Cara Belajar Matematika (2017)

• Matematika tingkat universitas bukanlah mata pelajaran seperti matematika SMA yang menerapkan algoritme pada situasi yang sudah ditentukan; ia juga menuntut penilaian untuk memilih metode yang tepat berdasarkan definisi, teorema, dan pembuktian
• Definisi tidak bisa dilewati hanya dengan intuisi; kita harus memahami struktur logika dan cakupan penerapannya, memeriksanya lewat contoh dan contoh tandingan, lalu menguasai sampai ke rumusan kalimat yang tepat
• Teorema, proposisi, lemma, dan korolari menunjukkan peran dan tingkat pentingnya suatu hasil; kita harus memahami asumsi dan kesimpulan, contoh penggunaan, serta alasan mengapa asumsi itu diperlukan
• Pembuktian bukan bagian opsional dalam matematika universitas; agar bisa menerapkan teorema dengan benar, pahami dulu pernyataan teoremanya, lihat strategi besarnya, lalu isi langkah-langkah rinci yang dihilangkan
• Kemampuan menyelesaikan soal tidak cukup dibangun hanya lewat latihan berulang; kita perlu mencoba berbagai solusi, mengerjakan soal acak, dan mengembangkan penilaian untuk memilih teknik mana yang akan digunakan

---

Perbedaan matematika universitas dan matematika SMA

• Matematika SMA menghabiskan banyak waktu pada algoritme dan teknik manipulasi, dan siswa diharapkan menerapkannya pada situasi yang sudah ditentukan
• Kebiasaan belajar seperti ini saja membuat matematika universitas sulit diikuti, dan dapat menimbulkan frustrasi baik bagi mahasiswa maupun dosen
• Perbedaan besar pertama dalam matematika universitas adalah penekanan yang jauh lebih besar pada bagian yang sering disebut mahasiswa sebagai teori
  • Menyatakan definisi dan teorema secara tepat
  • Membahas proses logis yang membuat teorema berlaku
  • Membahas contoh yang menunjukkan mengapa definisi itu tepat, sekaligus cara menggunakan teorema dalam praktik
• Jika deskripsi kuliah memuat istilah rigorous, itu berarti definisi dan teorema akan dinyatakan dengan sangat hati-hati, dan untuk teorema akan diberikan pembuktian, bukan sekadar penjelasan yang terdengar masuk akal
• Cara belajar dengan membaca teori sekilas lalu langsung beralih ke soal akan menimbulkan kesulitan dalam matematika universitas
• Perbedaan kedua adalah cara menangani teknik dan soal aplikasi
  • Di SMA, sering kali satu teknik dipelajari pada satu waktu
  • Dalam matematika universitas, satu soal bisa memiliki beberapa pendekatan, dan kita harus memilih mana yang lebih baik
  • Karena itu, selain keterampilan teknis, diperlukan kebiasaan belajar yang menumbuhkan penilaian dalam pemecahan masalah

Cara mempelajari definisi

• Definisi matematika adalah kalimat yang menghubungkan suatu konsep dengan konsep yang sudah didefinisikan sebelumnya atau dengan konsep tak terdefinisi seperti number dan set, lalu membatasi dan menamainya secara tepat
• Rasa intuitif memang diperlukan, tetapi pada tingkat universitas itu tidak cukup; kita harus berhadapan langsung dengan pernyataan formal definisi dan maknanya

• Memahami secara tepat apa yang dikatakan definisi

  • Definisi bukan tempat untuk berlatih membaca cepat
  • Dalam definisi yang sudah mapan, biasanya tidak ada kata yang terbuang atau simbol yang tidak perlu; kata-kata kecil seperti and, or, if ... then, for all, dan there is menunjukkan struktur logika
  • Pertama, kita harus memahami definisi itu berbicara tentang objek dari kategori umum apa
    • Definisi polinomial berbicara tentang jenis ekspresi aljabar tertentu
    • Definisi fungsi kontinu berbicara tentang jenis fungsi tertentu
    • Definisi basis ruang vektor berbicara tentang jenis himpunan vektor tertentu
  • Setelah itu, tafsirkan apa yang harus dilakukan untuk menunjukkan bahwa objek dalam kategori umum tersebut memenuhi definisi

• Memeriksa cakupan definisi lewat contoh

  • Contoh standar berguna, tetapi dapat membuat kita berharap bahwa semua contoh akan mirip dengan contoh standar
  • Untuk memahami definisi, kita harus membuat contoh sendiri
    • Buat 3 contoh yang memenuhi definisi tetapi sebisa mungkin berbeda satu sama lain
    • Buat 2 contoh yang termasuk kategori umum yang sama tetapi tidak memenuhi definisi
    • Buktikan bahwa kelima contoh ini benar-benar bekerja sesuai maksudnya
  • Pembuktian seperti ini biasanya singkat dan hampir mengikuti struktur definisi apa adanya
  • Contoh yang kita tulis sendiri akan lebih bermakna saat mengulang pelajaran dibandingkan contoh dari buku atau dosen

• Menghafal rumusan kalimat yang tepat

  • Untuk menggunakan definisi, kita harus tahu persis apa yang dikatakannya
  • Dalam ujian, bisa saja muncul soal yang meminta pernyataan suatu definisi
  • Pengetahuan yang kokoh tentang definisi merupakan bagian besar dari keseluruhan pembelajaran, dan waktu yang digunakan untuk ini bukanlah pemborosan

Menangani teorema, proposisi, lemma, dan korolari

• Definisi benar-benar bekerja ketika saling terhubung dan terkait dengan masalah umum; bagian yang menjalankan peran ini adalah teori
• Nama yang diberikan pada hasil yang dibuktikan memberi petunjuk tertentu tentang tingkat kepentingan relatif dan cara penggunaannya yang dimaksudkan
  • Teorema adalah hasil penting yang memberi wawasan utama tentang cara suatu konsep digunakan untuk menyelesaikan masalah atau tentang cara kerja suatu mata kuliah; pembuktiannya sering kali dalam dan kompleks
  • Proposisi adalah hasil yang lebih kecil, sering menghubungkan definisi yang berbeda atau memberikan bentuk lain dari suatu definisi, dan pembuktiannya biasanya tidak serumit teorema
  • Lemma adalah hasil teknis yang digunakan dalam pembuktian teorema; ketika trik yang sama dipakai berkali-kali, ia dipisahkan agar pembuktian tidak perlu diulang
  • Korolari adalah akibat langsung dari teorema, yang memberikan kasus khusus atau menunjukkan daya tarik dan pentingnya teorema
• Jika penulis atau dosen menggunakan nama-nama ini dengan hati-hati, hal itu membantu kita memahami apa yang penting

• Memahami pernyataan teorema

  • Karena teorema menggunakan istilah yang telah didefinisikan, untuk memahami kata-kata dalam teorema kita mungkin perlu melihat kembali definisi terkait
  • Dalam struktur logika teorema, kita harus membedakan asumsi dan kesimpulan
  • Periksa apakah semua asumsi memang diperlukan, atau apakah sebagian saja sudah cukup
  • Sebagian besar teorema hanya dapat diterapkan jika semua asumsi terpenuhi
  • Untuk situasi yang tidak memenuhi asumsi, teorema tidak mengatakan apa-apa
  • Asumsi memberi tahu apa yang harus ditunjukkan agar teorema dapat diterapkan pada suatu kasus tertentu, sedangkan kesimpulan memberi tahu apa yang dikatakan teorema tentang kasus tersebut

• Memeriksa bagaimana teorema digunakan

  • Carilah contoh soal di mana teorema menyediakan teknik untuk menemukan jawaban
  • Buat soal sendiri dan tunjukkan bagaimana teorema membantu
  • Jika ini dituliskan, teorema akan tertanam lebih kuat di kepala dan lebih mudah diulang

• Memeriksa peran asumsi

  • Berguna untuk mencari contoh yang menunjukkan bahwa jika tiap asumsi dihilangkan, kesimpulannya bisa menjadi salah
  • Banyak teorema dalam kalkulus memiliki asumsi bahwa fungsi bersifat kontinu; contoh dapat menunjukkan dengan lebih jelas mengapa teorema gagal jika asumsi ini dihilangkan
  • Daftar contoh seperti ini berguna, dan buku seperti Counterexamples in Analysis dan Counterexamples in Topology diberikan sebagai contoh
  • Dalam beberapa kasus, asumsi dimasukkan bukan karena esensial bagi kesimpulan, melainkan untuk mempermudah pembuktian yang kompleks; karena itu, tidak selalu mungkin menemukan contoh yang menunjukkan bahwa setiap asumsi itu wajib

• Menghafal pernyataan teorema

  • Untuk menggunakan teorema, kita harus tahu persis apa yang dikatakannya, terutama dengan memperhatikan asumsi
  • Daripada mencoba menghafal pembuktian teorema, lebih baik memahaminya sampai kita dapat membuktikannya sendiri

Menyusun struktur keseluruhan mata kuliah

• Matematika bukan kumpulan teknik yang berantakan, melainkan satu cara berpikir sekaligus mata pelajaran yang terpadu
• Sebagian dari belajar adalah menghubungkan berbagai definisi dan teorema satu sama lain dengan benar
• Pekerjaan ini terutama penting pada akhir semester, tetapi menyadari organisasi keseluruhan selama belajar juga membantu memahami isi dan susunan mata kuliah

• Menelusuri ke belakang

  • Saat mencapai hasil penting, berguna untuk melihat hasil-hasil sebelumnya apa yang digunakan dalam pembuktiannya
  • Jika hasil-hasil sebelumnya itu ditelusuri lagi ke hasil yang lebih awal, akhirnya kita bisa kembali sampai ke definisi
  • Namun, sebagian teorema dapat diberikan tanpa pembuktian, seperti ketika pembuktian teorema nilai antara dalam kalkulus dihilangkan
  • Jika informasi ini disusun seperti silsilah hasil-hasil, kita bisa melihat sekilas bagaimana teori saling bertaut
  • Dalam contoh teorema nilai rata-rata, yang terhubung mencakup Teorema Rolle, lemma kandidat, makna tanda turunan, definisi turunan, definisi nilai maksimum dan minimum, definisi interval tertutup, aksioma batas atas terkecil, definisi kontinuitas, dan sebagainya

• Membuat ikhtisar definisi-teorema

  • Jika tiap teorema utama ditelusuri ke belakang sampai definisi, kita dapat memahami hasil mana yang diperlukan lebih dulu daripada hasil lain
  • Sebagian definisi sulit bermakna sebelum teorema tertentu dibuktikan
  • Dimensi ruang vektor baru bisa dinamai jika kita tahu bahwa angka yang dibicarakan itu unik, dan untuk itu diperlukan teorema
  • Ikhtisar definisi-teorema adalah susunan yang menempatkan setiap hasil agar diperkenalkan sebelum diperlukan dalam pembuktian
  • Ikhtisar ini harus memuat pernyataan tepat dari semua definisi dan teorema, serta sketsa pembuktian untuk tiap teorema
  • Sketsa pembuktian menunjukkan hasil sebelumnya apa yang digunakan dan bagaimana semuanya digabungkan; langkah rutin seperti penyederhanaan perhitungan atau pemeriksaan asumsi biasanya dihilangkan
  • Ikhtisar seperti ini adalah cara yang baik untuk mulai mengulang pelajaran dan menjadi bahan rujukan yang baik di kemudian hari

Cara memahami pembuktian

• Matematika tingkat universitas mengharuskan kita mengikuti banyak pembuktian, berbeda dari matematika SMA di mana pembuktian tidak ada atau bersifat opsional
• Mengikuti pembuktian adalah pekerjaan yang asing dan sulit, sehingga mungkin tidak populer

• Mengetahui pernyataan teorema terlebih dahulu

  • Jika asumsi dan kesimpulan tertukar, kita tidak tahu apa yang boleh diasumsikan dan apa yang harus dicapai sebagai kesimpulan
  • Langkah pertama memahami pembuktian adalah mengetahui persis apa yang dikatakan teorema tersebut

• Menangkap garis besar pembuktian

  • Pertama, lihat hasil sebelumnya apa yang digunakan dan apa strategi dasar pembuktiannya
  • Pada pembacaan pertama, rincian harus dilewati agar arah keseluruhan tidak hilang
  • Kebanyakan teorema berbentuk implikasi, dan struktur pembuktian yang paling mudah adalah menerima asumsi lalu menggabungkan hasil sebelumnya hingga mencapai kesimpulan
  • Pembuktian kontrapositif, reductio ad absurdum, induksi matematika, serta bentuk aksioma pilihan seperti Lemma Zorn juga dapat digunakan sebagai strategi

• Mengisi langkah rinci yang dihilangkan

  • Setelah memahami strategi, kita harus berfokus pada taktik
  • Penjelasan pembuktian dalam buku ajar sarjana dan semua penjelasan pembuktian pada tingkat yang lebih tinggi menghilangkan banyak langkah rutin
  • Jika suatu ekspresi disederhanakan, kita harus mengisi perhitungan di antara baris-barisnya
  • Jika sebuah teorema dikutip dan diterapkan, kita harus memastikan semua asumsi benar-benar terpenuhi
  • Jika sebagian diserahkan kepada pembaca, kita harus mengisi sendiri rinciannya
  • Setelah selesai, kita harus tahu mengapa setiap langkah mengikuti dari langkah sebelumnya, tetapi tidak harus tahu bagaimana pembuktian itu terpikirkan sejak awal

• Mengapa perlu belajar pembuktian

  • Bagi mahasiswa jurusan matematika, jawabannya jelas karena sebagian besar matematika terdiri dari pembuktian
  • Bagi mahasiswa yang ingin menerapkan matematika pun, pembuktian tetap diperlukan
  • Aplikasi di bidang lain kemungkinan besar tidak persis sama dengan soal aplikasi dalam buku teks matematika
  • Mata kuliah matematika tidak dapat membahas semua aplikasi yang diketahui, dan disebutkan bahwa dalam literatur matematika terbit sekitar 500 makalah aplikasi setiap dua minggu
  • Kita harus mengetahui asumsi teorema agar tidak keliru menerapkannya di tempat teorema itu tidak bekerja
  • Jika perlu, mengetahui pembuktian membantu kita melihat cara mengakali asumsi yang gagal
  • Salah satu jebakan besar dalam matematika terapan adalah mengabaikan asumsi model matematika demi kemudahan
    • Risiko ini terutama ada ketika orang non-matematika melakukan matematika terapan
    • Ketika matematikawan melakukan matematika terapan, mereka lebih mungkin terjebak membuat model yang tidak relevan dengan kenyataan
  • Banyak aplikasi terdiri dari mengenali definisi konsep matematika yang dinyatakan dalam istilah bidang lain
  • Pembuktian dapat memperjelas nuansa definisi dan bentuk ekuivalen yang tidak terduga
  • Dalam matematika, pembuktian adalah ujian akhir validitas
  • Jika proses logis pembuktian diterima, pengamatan berikutnya atau perubahan tren tidak mengubah validitas hasil matematika
  • Jika pembuktian dihilangkan dari matematika, ada kekurangan serius, dan bisa dikatakan itu bukan matematika

Cara mengembangkan teknik pemecahan soal

• Sekitar sepertiga hingga setengah dari suatu mata kuliah matematika membahas teknik
• Teknik adalah proses yang membuat teorema tidak berhenti pada bentuk umum saja, tetapi bekerja dalam situasi tertentu
• Dalam beberapa kasus, pembuktian memberikan konstruksi eksplisit sehingga kita cukup mengikutinya pada kasus khusus
• Jika beberapa pendekatan dan beberapa trik dapat diterapkan pada satu soal, seperti teknik integrasi, diperlukan penilaian

• Membaca teorema dan contoh terlebih dahulu

  • Jika pemecahan soal diperlakukan seolah-olah terpisah dari isi mata kuliah lainnya, pembelajaran menjadi lebih sulit
  • Soal sering mengikuti pola yang dinyatakan secara eksplisit dalam pembuktian teorema utama sebelumnya
  • Mengetahui pola umum lebih dulu lebih mudah daripada menemukannya lewat coba-coba

• Menguasai teknik dengan mengerjakan cukup banyak soal

  • Kita harus mengerjakan cukup banyak soal agar satu teknik benar-benar tertanam di kepala
  • Karena tanggung jawab akhir atas pendidikan ada pada mahasiswa, jika diperlukan lebih banyak soal daripada tugas yang dikumpulkan, kita harus berlatih sendiri

• Menyelesaikan soal yang sama dengan berbagai cara

  • Saat berlatih satu teknik, mudah untuk berpikir bahwa hanya ada satu pendekatan untuk suatu soal
  • Sebagian pendekatan bisa mudah dan pendekatan lain rumit, tetapi sering pula beberapa solusi bekerja sama baiknya
  • Pendekatan yang rumit menjadi latihan menyelesaikan soal yang memerlukan beberapa langkah dan beberapa teknik

• Membuat set soal acak

  • Kesulitan saat mempelajari beberapa teknik adalah kita harus memutuskan teknik mana yang akan digunakan sebelum mulai menyelesaikan soal
  • Soal dalam buku teks biasanya dikelompokkan agar menggunakan teknik yang baru saja dipelajari, sehingga dapat memperbesar kesulitan ini
  • Jika kita memilih 2–3 soal dari tiap set soal, menuliskannya pada kartu 3×5, lalu mengocoknya, kita dapat membuat set soal untuk berlatih memutuskan teknik mana yang akan digunakan

Kebiasaan belajar terakhir

• Kalimat matematika memiliki sangat sedikit redundansi, dan matematika adalah mata pelajaran yang sangat kumulatif
• Konsep yang sudah diperkenalkan sekali jarang diulang, dan kemudian diasumsikan sudah diketahui
• Kita harus menyediakan cukup waktu untuk membaca buku sebelum mengerjakan soal
• Kebanyakan mahasiswa tidak dapat menulis cukup cepat untuk menghasilkan catatan lengkap dan mudah dibaca selama kuliah
• Berguna untuk melihat kembali catatan segera setelah kuliah, lalu membuat versi akhir yang rapi dengan definisi dan teorema tertulis jelas
  • Proses ini juga membantu menemukan bagian yang belum dipahami agar bisa segera ditanyakan kepada dosen
• Jangan sampai tertinggal
• Matematika menuntut ketelitian, kebiasaan berpikir jernih, dan latihan
• Sistem kebut semalam menjelang ujian bukan hanya tidak menghasilkan nilai ujian yang diinginkan, tetapi juga memperkuat kebiasaan buruk melakukan matematika lewat hafalan, bukan pemahaman
• Tidur yang cukup dan pikiran yang jernih lebih membantu daripada menghafal pada saat terakhir

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Saya seorang doktor matematika dan juga telah menerbitkan beberapa makalah, tetapi rekomendasi saya adalah satu prinsip meta: Anda harus menikmati matematika
  Mirip dengan saat Benjamin Finegold mengatakan bahwa rahasia catur adalah menikmati setiap langkah. Secara pribadi saya tidak pernah benar-benar mengalami kesulitan dalam matematika, dan saya rasa itu karena saya memang sangat menyukai tindakan menulis simbol, mempelajari teori baru, dan membangunnya sendiri
  Tidak semua orang langsung menikmati matematika sejak awal, tetapi saya pikir setidaknya separuh dari mereka belum menemukan jalur yang jelas untuk menikmatinya. Matematika di sekolah menengah biasanya tidak diajarkan sebagai eksplorasi artistik dan logis yang keren
  Jadi sebaiknya temui mentor yang sudah menemukan jalannya, lalu minta mereka menunjukkan cara menikmati matematika. Saya benar-benar telah mengajar banyak murid yang membenci matematika dan menganggapnya sulit, dan setelah beberapa kali biasanya mulai terlihat sorot mata seperti, “Wah, ini lumayan keren juga?”
  Sebelum menerapkan logika, teknik belajar, atau trik produktivitas yang membosankan, Anda harus lebih dulu menemukan cara untuk menikmatinya

  • Salah satu masalah besar dalam pendidikan matematika adalah bahwa orang-orang yang membenci matematika mengajarkan matematika
    Mereka memandang matematika seperti menelan obat pahit atau melatih keterampilan yang rumit dan kaku, sehingga cara mereka mengajar juga canggung dan otoriter, membuat murid menjadi pasif atau memberontak
    Belakangan pemerintah Manitoba di Kanada mengubah aturan agar guru matematika tidak perlu menempuh mata kuliah matematika di universitas, dan menurut saya fakta bahwa fakultas pendidikan di universitas sangat mendorong hal ini menunjukkan betapa guru matematika membenci matematika
  • Saya paham maksudnya, tetapi menurut saya kepercayaan diri lebih penting daripada kesenangan
    Banyak orang mencampuradukkan antara menyukai sesuatu dan merasa senang karena mereka mahir melakukannya. Jadi ketika suatu bidang tidak lagi terasa mudah secara alami, mereka kemudian mengganti jurusan ke tempat yang lebih sesuai dengan kekuatan mereka
    Masalahnya adalah menyerah terlalu cepat, dan untuk mencegah itu penting membangun kepercayaan diri di tahap awal. Jika seseorang merasa dirinya tidak mampu, hampir mustahil untuk menikmatinya, jadi penguasaan dasar menjadi langkah pertama menuju kesenangan dan keberhasilan berikutnya
  • Saya penasaran tips atau kisah tentang aktivitas menyenangkan apa yang dilakukan untuk menumbuhkan rasa senang itu pada murid
    Saya bukan doktor, tetapi sudah cukup lama memberi les matematika kepada murid-murid muda, dan selalu mencari cara baru untuk menumbuhkan perasaan bahwa matematika itu menyenangkan dan menakjubkan
    Bagi banyak murid, matematika sudah tertanam sangat dalam sebagai semacam penderitaan yang nyaris tak bermakna, dan juga sangat terkait dengan rasa kurang mampu atau malu, jadi memang tidak mudah
  • Kepuasan melihat “kilau” itu di mata murid yang pada awalnya tidak termotivasi atau merasa putus asa adalah salah satu momen paling memuaskan dalam karier saya
  • Saya belajar matematika dari guru yang selalu berteriak, mengatakan kami tidak akan jadi apa-apa, dan melempar penghapus papan tulis kayu
    Bagaimana mungkin saya bisa membuat diri saya sendiri menikmati matematika?

• Saat kuliah S1, rahasia saya untuk semua mata kuliah matematika adalah mengerjakan soal
  Saya mengerjakan semua soal di akhir setiap bab buku teks, lalu mencari buku teks lain di perpustakaan dan mengerjakan semua soal akhir bab di buku-buku itu juga
  Di sekolah pascasarjana, saya memperluasnya lebih jauh lagi dengan menulis ulang semua bab buku teks sambil mengisi langkah-langkah tengah dalam pembuktian. Semua bagian yang dilewati penulis dengan “maka …” atau “jelas bahwa …” saya lengkapi sendiri

  • Saya baru-baru ini melihat lagi catatan matematika dasar dan matematika murni yang dulu saya ambil di universitas, dan pembuktiannya penuh dengan langkah-langkah yang oleh diri saya yang arogan dan terlalu percaya diri saat umur 20 tahun hanya ditulis “jelas” lalu dilewati
    Bagi diri saya sekarang yang membacanya 20 tahun kemudian tanpa konteks, itu sama sekali tidak bisa ditembus
  • Saya sudah mencoba cara itu, tetapi mengalami kesulitan besar dalam transfer pembelajaran dan mengingat definisi, dan metode-metode berikut membantu meningkatkan kemampuan saya hampir secara eksponensial
    Saya melatih definisi dasar berulang-ulang dan meninjaunya dengan spaced repetition, lalu metode catatan Cornell nyaman dipakai untuk merapikan dan meninjau materi saat kuliah
    Saya juga menulis jurnal pemikiran berisi soal yang tidak bisa saya selesaikan atau yang berhasil saya selesaikan, mengapa saya buntu, dan apa yang ternyata berhasil, dan metakognisi seperti ini berguna untuk mentransfer ke soal baru
    Kelompok belajar yang saling banyak menjelaskan juga sangat membantu
  • Pengulangan brutal dengan terpapar sebanyak mungkin soal dan solusi adalah cara kecerdasan buatan belajar
    Menurut saya itu bukan strategi optimal untuk manusia. Kita perlu membuat materi matematika yang membantu murid belajar secara analitis dan konseptual
    Seperti cara orang belajar biologi
  • Sebaiknya datang ke sesi belajar asisten dosen, dan coba juga menjawab pertanyaan saat kelas
    Bahkan kalau tidak ada yang ingin ditanyakan, Anda bisa mengerjakan PR pada waktu itu sambil mendengarkan pertanyaan orang lain
    Bukan cuma akan belajar lebih banyak, asisten dosen juga akan melihat usaha Anda sehingga kemungkinan lebih besar mereka memberi kelonggaran pada nilai parsial atau saat Anda berada di batas nilai akhir
  • Nasihat “kerjakan semua soal di akhir bab buku teks” rasanya juga tergantung bukunya, bukan?
    Misalnya, saya rasa mustahil mengerjakan semua soal di CLRS. Seorang profesor pernah memberi satu soal tentang universal hashing, dan saya butuh berjam-jam hanya untuk mendapatkan intuisi kunci bagi pembuktian yang benar
    Dengan begitu banyak prioritas yang saling bersaing, saya sulit membayangkan bagaimana orang bisa mengerjakan semua soal kecuali segelintir orang yang benar-benar berbakat

• Saat beralih dari sekolah ke universitas, hal pertama yang harus dibiasakan adalah keadaan benar-benar tersesat dan merasa kalah
  Di akhir SMA saya bisa menyelesaikan semuanya, ujian IB pun selesai dengan banyak waktu tersisa, dan sudah berbulan-bulan saya tidak melihat soal kurikulum resmi yang tidak bisa saya selesaikan
  Lalu di universitas saya menemukan soal yang bahkan saya tidak tahu hubungannya dengan kuliah yang baru saja saya ikuti dan lembar soalnya. Rasanya seperti, “Saya mengikuti kuliah ini, saya seharusnya memecahkan soal ini dengan informasi itu, tetapi saya bahkan tidak mengerti apa arti soalnya”
  Pembelajaran justru terjadi dalam proses frustrasi menghantam tembok itu. Anda membaca, membaca lagi, memenuhi catatan dengan turunan yang tidak berguna, dan akhirnya bentuknya mulai terlihat
  Di universitas, jumlah materinya begitu besar sehingga tidak mungkin seseorang menjelaskan semuanya kepada Anda dalam waktu yang terbatas. Mahasiswa harus menangkap ide intinya, lalu menghabiskan waktu sendiri untuk mengisi sisanya

  • Kalimat “Anda harus terbiasa benar-benar tersesat dan merasa kalah” itu memang sangat benar
    Di universitas saya dulu ada kursus penyegaran matematika sebelum semester dimulai, dan dimulai dari penjumlahan bilangan asli. Dalam dua hari, seluruh isi 13 tahun pelajaran sekolah diulang semuanya
    Itu proses penyesuaian ekspektasi yang brutal, tetapi membuat semua orang paham bahwa ini bukan lagi sekolah, dan bahwa dibutuhkan jenis kerja dan konsentrasi yang berbeda

• Tautan terkait:
  How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - Maret 2021, 73 komentar
  How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - Februari 2018, 148 komentar
  Bonus: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - Mei 2020, 31 komentar
  Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - Januari 2019, 227 komentar
  Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - Maret 2018, 211 komentar

• Menariknya, panduan ini mengatakan bahwa pemahaman intuitif cocok untuk matematika tingkat sekolah, tetapi tidak untuk tingkat universitas
  Sementara itu, David Bessis dalam buku terbarunya “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity” berpendapat bahwa intuisi adalah “rahasia” dalam memahami matematika di semua tingkat
  Saya tidak yakin kesimpulan apa yang harus diambil dari sini, tetapi berdasarkan pengalaman lama saya belajar matematika di universitas, intuisi adalah alat yang sangat kuat untuk mengembangkan pemahaman terhadap mata kuliah

  • Ini tampak seperti kontradiksi, tetapi menurut saya sebenarnya tidak. Intinya adalah pengalaman adalah prasyarat bagi intuisi
    Ketika siswa SMA melihat soal matematika SMA, mereka menarik intuisi pemecahan dari seluruh pengalaman matematika K-12 yang sudah dimiliki. Saat beralih ke matematika sarjana, pengalaman yang ada tidak lagi memadai sehingga mulai terasa sulit
    Diperlukan masalah yang lebih abstrak dan ketelitian yang jauh lebih tinggi, dan banyak soal juga beroperasi pada tingkat yang lebih tinggi dalam klasifikasi Bloom [1] dibanding matematika SMA. Bagi rata-rata siswa SMA, ini adalah wilayah yang hampir tidak punya pengalaman sebelumnya, jadi intuisi tidak mudah terbentuk
    Setelah pengalaman terkumpul, intuisi kembali muncul di akhir masa sarjana, sekolah pascasarjana, dan seterusnya, tetapi pada dasarnya itu adalah jenis intuisi yang berbeda. Jika di SMA intuisi yang dominan bersifat visual dan geometris, maka dalam matematika tingkat lanjut intuisi itu menjadi intuisi tentang abstraksi dan alat untuk menyerang masalah
    Ini tidak berbeda dengan programmer yang melihat sebuah masalah lalu berkata, “butuh hash map, dan setelah itu masalah ini jadi sepele”
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
  • Jika kedua gagasan itu dipadukan, intuisi yang dibawa dari tingkat SMA memang membantu untuk matematika pada tingkat itu
    Karena kita memang punya kepekaan sehari-hari terhadap objek geometris atau hal-hal seperti kurva kalkulus dua dimensi
    Di tingkat universitas, objeknya lebih abstrak sehingga intuisi sehari-hari mungkin tidak lagi berlaku. Jenis intuisi baru bisa terbentuk, tetapi itu menuntut banyak waktu untuk prosedur formal dan perhitungan, merenungkan kembali waktu tersebut, dan secara aktif menciptakan metafora baru yang dapat memunculkan intuisi
    Misalnya, seorang profesor pernah menggunakan Ice-9 dari Cat's Cradle sebagai metafora untuk menjelaskan bagaimana, jika suatu sifat lokal dibuktikan pada fungsi holomorf di bidang kompleks, maka sifat itu juga berlaku pada perilaku globalnya, dan saya masih mengingatnya sampai sekarang
  • Yang dimaksud di sini tampaknya adalah bahwa intuisi cukup untuk matematika SMA, tetapi tidak cukup untuk matematika universitas
    Bukan berarti tidak diperlukan, melainkan bukan syarat yang cukup
  • Ini berkaitan dengan tahapan ketelitian matematis dari Terence Tao
    Dalam istilah Tao, nilai intuisi menjadi jauh lebih besar pada tahap pasca-ketelitian, setelah kemampuan teknis berkembang cukup jauh
    https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
  • Saya sudah membaca buku itu, dan bagi saya pesannya kurang lebih begini: “intuisi bisa diasah dan sangat kuat, tetapi sulit ditransfer kepada orang lain”
    Bessis juga benar-benar memberi contoh bagaimana intuisi dan teknik saling melengkapi dengan baik

• Kutipan tentang Sitzfleisch yang diambil dari The Lost Cafe karya Gian-Carlo Rota sangat berkesan
  Kata Jerman Sitzfleisch berarti kemampuan untuk duduk di meja selama waktu yang seolah tak ada habisnya dan menyelesaikan pekerjaan yang berat, dan para matematikawan menganggap ini sebagai ukuran keberhasilan yang lebih baik daripada definisi bakat menarik yang kadang diajukan para psikolog
  Namun, Stan Ulam bertahan tanpa Sitzfleisch. Setelah menderita ensefalitis, ia menghasilkan ide dengan imajinasi yang tidak rusak, lalu mengandalkan Sitzfleisch milik orang lain untuk dukungan teknis
  Berkat keindahan wawasannya dan kemungkinan yang terkandung dalam usul-usulnya, para kolaborator muda dengan senang hati meminjamkan waktunya kepadanya, bahkan terkadang dengan mengambil risiko waktu itu terbuang sia-sia
  Sumbernya adalah kutipan yang saya temukan di sini: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php

  • Tulisan terkait Sitzfleisch: https://www.bbc.com/worklife/article/20180903-to-have-sitzfl...

• Dalam kasus saya, saya merasa mencapai tingkat yang benar-benar baru ketika mencoba mengerjakan sendiri semua pembuktian
  Dulu, setelah membaca suatu topik beberapa kali, saya melihat definisi dan pembuktian satu per satu, membayangkan dulu proposisinya, lalu mencoba membuktikannya sendiri. Dengan begitu, hampir semua hal yang dibahas dalam tulisan ini tercapai secara tidak langsung
  Yang menarik, setelah melakukan itu, sebagian besar soal latihan yang dulu terasa rumit berubah menjadi soal yang bisa langsung diselesaikan. Rasanya seperti cheat code sehingga hampir tidak perlu mengerjakan soal latihan
  Saat mengajar berbagai tingkat di universitas, setiap tahun saya bertanya apakah ada yang pernah mencoba memikirkan kembali pembuktian teorema di rumah, dan tidak ada satu pun. Ketika saya bilang itu seharusnya dilakukan, mereka selalu terkejut

  • Saya juga ingin mencoba ini. Jika digabungkan dengan pemahaman definisi pada berbagai unit, meski tetap perlu sedikit perakitan, rasanya seperti buku teks masuk ke dalam kepala

• Tulisan ini tidak membahas meta dari belajar matematika
  Refleksi kreatif tentang bagaimana diri sendiri belajar mulai benar-benar memberi hasil sekitar pertengahan masa kuliah
  Hubungan dengan kebiasaan sama pentingnya dengan hubungan dengan teknik. Untuk memahami “keseluruhan” dari sesuatu, kita juga perlu memahami bias apa yang membentuk cara penyajian yang sedang kita lihat sekarang. Mungkin Anda akan ingin mengupas bias itu
  Ini berlaku baik jika Anda ingin mengubah matematika maupun sekadar mempelajarinya. Sikap pasif yang hanya berusaha melakukan apa yang diinginkan orang lain adalah jalan menuju frustrasi

• Saya mendaftar ke MathAcademy.com setelah melihatnya di HN, dan pengalaman saya belakangan ini sangat menyenangkan sekaligus mengejutkan
  Sekarang saya berusia 50-an dan ingin mempelajari kembali matematika SMA yang saya pelajari 35 tahun lalu, jadi saya melaju cepat melalui seri Foundations, dan sekarang sudah sampai sekitar pertengahan Foundations 3, dengan total sekitar 9000 XP dari 9 minggu belajar 2 jam per hari
  Pada 2025 saya berencana mencoba 1~3 mata kuliah tingkat universitas dengan tempo yang lebih lambat
  Sebagai pembelajar mandiri, ini sangat cocok dengan cara saya belajar. Menyenangkan, terukur, tingkat kesulitannya bisa disesuaikan, tidak menabrak “tembok” atau “dependensi yang belum terpenuhi”, dan penjelasan untuk soal yang tidak bisa diselesaikan juga sangat menyeluruh
  Pencerahan terbesar bagi saya adalah ternyata kita bisa belajar tanpa meninggalkan banyak catatan untuk revisi dan hafalan. Pengalaman dan spaced repetition sudah cukup. Libur Natal akan menjadi ujian apakah pembelajaran ini benar-benar sudah melekat

  • Saya sudah memakai Math Academy setiap hari selama lebih dari setahun, dan saya juga terkagum-kagum melihat betapa banyak yang saya pelajari
    9000 XP dalam 9 minggu, lajunya mengesankan

• Kalimat “jangan sampai tertinggal” sangat mengena bagi saya
  Saya termasuk mahasiswa S1 matematika yang malas, yang sempat kesulitan pada beberapa topik tahun pertama tetapi tidak mencari bantuan dan juga tidak meluangkan cukup waktu, sehingga akhirnya tidak pernah benar-benar pulih
  Saya juga merasa pengajarannya sangat buruk di banyak tempat. Entah dilewati begitu saja dengan gaya “pokoknya percaya saja”, atau “ini sudah jelas, jadi penyelesaiannya saya serahkan pada kalian”, padahal untuk anak 18 tahun itu benar-benar yang terburuk
  Sistem yang memberi nilai 30% di “Analisis 1” lalu langsung mendorongmu ke “Analisis 2” pada semester berikutnya sambil berharap kamu akan sadar sendiri menurut saya bukan sistem yang layak
  Masa saya belajar matematika di universitas benar-benar menyiksa, dan mungkin saya seharusnya mengambil sesuatu yang lebih terapan seperti teknik atau ilmu komputer
  Seseorang pernah berkata, “kalau kamu suka biologi di sekolah, di universitas ambillah psikologi; kalau suka kimia, ambillah biologi; kalau suka fisika, ambillah kimia; kalau suka matematika, ambillah fisika; kalau suka filsafat, ambillah matematika”, dan seharusnya saya mendengarkannya

  • Saya setuju bahwa sistem itu berantakan. Sekolah merusak matematika
    Namun setelah menjadi orang dewasa yang sepenuhnya matang, kita selalu bisa kembali ke matematika kapan saja tanpa batas waktu yang konyol dan tekanan nilai omong kosong
    Menurut saya matematika tidak cocok dengan tekanan waktu. Matematika adalah hidup lama bersama ide, memainkannya, mengambil risiko, bahkan membuat dugaan bodoh. Pada dasarnya ini adalah permainan, dan tekanan waktu tidak membantu siapa pun
    Kalau Anda memang tertarik, Anda selalu bisa kembali lagi, dan kalau mau, bahkan bisa mengambil kelas lagi. Ada banyak komunitas belajar bersama buku-buku bagus untuk pembelajar mandiri
  • Nasihat itu nasihat yang bagus jika tujuan Anda adalah mendapatkan nilai yang baik
    Namun jika Anda ingin turun sampai ke dasar segala sesuatu, memahami semuanya, dan memecahkan pertanyaan-pertanyaan mendasar dalam sains, Anda mungkin justru ingin membalikkannya
    Jika Anda menyukai biologi, pelajarilah kimia karena proses kehidupan adalah proses elektrokimia; jika Anda menyukai kimia, pelajarilah fisika karena molekul dan atom, pembentukan dan reaksi, adalah proses fisik
  • Jika “kalau suka matematika, ambillah fisika; kalau suka filsafat, ambillah matematika”, maka tampaknya saya membuat keputusan yang benar. Saya mengambil matematika