Kemampuan Fisika Menciptakan Matematika Baru

• Matematika telah lama digunakan sebagai bahasa fisika, tetapi kini intuisi fisika juga berfungsi sebagai sumber yang membuka masalah-masalah sulit matematika dan struktur-struktur baru
• Fisikawan tidak terlalu terikat pada pembuktian ketat dibanding eksplorasi cepat, sehingga mereka dapat lebih dahulu menemukan konsep dan keterkaitan baru yang kemudian diverifikasi oleh matematikawan
• Teori string, melalui manifold Calabi-Yau, K3 surface, dan M-theory, melahirkan hubungan tak terduga antara geometri aljabar dengan topologi diferensial, teori grup, dan topologi
• Bahkan teori fisika yang sudah ditinggalkan dapat bertahan lama dalam matematika; vortex theory milik Lord Kelvin telah lenyap, tetapi matematikanya berlanjut pada perkembangan teori simpul dan pemahaman molekul yang saling terlilit seperti DNA
• Dalam persoalan besar seperti Langlands program, Riemann hypothesis, dan Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, semakin rendah batas antara fisika dan matematika, semakin besar kemungkinan munculnya terobosan baru

---

Pembalikan arus ketika matematika dulu membantu fisika

• Albert Einstein menganggap dalam relativitas umum tahun 1915, fakta bahwa matematika murni yang sudah lebih dulu berkembang setengah abad ternyata secara tepat menjelaskan struktur ruang-waktu sebagai “kemenangan sejati” matematika
• Matematika pada awalnya diciptakan untuk pengukuran, perhitungan, dan memahami dunia fisik, dan bangsa Sumeria di Mesopotamia meninggalkan lempeng tanah liat berisi tabel perkalian untuk menghitung barang dan harta
• Setelah itu, matematika yang semula menjadi alat bagi pemerintahan dan perdagangan berkembang ke ranah abstraksi tingkat tinggi, sambil terus menopang terobosan besar dalam fisika
• Belakangan arah ini berbalik, dan hukum serta pola fisika justru menggerakkan bidang-bidang matematika yang lama mengalami kebuntuan

Cara fisikawan menyusuri lanskap matematika

• Timothy Gowers menilai fisikawan tidak terlalu terikat pada pembuktian ketat seperti matematikawan, sehingga dapat menjelajahi lanskap matematika lebih cepat
• Jika matematikawan mengukur secara mendalam suatu wilayah kecil, fisikawan dapat dengan cepat menyapu wilayah luas yang belum dipetakan dan lebih dahulu menemukan konsep atau relasi yang kuat
• Setelah itu, matematikawan kembali ke penemuan tersebut untuk mencoba membuktikan atau membantahnya
• Pola seperti ini telah berulang sejak lama
  • Archimedes menulis bahwa hukum mekanika memimpin pada penemuan matematika yang penting
  • Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan kalkulus saat berusaha memahami gerak benda jatuh

Keterputusan di pertengahan abad ke-20 dan jembatan Michael Atiyah

• Pada pertengahan abad ke-20, aliran matematika baru dari fisika hampir mengering, dan baik matematikawan maupun fisikawan sama-sama tidak terlalu tertarik pada wilayah satu sama lain
• Di matematika, Bourbaki group berusaha membuat matematika setepat mungkin dan membangun ulang berbagai bidang dari awal
• Di fisika, gagasan seperti Standard Model berkembang, tetapi bagi banyak fisikawan matematika hanyalah alat yang praktis, dan mereka tidak terlalu tertarik pada pandangan matematika ketat ala Bourbaki
• Michael Atiyah sejak pertengahan 1970-an melihat fisika teoretis sebagai sumber paling menjanjikan bagi ide-ide baru dan mendorong interaksi kedua bidang
  • Menangani persoalan matematika yang diajukan fisikawan
  • Membuktikan hasil matematika murni dengan ide-ide fisika
  • Menyampaikan bagian penting matematika modern yang tidak akrab bagi fisikawan

Keterkaitan matematis yang diciptakan teori string

• Edward Witten menjadi kolaborator jangka panjang Atiyah setelah bertemu pada 1977, lalu menjadi pelopor teori string
• Teori string adalah gagasan bahwa unsur dasar alam semesta bukan partikel dalam Standard Model, melainkan string kecil satu dimensi yang bergetar
• Dalam fisika, teori ini masih belum menjadi “theory of everything”, tetapi telah meninggalkan pengaruh besar pada bidang matematika abstrak seperti geometri aljabar dan topologi diferensial
• Witten dan teoris string lain menghasilkan dugaan presisi yang kemudian dibuktikan oleh matematikawan

• Manifold Calabi-Yau dan geometri enumeratif

  • Pada 1991 Philip Candelas, Xenia de la Ossa, dan rekan-rekannya menerapkan teori string pada persoalan lama dalam geometri enumeratif
  • Geometri enumeratif adalah cabang matematika yang menghitung berapa banyak solusi suatu persoalan geometri
  • Bidang ini membahas pertanyaan seperti: hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik pada bidang, dan ada delapan lingkaran yang menyinggung tiga lingkaran yang diberikan
  • Mereka menggunakan alat teori string untuk menangani persoalan menghitung jumlah kurva tertentu di dalam manifold Calabi-Yau
  • Hasilnya menghubungkan symplectic geometry dan complex geometry, yang selama puluhan tahun dipelajari matematikawan secara terpisah
  • Ketika dua bidang yang dianggap tidak berhubungan ternyata saling terhubung, alat dari satu sisi bisa dipakai untuk memecahkan masalah di sisi lain, dan itu dianggap hasil yang mendalam dalam matematika

• M-theory dan duality

  • Pada 1995 Witten mengusulkan bahwa lima teori string yang masing-masing menuntut 10 dimensi sebenarnya merupakan sisi-sisi berbeda dari satu konsep 11 dimensi, yaitu M-theory
  • M-theory masih belum terbukti, tetapi proses melacak korespondensi antar teori yang berbeda menghasilkan penemuan matematika yang mengejutkan
  • Yang-Hui He menilai teori string memberi matematikawan struktur baru dengan cara yang belum pernah terjadi sebelumnya

K3 surface dan struktur matematika yang tak terduga

• Yang-Hui He dan Federico Carta menemukan relasi baru ketika meneliti K3 surface, manifold Calabi-Yau yang paling sederhana
• Relasi ini muncul antara homotopy groups, yang digunakan untuk mengklasifikasikan bentuk dalam topologi, dan grup simetri Matthieu 24
• Ini menyingkap keterkaitan tak terduga bahkan antara bidang-bidang matematika murni yang berbeda, yaitu topologi dan teori grup
• He berpendapat bahwa meskipun pola dan struktur yang bisa diteliti matematikawan jumlahnya tak terbatas, hal-hal yang muncul dari realitas adalah objek yang pada tingkat tertentu masih dapat dipahami secara intuitif
• Nigel Hitchin juga menilai bahwa riset matematika tidak berjalan di ruang hampa; ide baru perlu mengembun di sekitar semacam rasa akan realitas, atau rasa realitas milik seseorang

Ketika fisika “buruk” melahirkan matematika yang baik

• Fisika dapat memberi motivasi yang lebih kuat dan fokus eksplorasi bagi matematika
• Jika ada intuisi tentang bagaimana dunia nyata seharusnya bekerja dan seperti apa titik akhir yang masuk akal, matematikawan dapat bergerak lebih cepat dalam suatu masalah
• Dalam kerangka ini, teori fisika yang sudah ditinggalkan pun bisa menghasilkan matematika yang baik
• Vortex theory dari William Thomson, atau Lord Kelvin, memandang atom sebagai cincin berputar yang terikat rumit, dengan tiap simpul dipetakan ke unsur kimia
• Teori ini dibuang setelah penemuan elektron, tetapi matematikanya mengarah pada perkembangan teori simpul
  • Teori simpul menjadi bidang riset yang kaya dalam matematika murni
  • Ia juga memiliki aplikasi tak terduga dalam dinamika fluida dan pemahaman molekul yang terlilit seperti DNA

Otak manusia, dunia fisik, dan keindahan matematika

• Atiyah mengaitkan hubungan antara fisika dan matematika dengan evolusi otak manusia
• Manusia adalah hasil evolusi yang panjang, dan otak yang kuat memberi keuntungan untuk bertahan hidup dan berhasil di dunia fisik
• Otak manusia berevolusi untuk memecahkan masalah fisik, dan dari sini muncul tafsir bahwa manusia harus mengembangkan jenis matematika yang cocok untuk tujuan itu
• Riset pencitraan otak tahun 2014 yang juga melibatkan Atiyah menyimpulkan bahwa pengalaman akan keindahan matematika merangsang area otak yang sama dengan musik, seni, dan puisi yang indah
• Matematika yang lahir dari penelitian tentang realitas mungkin merupakan jenis matematika yang memang disukai otak manusia

Apakah hukum fisika juga niscaya seperti teorema matematika

• Dalam makalah tahun 2023, Daniele Molinini menanggapi esai Eugene Wigner tahun 1960, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”, dengan membahas “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics”
• Jawabannya adalah bahwa sebagian hukum fisika mungkin tidak dapat dibantah, seperti teorema matematika
• Secara umum, para filsuf menganggap kebenaran matematika sebagai kebenaran niscaya yang harus benar di semua dunia yang mungkin, sedangkan fakta empiris tentang alam adalah kebenaran kontingen yang bisa saja berbeda
• Molinini menilai prinsip kekekalan bisa menjadi kandidat hukum fisika yang niscaya
  • Dalam fisika, sebagian sifat suatu sistem seperti energi atau momentum tidak berubah
  • Seorang pengendara sepeda yang menuruni bukit mengubah energi potensial gravitasi menjadi energi kinetik, tetapi total energi pengendara dan sepedanya tetap sama
• Jika kekekalan memang niscaya, itu dapat menjelaskan bagaimana Archimedes berhasil menurunkan kebenaran pembuktian geometri melalui pertimbangan mekanis

Batas pandangan bahwa alam semesta tersusun dari matematika

• Pandangan yang diungkapkan Galileo pada awal abad ke-17 dan didukung banyak matematikawan adalah bahwa alam semesta ditulis dalam bahasa matematika
• Gagasan ini memiliki asal-usul kuno yang dapat ditelusuri hingga Pythagoras dan para pengikutnya
• Mathematical universe hypothesis dari Max Tegmark lebih ekstrem
  • Alam semesta tidak sekadar dideskripsikan dengan matematika, tetapi tersusun dari matematika
  • Alam semesta kita adalah salah satu dari tak hingga alam semesta paralel, dan semua kemungkinan matematis terwujud di suatu tempat
• Mark Colyvan menilai ada keterkaitan yang intim antara ilmu empiris dan matematika, dan dari situ dapat ditarik kesimpulan bahwa dunia itu sendiri dalam suatu cara bersifat matematis
• Namun, matematika yang digunakan dalam fisika yang telah diketahui hanya mencakup sebagian sangat kecil dari keseluruhan matematika, sehingga pandangan ini saja sulit menjelaskan secara memadai mengapa matematika yang lahir dari fisika begitu luar biasa subur

Arah sebaliknya yang sulit dijelaskan dengan mapping

• Molinini menantang mapping, cara filosofis populer untuk menjelaskan keterterapan matematika
• Mapping mencocokkan konsep fisik seperti massa atau jarak dengan objek matematis seperti persamaan hukum gravitasi Newton, lalu hasil perhitungannya dipetakan kembali ke sifat-sifat fisik
• Jika proses ini dibalik untuk menjelaskan bagaimana matematika muncul dari fisika, mapping tidak bekerja dengan baik
• Selama ini para filsuf berfokus pada mengapa matematika bisa diterapkan pada ilmu empiris, tetapi kini pertanyaan tentang mengapa fisika efektif bagi matematika juga menjadi penting

Fisika dan matematika akan semakin dekat

• Yang-Hui He menilai fisika modern memberi matematikawan banyak alat baru dan petunjuk tak terduga, dan untuk memecahkan persoalan besar dalam matematika murni, kedua bidang harus bekerja sama lebih erat
• Langlands program adalah salah satu wilayah seperti itu
  • Dirancang oleh Robert Langlands pada 1960-an dan sering disebut sebagai “grand unified theory” matematika
  • Salah satu cabangnya, geometric Langlands, baru-baru ini dikabarkan terselesaikan melalui pembuktian 5 makalah sepanjang 800 halaman
  • Bagian kunci dari pembuktian itu bergantung pada wawasan dari conformal field theory, salah satu landasan teori string
• Matematikawan juga telah mencoba memanfaatkan fisika untuk membuat kemajuan pada Riemann hypothesis dan Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
• He menilai aliansi kedua bidang ini bisa menjadi kunci untuk membuka persoalan-persoalan raksasa tersebut
• Fisika dan matematika kembali mendekat menjadi hampir satu seperti pada masa Newton dan Gauss, dan sebagian alat matematika yang lebih eksotis dan canggih mungkin bahkan belum ditemukan

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Seorang fisikawan sedang berjalan pulang pada malam hari ketika melihat rekan matematikawannya menatap tanah di bawah lampu jalan, lalu bertanya, “Ada apa?” Matematikawan itu menjawab, “Aku menjatuhkan kunci.” Fisikawan itu hendak membantu dan bertanya, “Kira-kira di mana?” Matematikawan itu menunjuk ke arah sana dan berkata, “Di sana.” Fisikawan itu berkata, “Lalu kenapa tidak mencari di sana?” Matematikawan itu menjawab, “Karena di sini lebih terang.”
  Sebagai pengakuan, saya seorang matematikawan

  • Lelucon matematikawan lain: Pewawancara bertanya, “Anda berada di kantor, ada kebakaran di koridor, dan di luar jendela ada tangga darurat, tetapi jendelanya stuck sehingga tidak bisa dijangkau. Di atas meja ada palu. Apa yang akan Anda lakukan?” Fisikawan menjawab, “Saya akan memecahkan jendela dengan palu dan keluar lewat tangga darurat.”
    Pewawancara bertanya, “Kali ini situasinya sama, tetapi palunya ada di lantai. Apa yang akan Anda lakukan?” Matematikawan menjawab, “Saya akan memindahkan palu dari lantai ke meja, lalu mereduksinya menjadi masalah yang sudah terpecahkan.”
  • Ketika departemen fisika hendak membeli peralatan riset baru yang mahal, rektor marah soal pengeluaran itu dan berkata, “Kenapa kalian tidak bisa seperti para matematikawan? Mereka hanya butuh kertas, pensil, dan penghapus. Bahkan seperti para filsuf, cukup kertas dan pensil saja.”
    Lelucon yang terkait dengan tulisan ini adalah: matematikawan menghabiskan waktu merancang topologi mantel untuk orang berlengan tiga, sementara fisikawan menemukan orang seperti itu.
    Lelucon favorit saya adalah ketika anak seorang matematikawan pertama kali masuk sekolah, guru bertanya, “Siapa yang tahu berapa 1+2?” Anak itu berdiri dan menjawab, “Saya tidak tahu berapa nilainya, tetapi saya tahu bahwa dalam monoid bilangan asli, penjumlahan memenuhi hukum komutatif, jadi sama dengan 2+1.”
  • Kalau seorang pengembang perangkat lunak, ia mungkin akan menganggap yang lebih penting sejak awal adalah mencari tahu bagaimana kunci itu bisa jatuh. Dan setelah mengetahuinya, lebih efisien untuk sekadar membuat key baru.
    Sebagai pengakuan, saya seorang pengembang perangkat lunak
  • Sebenarnya ini adalah variasi dari lelucon Persia yang sangat tua tentang Mullah Nasruddin, bukan tentang matematikawan[1]
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
  • Fisikawan: “Tapi itu sama sekali tidak membuatmu lebih dekat ke jawabannya.” Matematikawan: “Belum, tetapi kalau kita menunggu cukup lama di sini, seseorang akan lewat dan menjatuhkan kunci, dan ketika kunci itu ditemukan, terbukti bahwa kunci yang hilang dapat ditemukan saat kondisi pencahayaan optimal.”
    Fisikawan menjatuhkan kunci. Matematikawan: “Eureka!”

• Pernyataan Hitchin bahwa “riset matematika tidak bekerja dalam ruang hampa” tampaknya mendekati inti persoalan. Bukan hanya fisika yang mendorong matematika yang menarik, dan hubungan seperti ini juga bukan hal yang baru muncul belakangan ini.
  Menurut pendapat saya yang sederhana, matematika adalah domain-specific language pamungkas. Ia adalah alat untuk memodelkan sesuatu, dan model itu sering kali kemudian menjadi menarik dengan sendirinya.
  Ketika kita mencoba memodelkan objek baru, misalnya konsep realitas yang baru, muncullah model yang menarik dengan cara baru atau kita menempatkan ulang model lama dalam konteks baru; karena itu diperlukan rekonstruksi, pemadatan, dan generalisasi, lalu bidangnya berkembang.

  • G.H. Hardy sepertinya akan tidak setuju.
    https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
  • Jika membaca sejarah matematika, penjelasan itu tidak terlalu bertahan. Banyak bagian matematika lahir karena seseorang mencoba-coba berbagai hal dengan angka, dan baru ratusan tahun kemudian menemukan kegunaannya dalam ilmu fisika.
  • Secara umum saya setuju. Matematika lebih mirip bahasa yang sangat teknis dan ketat, tetapi seperti bahasa lain, ia dapat mendeskripsikan objek yang kita inginkan.
    Mudah untuk berpikir bahwa matematika menggambarkan lanskap dasarnya sendiri, tetapi sebenarnya ia bekerja di atas model yang kita bagikan tentang lanskap itu. Jadi ketika kita mempertimbangkan hal-hal lain, matematika pun ikut bergerak.

• Saat kuliah, seorang dosen fisika saya pernah menyebut sepintas bahwa pembedaan antara fisika dan matematika adalah gagasan abad ke-20. Pada abad ke-19 atau sebelumnya tidak ada pembedaan seperti itu, dan pada abad ke-21 tampaknya pembedaan itu kembali menghilang.

  • “Pada abad ke-19 tidak ada pembedaan seperti itu” karena orang-orang saat itu sepenuhnya berfokus pada fisika, sementara matematika sesekali menjadi alat yang berguna. Melakukan fisika adalah tujuan sebenarnya, dan observasi adalah hakim akhir kebenaran.
    Kini pembedaan itu kabur karena alasan yang persis berlawanan. Orang-orang mengira apa pun yang dirancang dengan matematika yang kokoh pasti benar, sementara observasi tergeser ke kursi belakang.
  • Saya tidak mengerti maksudnya. Fisika pada akhirnya adalah ilmu empiris. Eksperimenlah yang menentukan teori mana yang paling baik menjelaskan dunia.
    Matematika tidak memiliki tuntutan seperti itu dan tidak perlu memodelkan fenomena alam. Dosen fisika itu terdengar seperti seorang Platonis.
  • Fisika sebagai bidang yang kita kenal sekarang pun hampir tidak ada sebelum abad ke-17. Gerak benda, astronomi, dinamika fluida, elektromagnetisme, optika, dan sebagainya ada secara terpisah atau belum ada sama sekali.
    Perkembangan mendasar kalkulus pada akhir 1600-an memungkinkan topik-topik ini disatukan di bawah satu metode penelitian dan analisis, dan itulah yang kini kita sebut fisika.
    Karena banyak bagian matematika modern juga berasal dari garis keturunan kalkulus, batas antara objek yang dimodelkan dan alat pemodelannya secara alami menjadi kabur, tetapi sepanjang periode itu pembedaan tetap ada cukup kuat. Misalnya dalam probabilitas atau aljabar, banyak peneliti memang mengejar fisika dan matematika sekaligus, tetapi mereka tahu bahwa kedua subjek itu berbeda.
  • Itu sebenarnya bukan gagasan abad ke-20, melainkan gagasan abad ke-19. Pada abad ke-19, ketika geometri non-Euklides ditemukan atau diterima, matematika terlepas dari fisika, atau fisika dari matematika.
    Pada abad ke-21 pembedaan itu tidak bisa menghilang. Sebab matematika tidak lagi terikat pada dunia fisik. Matematika adalah pekerjaan menghasilkan teorema terlepas dari apakah aksioma dan teorema itu berlaku pada dunia fisik.
    Matematika yang dipakai dalam fisika hanyalah bagian yang sangat kecil dari seluruh matematika yang mungkin.
  • “Matematika adalah bagian dari fisika. Fisika adalah ilmu eksperimental dan bagian dari ilmu alam. Matematika adalah bagian dari fisika yang eksperimennya murah.”
    — V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)

• Cobalah membuat produk perangkat lunak inovatif tanpa berbicara sepatah kata pun dengan pengguna, maka Anda akan paham mengapa fisika bagus untuk menciptakan matematika baru.

  • Apakah Anda menilai nilai sebuah teori matematika dari jumlah penerapannya, atau dari keindahan intrinsik teori itu sendiri?

• Fisika juga sangat berguna untuk machine learning, tetapi pendekatannya bisa cukup berlawanan dengan intuisi. Misalnya, message passing dan belief propagation untuk memodelkan variabel laten pada tree/graf biasanya diajarkan dengan analogi probabilitas marginal tentang jendela dan cuaca hujan, lalu persamaan Bayes/statistik dipecah menjadi subkomponen melalui aturan rantai marginalisasi
  Sebaliknya, fisikawan cenderung mengajarkannya lewat model Ising dan spin magnetik, yang merupakan analogi yang sama sekali berbeda
  Model machine learning generatif yang lebih baru juga banyak memakai pendekatan berbasis persamaan diferensial atau distribusi Boltzmann; formulasi statistiknya, seperti pada model state-space atau model berbasis energi, hampir seluruhnya dipinjam dari fisika statistik/mekanika statistik lalu dipasang ke jaringan saraf dan sistem autodiferensiasi
  Contoh terbaik mungkin adalah algoritma Metropolis-Hastings yang dibuat oleh para peneliti terkait nuklir
  https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...

  • Contoh yang akrab bagi banyak orang adalah Stable Diffusion, yang dipakai di berbagai generator gambar AI saat ini. Ada analogi antara proses dari noise acak menjadi gambar, dan proses dari distribusi acak partikel gas menuju volume partikel yang terkonsentrasi
    https://arxiv.org/abs/1503.03585
  • Contoh lain adalah model Nakano-Amari-Hopfield yang berbasis model Ising. Hopfield sendiri juga memiliki latar pelatihan fisika
  • Apa saja yang menggunakan teknik semacam itu dalam machine learning modern? Sepemahaman saya, model berbasis energi tergolong cukup jarang

• Salah satu profesor fisika saya pernah berkata, “matematika adalah fisika tanpa tujuan”
  Karena ia dulu fisikawan yang cukup sukses, mungkin saya bias

• Saya bukan jenius fisika maupun matematika, tetapi menurut saya hubungan keduanya lebih mirip siklus saling menguatkan
  Seingat saya, abad ke-20 disebut revolusioner karena perpaduan fisika dan matematika. Quaternion penting bagi teori relativitas, dan matematika diskret tersebar di berbagai bagian mekanika kuantum serta Model Standar. U(1) menjelaskan gaya elektromagnetik, SU(2) menjelaskan gaya lemah, dan SU(3) menjelaskan gaya nuklir kuat. Khususnya, massa tiga boson yang memediasi gaya lemah secara langsung mengarah pada perumusan teoretis mekanisme Higgs, yang akhirnya juga dikonfirmasi secara eksperimental
  Salah satu pencapaian besar abad ke-20 adalah ditemukannya semua grup hingga secara dapat dibuktikan, dan grup-grup semacam itu terus muncul dalam fisika
  Artikel itu mengatakan teori string mengarah pada matematika baru, dan ini benar-benar menarik. Saya skeptis terhadap teori string karena tidak ada bukti eksperimental untuk “dimensi tergulung” dan ia tampak seperti tambal sulam, tetapi tetap menarik bahwa ketika mengasumsikan teori string benar, hasil yang berguna muncul baik di fisika maupun matematika

• Apakah kita tahu apakah fisika menghasilkan matematika baru lebih baik daripada bidang lain? Misalnya, komputer juga menghasilkan banyak matematika baru, dan statistika sepenuhnya didorong oleh tekanan eksternal dari kedokteran, ilmu sosial, dan bisnis
  Keuangan dan ekonomi juga menghasilkan banyak matematika di sekitar pemodelan dan probabilitas, dan masih banyak contoh serupa lainnya

• Aritmetika itu sendiri adalah hasil dari konservasi fisik. Jika Anda punya kumpulan 4 biji ek dan kumpulan 3 biji ek, lalu menggabungkannya tanpa menjatuhkan satu pun, Anda harus memiliki kumpulan 7 biji ek
  Karena pemahaman fisik kita yang mendalam tentang ruang dan kausalitas, aritmetika sederhana terasa benar secara intuitif bagi sebagian besar, mungkin semua, vertebrata
  Jika seekor tupai setelah menggabungkan hanya mendapatkan 6 biji ek, harus ada penjelasan kausal atas perbedaan kuantitatif itu. Mungkin tupai lain mencuri satu dari tumpukan lama, atau satu jatuh ke lubang

• Kita juga perlu “pembuatan bir sangat tidak masuk akal bagusnya dalam menghasilkan statistika baru”