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}), dan penjumlahannya diambil atas m yang memiliki tepat j faktor prima, dengan semua faktor prima tersebut lebih kecil dari p
- Bentuk asimtotik untuk median faktor prima ke-k (p_k^*) adalah sebagai berikut
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]
- Di sini, b adalah nilai berikut
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]
- (\gamma) adalah Euler-Mascheroni Constant
1 komentar
Komentar di Hacker News
Ini bukan berarti ada sesuatu yang secara khusus menarik pada 37 itu sendiri.
Justru fakta yang menarik adalah bahwa di sini median yang hingga itu ada. Begitu itu berlaku, karena median didefinisikan sebagai elemen dari daftar, nilainya pasti salah satu bilangan prima. Di daftar ini kebetulan saja 37; bisa saja nilai lain.
Agar 37 benar-benar menjadi menarik, definisinya harus dilonggarkan sehingga median boleh bernilai di luar himpunan, tetapi limitnya tetap konvergen ke 37. Kalau begitu, itu cukup mengejutkan.
Nilai yang lebih kecil dari 37 hanya sekitar 49,061%, dan nilai yang lebih besar dari 37 hanya sekitar 49,975%. Setelah suatu titik, untuk N genap, selalu ada dua angka 37 di kedua sisi titik 50%, sehingga mediannya tepat 37, bukan nilai lain. Penjelasan lebih panjang saya tulis di komentar lain [0].
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
Keberadaan median mengisyaratkan bahwa semua persentil lain juga mungkin punya limit. Lebih jauh lagi, untuk bilangan apa pun, bisa saja ada proporsi limit dari bilangan bulat yang faktor prima keduanya lebih besar daripada bilangan itu, dan pada 37 proporsi itu kebetulan 0,5.
Saya suka karena tulisan ini menjelaskan dengan sangat jelas jawaban atas pertanyaan yang pertama kali muncul di benak: “Bagaimana mungkin membuktikan ini?”
Menariknya, 37 juga muncul dalam masalah penghentian optimal / masalah sekretaris.
Secara kebetulan, 37 juga merupakan bilangan prima tak reguler pertama. Ini terkait dengan mengapa Teorema Terakhir Fermat sulit.
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
Dikatakan bahwa “bilangan yang bilangan prima keduanya 2 adalah 0,000000000000000”, tetapi apakah judulnya tetap benar meski tidak secara eksplisit menyebut tanpa duplikasi?
Sebab jika notasinya dibuat sepenuhnya eksplisit dalam bahasa Inggris, biasanya jadi bertele-tele. Kalau ditulis “bilangan prima kedua tanpa duplikasi”, seseorang bisa saja mengatakan bukankah juga harus ditulis “terkecil kedua” atau “dalam urutan menaik”. Dalam makalah, istilah seperti ini biasanya didefinisikan secara formal bersama notasi matematika yang lebih tepat, meski tidak sepenuhnya presisi.
Ini bukan untuk mencari-cari kesalahan, tetapi karena dalam matematika, membuat orang menyimpulkan bagian yang “tak terlihat” alih-alih memaksa semuanya dituliskan satu per satu sangat meningkatkan kegunaan pembukti teorema. Presentasi terkait dari Andrej Bauer bagus: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
Saya penasaran apakah ada teorema atau hasil menarik di ranah fungsi-L atau bentuk modular yang mencakup hasil ini.
Saya sedang mempelajarinya belakangan ini dan topiknya menarik.
Saya mengetahuinya saat menonton video https://www.peakmath.org/quest-for-f1, dan http://lmfdb.org juga layak dijelajahi.
Menurut saya fakta ini membuat 37 cukup menarik.
Setidaknya jelas lebih menarik daripada 31.
31 juga prima, jadi agak menarik, tetapi tidak semenarik 37 yang, seperti baru saja kita pelajari, merupakan median faktor prima kedua dari bilangan bulat.
Adakah kandidat bilangan bulat yang lebih menarik? Dan apakah ada bilangan yang bisa disebut bilangan bulat paling menarik?
Masing-masing adalah versi big-endian dan little-endian dari string ASCII “the most interesting”.
Menarik bahwa bilangan prima tak reguler mencakup sekitar 41% dari semua bilangan prima, tetapi yang pertama baru muncul selambat ini. Referensi: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
Bilangan prima mana yang paling menarik bergantung pada apa yang dianggap lebih menarik. Kalau suka median faktor prima kedua, 37 yang terbaik; kalau suka bilangan prima tak reguler pertama, 37 juga yang terbaik. Pada akhirnya ini soal sudut pandang.
Alasan lain 37 bagus adalah karena berakhiran 7 sehingga ketika seseorang diminta menyebut satu angka, ia “terdengar acak”, dan lebih baik daripada 27 karena merupakan bilangan prima. 7 terlalu rendah dan 17 punya nuansa sial. Namun 37 juga angka yang cukup menakutkan. Karena sekadar prima saja sudah cukup tidak teratur, apalagi juga bilangan prima tak reguler.
Karena itu sistem waktu dan trigonometri mungkin berbasis 60. 360 = 6*60, dan 360 punya 24 pembagi.
Mengejutkan bahwa buktinya sesederhana ini. 37 menjadi bilangan prima favorit baru saya.
Saya penasaran seperti apa laju pertumbuhan nilai rata-rata faktor prima kedua. Sepertinya akan tumbuh tanpa batas, tetapi mungkin cukup lambat.
Sepanjang hidup saya terpaku pada angka ini. Setiap melihat jam, setiap melihat pelat nomor mobil di depan, rasanya saya melihat 37.
Ada juga hal-hal acak yang terkait, seperti Channel 37: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37