- Masalah persegi bujur sangkar tersinggung yang diajukan Toeplitz pada 1911 adalah masalah terbuka yang menanyakan apakah setiap kurva tertutup kontinu pasti memiliki empat titik sudut sebuah persegi bujur sangkar; versi persegipanjang yang lebih mudah dapat didekati dengan topologi
- Persegipanjang muncul ketika dua pasang titik memiliki titik tengah yang sama dan jarak yang sama, sehingga jika semua pasangan titik pada kurva dipetakan ke titik di ruang 3 dimensi, perpotongan-diri berkorespondensi dengan persegipanjang tersinggung
- Seluruh pasangan titik tak berurutan secara alami menjadi Möbius strip, dan pasangan titik yang memilih titik yang sama dua kali menjadi batasnya, yang terletak pada bidang tempat kurva awal berada
- Jika Möbius strip ini digabung dengan pantulannya di bawah bidang, hasilnya menjadi Klein bottle; sifat bahwa ia tidak dapat direpresentasikan di 3 dimensi tanpa perpotongan-diri menjadi inti pembuktian keberadaan persegipanjang
- Masalah persegi bujur sangkar lebih sulit karena juga harus melacak sudut pasangan titik; berbeda dari hasil kurva mulus oleh Joshua Andrew Lobb pada 2020, kurva kasar seperti fraktal tetap menjadi masalah sulit
Masalah persegi bujur sangkar tersinggung dan masalah persegipanjang yang lebih mudah
- Kurva tertutup kontinu dapat dipandang sebagai loop yang bisa digambar tanpa mengangkat pena dan kembali ke titik awal
- Jika empat titik pada kurva menjadi titik-titik sudut sebuah persegi bujur sangkar, persegi bujur sangkar itu adalah persegi bujur sangkar tersinggung pada kurva
- Apakah setiap kurva tertutup kontinu pasti memiliki persegi bujur sangkar tersinggung adalah masalah terbuka yang diajukan Toeplitz pada 1911, dan biasanya disebut inscribed square problem
- Pertanyaan yang satu tingkat lebih mudah adalah apakah setiap loop tertutup pasti memiliki persegipanjang tersinggung, dan pembuktiannya didasarkan pada ide Herbert Vaughan
- Alih-alih mencari aplikasi yang sudah diketahui, fokusnya adalah menunjukkan bagaimana struktur pemecahan masalah dibangun saat menyelesaikan teka-teki murni
Mengubah persegipanjang menjadi perpotongan-diri dari pemetaan 3 dimensi
- Syarat agar empat titik membentuk persegipanjang dapat diubah menjadi syarat bahwa dua ruas garis memiliki titik tengah yang sama dan panjang yang sama
- Jika pusat dua ruas garis sama dan panjangnya sama, keempat ujungnya membentuk persegipanjang
- Untuk setiap pasangan titik pada kurva, informasi berikut dicatat
- Koordinat x, y dari titik tengah pasangan titik
- Jarak d antara kedua titik
- Tiga nilai ini menjadi satu titik di ruang 3 dimensi, sehingga terbentuk pemetaan kontinu dari seluruh pasangan titik pada kurva ke ruang 3 dimensi
- Jika dua pasangan titik berbeda dipetakan ke titik 3 dimensi yang sama, kedua pasangan titik itu memiliki titik tengah dan jarak yang sama, sehingga membentuk persegipanjang tersinggung
- Semua titik keluaran yang mungkin membentuk permukaan rumit di dalam ruang 3 dimensi, dan perpotongan-diri permukaan ini berkorespondensi dengan persegipanjang tersinggung
- Pada kasus lingkaran, banyak pasangan titik berkumpul ke satu titik di puncak kubah, dan lingkaran memiliki tak hingga banyak persegipanjang tersinggung
- Jika lingkaran dipipihkan menjadi elips, beberapa perpotongan tampak seperti satu garis vertikal
- Di sini perpotongan-diri bukan berarti bentuk yang tampak dari luar, melainkan “situasi ketika pasangan titik berbeda menuju keluaran yang sama”
Proses ruang pasangan titik menjadi Möbius strip
- Jika setiap titik pada loop diberi koordinat dari 0 hingga 1, maka 0 dan 1 menunjukkan titik loop yang sama, sehingga kedua ujung harus disatukan
- Dua titik berurutan dapat direpresentasikan sebagai satu titik pada persegi satuan
- Koordinat x adalah titik pertama
- Koordinat y adalah titik kedua
- Jika sisi kiri-kanan dan sisi atas-bawah masing-masing disatukan, seluruh strukturnya menjadi torus
- Dalam pembuktian persegipanjang, urutan pasangan titik tidak penting
- Jika a,b dan b,a dianggap berbeda, muncul duplikasi tak bermakna dalam syarat titik tengah yang sama dan jarak yang sama
- Karena itu x,y dan y,x harus dipandang sebagai pasangan titik yang sama
- Jika persegi satuan dilipat berdasarkan diagonal, lalu dipotong dan ditempel dengan mencerminkan identifikasi tepi, hasilnya adalah Möbius strip
- Möbius strip ini bukan bentuk mainan sembarang, melainkan ruang alami yang merepresentasikan semua pasangan titik tak berurutan pada loop secara kontinu
- Setiap titik pada strip berkorespondensi dengan satu pasangan titik tak berurutan pada loop
- Setiap pasangan titik tak berurutan pada loop juga berkorespondensi dengan satu titik pada strip
- Jika satu sisi digeser sedikit, sisi lain juga hanya bergeser sedikit, tanpa lompatan tiba-tiba
- Batas merah yang berasal dari diagonal x,x adalah seluruh pasangan titik yang memilih titik yang sama dua kali, dan dalam pemetaan 3 dimensi tadi harus menuju bidang xy tempat loop awal berada
Peran Klein bottle dalam pembuktian
- Jika memikirkan pemetaan kontinu dari Möbius strip ke permukaan 3 dimensi, batas strip harus berada pada bidang tempat loop awal berada
- Pada awalnya tampak diperlukan intuisi bahwa “batas Möbius strip tidak dapat diletakkan di bidang lalu dimasukkan ke 3 dimensi tanpa perpotongan-diri”, tetapi kalimat itu tidak benar apa adanya
- Matematikawan Asimov membuat konstruksi yang menyematkan Möbius strip ke 3 dimensi sekaligus membuat batasnya menjadi lingkaran pada bidang
- Dalam konstruksi ini, bagian dalam strip melewati baik di atas maupun di bawah lingkaran
- Permukaan yang dibuat dari pasangan titik loop memakai jarak d sebagai tinggi, sehingga semua titik interior berada di atas bidang xy
- Karena itu syarat yang diperlukan berbentuk “Möbius strip dengan batas di bidang dan interior di atas bidang tidak dapat dimasukkan tanpa perpotongan-diri”
- Jika permukaan ini dipantulkan ke bawah bidang lalu ditempelkan ke permukaan awal sepanjang batasnya, terbentuk permukaan tertutup yang merupakan gabungan dua Möbius strip
- Permukaan yang diperoleh dengan menempelkan batas dua Möbius strip dapat dipandang sebagai Klein bottle
- Klein bottle adalah contoh terkenal permukaan tak terorientasi yang tidak dapat membagi bagian dalam dan luar secara jelas
- Di 3 dimensi ia tidak dapat direpresentasikan dengan benar tanpa perpotongan-diri, sementara di dimensi yang lebih tinggi ia dapat hadir dengan lebih nyaman
- Karena Klein bottle tidak dapat menghindari perpotongan-diri di 3 dimensi, permukaan pasangan titik loop dan pantulannya juga harus memiliki perpotongan-diri
- Perpotongan-diri itu berarti dua pasangan titik berbeda memiliki titik tengah dan jarak yang sama, sehingga persegipanjang tersinggung ada
Masalah persegi bujur sangkar, kemulusan, dan peran topologi
- Untuk mendapatkan persegi bujur sangkar, selain titik tengah dan panjang dua pasangan titik, sudut ruas garis juga harus dilacak
- Jika dua ruas garis memiliki titik tengah yang sama dan panjang yang sama, serta sudutnya berbeda 90 derajat, keduanya membentuk persegi bujur sangkar
- Karena informasinya bertambah menjadi empat, arah yang alami adalah memikirkan penyematan Möbius strip dan Klein bottle di ruang 4 dimensi
- Pada 2020, Joshua Andrew Lobb memperluas hasil ini untuk kurva mulus
- Untuk kurva mulus, keberadaan persegi bujur sangkar sudah diketahui
- Hasil Lobb menunjukkan bahwa dalam kasus khusus ini, dapat ditemukan persegipanjang dengan semua rasio aspek yang mungkin
- Dalam pembahasan tersebut muncul penyematan Möbius strip dan Klein bottle di dalam ruang 4 dimensi tertentu
- Pada kurva mulus, setiap titik memiliki garis singgung yang terdefinisi dengan baik
- Ketika pasangan titik saling mendekat, titik tengah dan jarak menunjukkan perilaku limit yang rapi
- Bahkan jika sudut juga dilacak, saat dua titik makin dekat, sudut ruas garis mendekati sudut garis singgung pada titik tersebut
- Pada kurva kasar seperti fraktal, sudut mungkin tidak memiliki perilaku limit seperti itu
- Alasan masalah persegi bujur sangkar tersinggung sulit adalah karena ia harus mencakup semua kurva kasar
- Dalam topologi, bentuk seperti Möbius strip dan Klein bottle bukan sekadar objek aneh, melainkan berfungsi sebagai alat logis untuk menilai apa yang mungkin dan tidak mungkin di bawah korespondensi kontinu
1 komentar
Komentar Hacker News
Saya sangat menyukai video ini. Saya meraih PhD di topologi aljabar dan juga banyak mempelajari topologi, jadi materinya sudah akrab, tetapi saya tidak yakin apakah saya bisa menjelaskan konsep seperti ini dengan begitu jelas atau mengaitkan dunia topologi yang rumit dengan masalah yang “praktis”
Setelah PhD, saya melewati beberapa pekerjaan dan sekarang bekerja di bidang AI sebagai research software engineer. Saya sering merindukan matematika murni, dan kadang sedikit menyesal meninggalkan akademia, tetapi rasanya hampir mustahil untuk kembali ke matematika akademik. Video 3B1B selalu mengingatkan saya bahwa matematika terbuka untuk semua orang, dan bahwa meski tidak dipekerjakan sebagai matematikawan di universitas, kita tetap bisa menikmati, mempelajari, dan menemukan hal baru dalam matematika
Untuk berada di garis depan riset di bidang tertentu, mungkin memang harus bekerja sebagai matematikawan profesional, tetapi di luar itu, karena dasar-dasar matematika tidak berubah, menurut saya matematika cukup dapat diakses oleh siapa pun yang punya minat dan semangat
Saya merindukan jurusan-jurusan lama saya, dan juga masa muda ketika berada di universitas
3B1B menunjukkan apa yang mungkin dilakukan dalam pendidikan matematika. Saya menantikan masa depan bidang ini, tetapi sayang rasanya cara seperti ini tampaknya akan butuh waktu lama untuk masuk ke pendidikan matematika
Selain itu, kita menonton video ini dan belajar karena kita memang ingin belajar. Begitu menekan tombol putar, kita sudah terlibat dengan topiknya. Sebaliknya, di kelas SMA atau universitas, kebanyakan orang hadir bukan karena ingin, melainkan karena harus, dan tidak ada keterlibatan awal. Dosen juga tidak bisa langsung menegur mahasiswa di baris ketiga dari belakang yang mulai tertidur seperti dalam video
Ini bekerja sangat baik bagi orang yang ingin belajar, tetapi mungkin justru membuat orang yang tidak ingin menguasai materi itu semakin tertinggal
Pada akhirnya, tanpa kompleksitas dan notasi yang dipelajari dari metode pendidikan lama yang sekarang sedang dikritik itu, sulit membuat penjelasan yang disederhanakan sedemikian besar seperti ini. Namun mahasiswa berbakat sering kali sudah punya gambaran seperti ini di kepala mereka sehingga intuisi mereka jelas, dan untuk membantu mahasiswa yang kurang terbiasa atau kurang berbakat agar bisa mengikuti, pendekatan seperti ini sangat masuk akal
Senang melihat masalah ini dibahas lagi. Video asli tentang topik ini beberapa tahun lalu langsung membuat saya terpikat pada 3B1B
Sejak kecil saya sudah tahu tentang pita Möbius, dan di awal remaja saya juga sudah mengenal ide pembuktian eksistensi semacam fungsi kontinu pasti melewati suatu titik
Namun saya tidak pernah berpikir bahwa pita Möbius bisa menjadi lebih dari sekadar benda unik yang tidak berguna, dan sekarang saya merasa perlu meminta maaf kepadanya karena sudah terlalu meremehkannya. Perannya dalam pembuktian ini mengejutkan dan menyenangkan untuk dipikirkan
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Saya sama sekali tidak tahu matematika di luar hal-hal yang sangat dasar, tetapi materi seperti ini memikat, dan saya perlu gambar untuk memahaminya. Benar-benar video yang hebat
Saat video memperkenalkan cara memetakan 2 dimensi ke 3 dimensi, pikiran pertama saya adalah, “apakah ini cara memetakan 3 dimensi ke 4 dimensi?” Belakangan ternyata 4 dimensi memang disebutkan. Yang ini sulit divisualisasikan, dan juga sulit benar-benar dipahami
Dalam 3 dimensi pun kita bisa berpikir seperti “dua benda tidak bisa berada di tempat dan waktu yang sama”, “garis sejajar bertemu di tak hingga”, atau “garis sejajar tidak pernah bertemu”. Hanya saja, di 3 dimensi kita punya visualisasi dan intuisi, sehingga tidak perlu membongkar semuanya secara formal setiap kali
Senang melihat Lobb disebut. Beberapa tahun lalu, atau sebenarnya sudah cukup lama, saya belajar Aljabar Linear 1 dari Lobb. Ia dosen yang hebat, dan saya masih tersenyum mengingat ekspresi putus asa yang ia tunjukkan saat kami tidak memahami sesuatu
Saya merasa ada masalah mulai dari menit 4:15 di video. Sepertinya ia melompat ke kesimpulan bahwa untuk setiap titik tengah hanya ada satu jarak. Namun titik tengah itu adalah hasil memilih dua titik pada batas, dan mudah saja memilih dua titik lain yang memiliki titik tengah sama tetapi jaraknya berbeda
Bagian itu tidak langsung ditangani, dan selama 2 menit berikutnya pikiran itu terus berputar di kepala saya. Karena penjelasan terus berjalan ke arah itu tanpa menjelaskannya, saya menghentikan video, merasa mungkin saya melewatkan sesuatu, atau penonton matematika yang lebih pintar sudah menyelesaikan pertanyaan terbuka itu dalam beberapa detik dan saya tidak cukup berorientasi matematis untuk menjadi target penontonnya
Menurut saya, video edukasi yang baik adalah hasil dari proses ketika penonton uji mengangkat titik-titik seperti ini dan videonya terus dipoles, sehingga versi akhirnya tetap bagus bahkan bagi orang yang mencurigai setiap bagian
Di sini tidak diperlukan keunikan. Justru intinya adalah mengubah pencarian persegi panjang terinskripsi menjadi pencarian pasangan dua titik yang memiliki titik tengah sama dan jarak sama, dan ia mengatakan persis begitu 1 menit 15 detik setelah bagian yang kamu soroti
Namun jika didefinisikan secara visual, sangat wajar untuk salah paham seperti yang kamu lakukan. Itu karena gambarnya tampak seperti grafik fungsi yang menerima titik tengah sebagai input lalu mengembalikan jarak yang berkaitan dengan titik tengah tersebut, padahal seperti yang kamu tunjukkan, itu tidak terdefinisi dengan baik. Jika dipahami begitu, sisa videonya akan sepenuhnya kehilangan arah. Sebab sisa video didedikasikan untuk menjelaskan bahwa domain fungsi ini, jika dipandang sebagai pasangan titik tak berurutan {A, B}, menjadi pita Möbius
Pada akhirnya, jika tidak ada versi formal 100% dari suatu pernyataan, sebagian orang akan menafsirkannya berbeda dari maksudnya. Itu tidak ada hubungannya dengan seberapa pintar audiensnya. 3Blue1Brown juga tampaknya menyadari ini dan bereksperimen dengan format alternatif; video ini juga tersedia sebagai tulisan blog interaktif yang secara eksplisit menuliskan fungsi sebagai “f(A, B) = (x, y, z)” dan menjelaskan variabel-variabelnya: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“Untuk audiens yang cukup besar, bahkan jika hanya terdiri dari orang-orang yang sangat pintar, setiap penjelasan informal akan melahirkan tafsir yang berbeda-beda” adalah kesulitan inti dalam pendidikan matematika. Dalam situasi interaktif, orang bisa menghentikan kuliah dan bertanya, tetapi itu lalu menciptakan insentif untuk lebih berfokus pada formalisme, sementara waktu untuk menjelaskan visualisasi dan intuisi bisa berkurang
Untuk menjawab pertanyaan spesifiknya, ia sama sekali tidak mengasumsikan bahwa setiap titik tengah hanya memiliki satu jarak. Ia tidak mengatakan itu, dan visualisasinya juga tidak menunjukkannya demikian
Sudut pandang lain untuk melihat topologi ada dalam General Topology karya John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955
Pada himpunan bilangan real R, jika x, y ∈ R dan x < y, maka (x,y) = { z | x < z < y } adalah himpunan terbuka, dan jika x <= y, maka [x,y] = { z | x <= z <= y } adalah himpunan tertutup. Jika suatu subhimpunan dari R tertutup dan terbatas, maka ia kompak, dan ini merupakan sifat yang kuat dalam hal-hal seperti integral Riemann
Konsep-konsep semacam ini diperluas menjadi ruang topologis yang jauh lebih umum daripada garis bilangan real serta interval terbuka dan tertutup. Mungkin itu sebabnya ada kata “General” pada judul bukunya. Saat tahun keempat di jurusan matematika, saya membaca Kelley dan juga memberi kuliah kepada profesor, tetapi sekarang ada definisi-definisi lain tentang topologi
Berkat video ini saya jadi tahu apa itu topologi
Apakah ada orang lain yang merasa cemas saat menonton ini? Sepertinya masih ada sisa kecemasan seperti ketakutan akan gagal atau kecemasan overachiever
Saya punya gelar doktor matematika dan sebagian besar sudah mundur dari pengejaran akademis. Yang membuat saya bertahan sampai meraih gelar bukanlah keinginan untuk sukses atau pencapaian akademis, melainkan kecintaan pada perjalanannya. Setelah mendapat pekerjaan, untuk beberapa waktu matematika menjadi sesuatu yang gelap dan menakutkan, dan video ini terasa seperti udara segar
Semoga kamu menemukan sumber kegembiraan tempat kamu bisa mencurahkan diri. Kamu bisa berkembang dari akar seperti itu. Tidak harus pekerjaan. Bahkan, saya percaya di dasar kecemasan itu ada pasar kerja yang berbahaya. Akar saya bukan karier, melainkan keluarga pilihan saya. Dengan rasa aman seperti itu, pikiran lebih mudah mengembara, dan teka-teki seperti masalah terbuka ini pun bisa dicoba. Awalnya adalah rasa ingin tahu
Dulu di sebuah konferensi, John H. Conway pernah mengakui kepada saya bahwa pada awal kariernya ia pernah merasakan hal yang persis sama denganmu
Soal kegagalan, saya mendapat ide untuk mendekati masalah terbuka ini dan buru-buru menulis kode untuk menerapkannya pada kepingan salju Koch. Saat menuliskannya, saya melihat masalah yang jelas dalam pendekatan itu, dan kalau hanya menyebut kesimpulan tanpa konteks: saya menemukan pembagian dengan nol sebelum menulis baris kode itu. Karena tidak ada alasan apa pun ia harus berhasil, kegagalannya terasa menyenangkan, dan menemukan bug sebelum menulisnya selalu memuaskan