Semua Orang Dapat Berpikir Secara Matematis dan Merasakan Manfaatnya

• Matematikawan David Bessis melihat matematika bukan sebagai manipulasi simbol, melainkan sebagai dialog antara intuisi dan logika, dan orang-orang sebenarnya sudah melakukan cara berpikir seperti ini dalam keseharian
• Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity menghubungkan matematika dengan pengalaman batin manusia melalui apa yang terjadi di dalam kepala seorang matematikawan
• Contoh Bill Thurston, Alexander Grothendieck, dan René Descartes mendukung gagasan bahwa kemampuan matematis lebih dekat dengan latihan untuk meragukan dan mengasah intuisi daripada esensi bawaan
• Matematika sekolah cenderung berfokus pada logika dan bentuk formal, tetapi orang-orang sudah melakukan matematika yang mendalam dengan memanipulasi lingkaran dan angka di dalam kepala serta menginternalisasi sistem bilangan abstrak
• Mengembangkan cara berpikir matematis dapat menjadi teknik pengembangan diri yang membantu bukan hanya pemecahan masalah, tetapi juga kegembiraan, kejernihan, rasa percaya diri, kreativitas, dan kehidupan emosional

---

Matematika Lebih Dekat dengan Proses Tak Terlihat daripada Simbol yang Terlihat

• Alasan David Bessis tertarik pada matematika berkaitan dengan alasan banyak orang menjauh dari matematika
  • Musik bisa didengar dan lukisan bisa dilihat, tetapi matematika sebagian besar adalah proses internal sehingga tidak tampak dari luar
  • Ia merasakan daya tarik seperti sihir dalam proses yang tak terlihat ini
• Bessis menempuh program doktor matematika di Paris Diderot University pada akhir 1990-an, lalu meneliti teori grup geometris selama sekitar 10 tahun
• Pada 2010, ia meninggalkan matematika riset dan mendirikan startup machine learning
• Ia tidak berhenti pada memecahkan masalah, tetapi terus mempertanyakan bagaimana matematikawan sebenarnya berpikir dan bekerja

Cara Berpikir Matematis menurut Mathematica

• Pada 2022, Bessis menerbitkan Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity
  • Buku ini mencoba menjelaskan apa yang terjadi di dalam otak orang yang melakukan matematika
  • Pada saat yang sama, buku ini membahas pengalaman batin manusia
  • Edisi asli berbahasa Prancis diterjemahkan ke bahasa Inggris pada 2024
• Intinya adalah bahwa orang-orang terus melakukan matematika, meskipun mereka tidak menyadarinya
• Bessis memandang orang dapat memperluas kemampuan matematis mereka jauh lebih besar daripada yang mereka kira
• Kemampuan matematikawan seperti Bill Thurston dan Alexander Grothendieck juga sulit dijelaskan hanya dengan kejeniusan bawaan
  • Mereka terus-menerus mempertanyakan dan menyempurnakan intuisi mereka sendiri
  • Mereka menciptakan ide baru, lalu memverifikasi dan memperbaikinya dengan logika dan bahasa

Bolak-balik antara Intuisi dan Logika

• Bagi Bessis, matematika adalah aktivitas menyelaraskan bentuk eksternal dengan representasi internal
  • Representasi internal berkaitan dengan intuisi
  • Representasi eksternal adalah ekspresi yang logis dan formal
• Sistem formal mungkin tampak aneh dan kaku, tetapi menjadi alat untuk menguji, menyesuaikan ulang, dan memperkuat intuisi
• Matematika sekolah terutama menekankan bagian berbasis logika dari proses ini
• Bessis melihat unsur yang lebih penting adalah intuisi
  • Matematika adalah dialog antara nalar dan naluri
  • Juga dialog antara bahasa dan abstraksi
• Ia membandingkan matematika dengan praktik fisik yang dapat membaik lewat latihan, seperti yoga atau seni bela diri
  • Diperlukan untuk memasuki keadaan seperti anak kecil
  • Imajinasi dan kesalahan yang muncul dalam proses itu juga harus diterima

Matematika yang Sudah Dilakukan Semua Orang

• Bessis berpandangan bahwa orang perlu menyadari latihan matematis mereka sendiri
• Seseorang dapat membayangkan sebuah lingkaran di dalam kepala, lalu memperbesar, memperkecil, atau menggerakkannya
  • Meski tampak seperti visualisasi sederhana, ini termasuk manipulasi abstrak
• Untuk pertanyaan “berapa satu miliar dikurangi 1?”, kebanyakan orang juga langsung membayangkan jawabannya
  • Untuk mengucapkannya mungkin perlu berpikir, tetapi hasilnya sendiri muncul di dalam kepala
  • Meski bukan persepsi visual, ada sensasi kuat tentang hasilnya
• Bessis melihat ini sebagai intuisi matematis
• Kemampuan ini secara historis bukan sesuatu yang wajar
  • Menurutnya, orang yang memakai angka Romawi 2.000 tahun lalu mungkin akan sulit menjawab pertanyaan yang sama dengan mudah
  • Aritmetika yang dianggap mudah oleh manusia modern adalah hasil dari internalisasi sistem bilangan abstrak
• Matematika yang tampak mudah pun sebenarnya adalah matematika yang mendalam, dan manusia seolah telah menghubungkan dirinya sendiri untuk itu

Kejeniusan Lebih Dekat dengan Keadaan daripada Esensi

• Bessis tidak menyangkal bahwa ada orang yang sangat mahir dalam matematika
  • Ia mengatakan ada anak-anak yang bahkan pada usia 5 tahun tampak seperti matematikawan jenius
• Namun ia tidak melihat hal itu sebagai esensi bawaan
  • Kejeniusan bukan esensi, melainkan keadaan
  • Lebih dekat dengan keadaan yang dibangun saat melakukan hal tertentu
• Matematika adalah perjalanan dan berkaitan dengan plastisitas
• Ini bukan berarti matematika itu mudah
  • Bessis mengatakan matematika itu sulit
  • Pada saat yang sama, ia memandang apa pun yang dilakukan dalam hidup juga sangat sulit
• Untuk pertanyaan apakah seseorang bisa bermatematika seperti Thurston, ia menjawab tidak
  • Thurston meninggalkan catatan rinci bahwa sejak usia dini ia memutuskan untuk mempraktikkan pendidikan diri semacam ini setiap hari
  • Bessis tidak berpikir ia dapat mengejar level itu
• Salah satu alasan siswa SMA merasa tidak bahagia dengan matematika adalah karena mereka percaya bahwa matematika membutuhkan kemampuan bawaan yang tidak mereka miliki
  • Padahal ia memandang matematika sejati bergantung pada jenis kemampuan yang sama dengan intuisi yang digunakan sehari-hari

Cara Mengembangkan Cara Berpikir Matematis

• Jika terlihat ada ketidaksesuaian antara intuisi dan sesuatu yang dianggap benar secara rasional, itu menjadi kesempatan untuk memperoleh pemahaman baru
• Dari situ, proses bolak-balik dapat dimulai
  • Memastikan apakah intuisi sendiri dapat diungkapkan dengan kata-kata
  • Memeriksa apakah intuisi itu dapat ditempatkan dalam diskusi yang rasional
  • Jika masih ada ketidaksesuaian, mencoba memvisualisasikan alasannya
• Jika proses ini diulang, imajinasi perlahan direkonstruksi
• Jika terus dilakukan dengan tekun, naluri dan nalar dapat selaras dan seseorang bisa menjadi lebih cerdas
• Bessis menyebut proses ini cara berpikir matematis

Matematika Bisa Menjadi Teknik Pengembangan Diri

• Bessis berpandangan bahwa memperbaiki cara berpikir matematis dapat memberikan kegembiraan, kejernihan, dan rasa percaya diri
• Anak-anak belajar dengan cepat karena mereka selalu menjalani proses seperti ini
  • Karena dunia belum mereka pahami, mereka harus terus memperoleh pencerahan baru
  • Ia melihat bayi bahagia karena mereka memperoleh pencerahan sepanjang hari
• Bagi orang dewasa, cara berpikir ini bisa sangat lambat
• Namun jika tidak menyerah, hal-hal yang dapat dilakukan oleh intuisi bisa jauh melampaui ekspektasi
• Bessis melihat bukunya bukan hanya untuk orang yang ingin mempelajari konsep matematika, tetapi juga sebagai pelajaran hidup untuk semua orang kreatif
• Melampaui sebutan sebagai buku pengembangan diri sederhana, ia melihat matematika itu sendiri sebagai semacam teknik pengembangan diri

Latihan Kejujuran dan Kreativitas

• Matematikawan harus sangat jujur tentang apa yang tidak mereka pahami dan apa yang mereka pikirkan
• Kejujuran seperti ini mengarah pada berbagai penilaian
  • Dapat melihat bahwa suatu objek didefinisikan dengan buruk
  • Dapat melihat bahwa definisi lain bisa membuat teori menjadi lebih sederhana
  • Dapat membedakan konsep yang penting dan yang tidak
• Mengungkapkan apa yang benar-benar dirasakan diri sendiri sangat sulit dan membutuhkan latihan
• Saat melakukan matematika, proses berpikir manusia tampak dalam bentuk yang sangat murni
• Matematika bukan sekadar soal memahami, melainkan latihan untuk memahami secara mendalam, polos, jernih, dan wajar seperti anak kecil
• Bagi Bessis, matematika adalah latihan kreativitas sekaligus pijakan bagi imajinasi
• Ia mengatakan bahwa kemampuan berpikir secara matematis membantunya mengatasi kesulitan pribadi, dan memandang semua orang membutuhkan matematika juga dari sudut pandang emosional

[GN⁺]

Komentar Hacker News

• Saya setuju dengan sentimen ini. Menurut saya, budaya yang terobsesi pada bakat matematika bawaan dan kejeniusan merugikan pola pikir bertumbuh yang diperlukan untuk mempelajari sesuatu.
  Setelah dewasa, saya cukup banyak mengasah kemampuan matematika, dan dulu saya berpikir, “kalau terasa sulit, berarti saya sudah mentok dan hanya membuang waktu.” Namun kenyataannya justru hampir sebaliknya; kalau terasa mudah, bisa jadi itu karena kita sudah tahu materinya, sehingga mungkin justru membuang waktu.

  • Saya sangat percaya bahwa orang rata-rata pun, dengan waktu, dedikasi, dan fokus yang cukup, bisa menjadi unggul dalam bidang sempit apa pun.
    Penulis buku itu hanya memilih matematika yang diminatinya, dan prinsip ini sebenarnya berlaku untuk semua bidang. Sebagian orang memang tampak punya bakat bawaan, tetapi menurut saya biasanya itu lebih dekat dengan kemampuan untuk hiperfokus pada satu topik—entah matematika, Star Trek, dinosaurus, atau game konsol lawas tahun 1980-an.
    Meyakinkan anak-anak bahwa sebagian teman sebaya mereka memang “terlahir berbakat” hanya akan mematahkan kemauan mereka untuk terus mencoba. Yang perlu diajarkan kepada anak-anak adalah cara belajar; kira-kira, “kalau mengajarkan matematika, mereka belajar matematika, tetapi kalau mengajarkan cara belajar, mereka bisa mempelajari apa saja.”
  • Menurut saya, sudut pandang “bakat” pada dasarnya hanyalah versi tipis terselubung dari tindakan menendang tangga setelah naik.
    Memang benar matematika membutuhkan usaha, dan agar pemahaman benar-benar klik, diperlukan juga sejumlah pengetahuan prasyarat. Namun sikap seperti “X diserahkan sebagai latihan bagi pembaca” adalah pola pikir yang menikmati membuat hidup pembaca lebih sulit tanpa alasan.
    Dalam apa yang sering disebut “menara gading”, unsur menara itu juga berfungsi sebagai alat promosi diri dan pertahanan diri. Sebab ia menjual gagasan bahwa “peran kami esensial, dan siapa pun yang ingin mengetahui sesuatu harus melewati kami agar bisa mencapai tujuannya.”
    Misalnya, aljabar linear adalah materi yang sudah berusia puluhan tahun, tetapi dari tingkat pemula hingga lanjut, bahan kuliahnya sering kali terlalu rumit dan sulit dicerna. Namun ketika bidang machine learning naik daun, tiba-tiba muncul banyak materi yang menjelaskan topik lanjutan seperti reduksi dimensi dan dekomposisi subruang dengan jelas dan seolah-olah sepele. Yang berubah hanyalah jenis orang yang membahas topik tersebut.
  • Dalam pedagogi, ada efek yang sudah dikenal bahwa hubungan antara pembelajaran dan tingkat kesulitan tidak bersifat monoton. Jika sesuatu terlalu mudah atau terlalu sulit dibandingkan level saat ini, sulit untuk belajar secara efisien; di antara keduanya ada titik belajar optimal yang “menantang, tetapi tidak sepele dan juga tidak mustahil dilewati.”
  • Saya sulit setuju. “Semua orang bisa melakukan apa saja” hanyalah gagasan yang terasa menyenangkan. Ada orang yang, seberapa pun berlatih, tidak akan bisa lari 100 m di bawah 10 detik, dan dasar biologis kemampuan juga tidak tiba-tiba berhenti di sawar darah-otak. Otak manusia berbeda-beda.
    Saya pernah mengajar matematika kepada mahasiswa psikologi, dan ada kasus ketika mereka benar-benar tidak memahaminya. Saya juga ingat kepala jurusan frustrasi saat ada yang bertanya, “Apa itu akar kuadrat?” Tidak bisa semata-mata dikatakan bahwa semua orang sebenarnya mampu dan itu “salah gurunya”; perbedaan antara mahasiswa yang kesulitan dan yang mudah melakukannya juga harus dijelaskan.
    Musik pun sama. Meski mahasiswa konservatori belajar keras, sebagian lebih hebat, dan segelintir benar-benar bersinar. Sulit percaya pada pernyataan “semua orang bisa memainkan Rachmaninov.” Kecuali standar kemampuan matematis yang dimaksud dibuat cukup rendah, atau ada dasar yang benar-benar kuat, pernyataan “semua orang bisa” terdengar seperti omong kosong.
  • Pernyataan “kalau mudah berarti sudah tahu, jadi membuang waktu” juga bisa menjadi jebakan. Atlet profesional pun meluangkan sedikit waktu untuk latihan dasar berulang seperti lemparan bebas, menangani fly ball, atau pukulan mudah.
    Pekerjaan sehari-hari mungkin menjaga keterampilan yang mudah tetap terpakai, tetapi kalau itu keterampilan yang sudah lama tidak digunakan, tidak ada salahnya mencoba pengulangan yang mudah sebelum menggabungkannya dengan keterampilan lain dalam cara yang lebih sulit.

• Saya sedang membaca buku penulisnya, Mathematica, dan benar-benar bagus. Keunggulan bukunya tidak terlalu terlihat hanya dari judul tulisan ini.
  Penulis menunjukkan bahwa kemampuan matematika lebih dekat ke bakat olahraga daripada bakat pengetahuan. Argumennya, orang perlu belajar memanipulasi objek matematis di dalam kepala, seperti bentuk yang diputar, mesin slot, atau origami. Rasanya seperti semacam olahraga imajinasi.
  Berkat itu, saya banyak belajar ulang matematika dasar di MathAcademy.com, dan itu sangat menyenangkan sekaligus menegangkan. Sekarang rasanya saya mengalami efek Tetris dengan polinomial.

  • Pemrograman juga mirip. Saat kode baru mulai saling terpasang di dalam kepala, ada momen ketika kode tidak lagi terlihat sebagai teks biasa, melainkan sebagai struktur yang lebih intuitif.
    Kalau sudah tenggelam, tiap fungsi terasa punya bentuk dan nuansanya sendiri. Ada fungsi berbentuk kotak kecil yang rapi, fungsi besar jelek seperti bulu babi pemarah, dan fungsi lingkaran kecil tak berguna yang tidak melakukan apa-apa, lalu saya membuat catatan untuk menghapusnya nanti. Seluruh graf tampak terhubung sampai batas tertentu lewat cara data mengalir.
  • Selain bentuk yang diputar, mesin slot, dan origami, ada juga roda gigi ala Seymour Papert, manik-manik sempoa, nomogram, dan mistar hitung. Kalau ada hal lain yang terpikir, saya ingin mendengarnya.
    Saya juga penasaran apakah MathAcademy bagus. Saya sedang mempertimbangkan untuk mencobanya sekitar sebulan, tapi tidak tahu apakah kata “stres” tadi itu salah ketik atau bukan.
    Mathematica sudah saya pesan di perpustakaan lokal, dan saya tinggal melupakannya sampai suatu hari SMS kedatangan datang. Terima kasih atas konfirmasi bahwa buku itu layak dibaca.
  • Saya benar-benar ingin mencoba MathAcademy.com. Kalau belajar santai sekitar 30 menit sampai 1 jam sehari, saya penasaran seberapa cepat bisa naik dari level Kalkulus 1 ke materi tingkat lanjut.
  • Saya penasaran apakah bukunya lebih masuk ke cara praktis untuk mempelajari hal-hal seperti ini, atau nadanya mirip tulisan ini. Tulisan ini banyak berisi klise motivasional dan tidak banyak hal yang baru atau mengubah cara berpikir, jadi sulit mendapatkan sesuatu darinya.
    Kalau bukunya lebih baik dalam hal itu, saya ingin membacanya; kalau banyak cerita dan hal yang bertele-tele, saya ingin melewatkannya. Saya penasaran apa yang sebenarnya Anda dapatkan dari buku itu, dan seberapa praktis serta dapat diterapkannya terasa.
  • Sejujurnya, saya pikir mengajarkan orang memikirkan matematika sebagai “olahraga imajinasi” adalah pendekatan yang keliru.
    Alasan matematika terasa sulit adalah karena orang sulit menahan rangkaian manipulasi yang panjang di dalam kepala. Terutama saat memanipulasi objek besar yang berubah perlahan selama ratusan langkah; itu bukan karena orangnya kurang mampu, melainkan karena memang begitulah cara kerja pikiran manusia.
    Lebih tepat mengajarkan matematika sebagai aksioma dasar dan aturan manipulasi, lalu bagaimana aksioma itu dikembangkan dengan aturan tersebut. Orang harus belajar melakukan satu perubahan valid pada satu waktu, dan tentu saja itu membutuhkan banyak kerja di atas kertas dan kesabaran. Matematika adalah pekerjaan membuat kebenaran dan aturan baru dari kebenaran dan aturan.
    Saya mengajari anak saya dengan cara ini, dan ia sering bereaksi, “Cuma ini? Jadi ini hanya kerja kertas yang melelahkan?” Belakangan ia belajar algoritma dan struktur data dengan cara ini dibantu LLM. Ketika mulai dari kondisi dasar lalu membangunnya, algoritma yang tadinya tampak seperti ranah penemuan baru pun muncul secara alami dari langkah-langkah manual yang ia lakukan sendiri, lalu ia memindahkannya menjadi program.
    Kalau semua hiasannya disingkirkan, yang tersisa dari matematika hanyalah kesabaran dan kerja di atas kertas.

• Dalam matematika, formalisasi yang terlalu tergesa-gesa dipandang sebagai penyebab utama orang merasa terasing dari matematika dan merasa seperti di-gaslight. Mereduksi konsep menjadi simbol dan manipulasi atasnya seharusnya dilakukan belakangan; memperkenalkannya seperti itu sejak awal adalah keliru
  Orang seharusnya lebih dulu berbicara dengan bahasa alami yang mudah. Kepada para matematikawan yang berkata “bahasa Inggris tidak cukup presisi”, rasanya ingin saya bilang: pergilah. Kita harus belajar berjalan sebelum berlari
  Contoh yang memotivasi harus datang sebelum metode matematis, dan rumus serta pembuktian seharusnya ada di lampiran, bukan di halaman 1. Di sini, bahasa Inggris berarti bahasa alami

  • Saya sudah dewasa, telah memprogram secara profesional selama 20 tahun, dan juga mengambil jurusan terkait, tetapi karena tidak dipakai, saya kehilangan sebagian besar kemampuan matematika di atas tingkat kelas 6
    Orang yang tidak bekerja di bidang yang berdekatan dengan STEM tidak banyak memakai apa pun selain aljabar dan geometri sederhana, serta sedikit konsep dan rumus terkait keuangan. Geometri terutama berguna untuk hobi kerajinan atau proyek perbaikan rumah
    Dengan kondisi seperti ini, rasanya saya tidak akan menemukan alasan untuk melakukan integral sampai mati. Jadi meski ingin mencoba matematika lagi, kebutuhan nyata tidak menjadi motivasi. Karena tidak ada penerapannya, yang tidak membosankan hanya soal matematika rekreasional, tetapi itu pun membuat saya merasa lebih baik membaca buku atau melakukan hal lain
  • Saya justru merasakan sebaliknya. Matematika sebelum SMA lebih mirip hafalan dan pengulangan manipulasi angka tanpa motivasi
    Banyak siswa, setidaknya saya, baru pertama kali tertarik pada matematika ketika bertemu pembuktian di geometri SMA dan aplikasi nyata di fisika SMA. Gagasan bahwa matematika bisa menjadi cara bergerak dari satu kebenaran ke kebenaran lain untuk menemukan kebenaran baru terasa seperti wahyu
    Sayangnya, banyak siswa sudah tersingkir sebelumnya karena kebosanan dari latihan matematika yang tak ada habisnya. Begitu ada celah pengetahuan, sulit untuk maju kecuali celah itu ditambal. Bagi banyak siswa, semuanya berakhir di pecahan; bagi yang lain di aljabar; dan bagi yang masuk perguruan tinggi, di kalkulus
    Hanya mahasiswa matematika dan sebagian mahasiswa teknik, sains, dan ilmu komputer yang melampaui “mata kuliah matematika standar” di perguruan tinggi, lalu mengetahui hal-hal yang benar-benar menarik setelahnya
  • Matematika mengubah banyak bahasa objek menjadi satu bahasa meta, sehingga kita bisa berbicara tentang semuanya
    Dosa matematika modern adalah bahasa meta itu tidak terdefinisi dengan cukup baik, sehingga untuk menanganinya tanpa kontradiksi dibutuhkan menara perangkat lunak. Menulis ulang semuanya sebagai S-expression dan menempelkan sistem penulisan ulang term untuk pembuktian di bawah komputasi sekuensial adalah langkah awal yang sangat baik untuk meningkatkan aksesibilitas
    Jika yang ingin Anda lihat bukan apa yang dibicarakan matematika, melainkan bagaimana matematika berbicara, maka kumpulkan saja perangko
  • Saya penasaran apa sebenarnya formalisasi yang terlalu tergesa-gesa itu dan kapan terjadinya. Itu berbeda tergantung apakah yang dimaksud manipulasi formal dan mekanis, atau pembuktian dan ketelitian
    Dari posisi saya yang mempelajari matematika sampai tingkat pascasarjana, matematika SMA dan sebagian besar mata pelajaran benar-benar membosankan. Yang hilang dari pendidikan dasar dan menengah adalah konteks, sehingga menjadi membosankan. Matematika terasa mudah bukan karena saya luar biasa mahir, melainkan karena hanya sebatas mengikuti rumus secara buta dan menerapkan logika dasar
    Sebagian besar matematika tingkat dasar dan menengah adalah logika dasar; jadi ketika seseorang dengan pendidikan setingkat itu berkata “saya tidak bisa matematika” atau “saya tidak mengerti matematika”, itu berarti ia kekurangan kemampuan logika dan penalaran yang sangat mendasar
    Matematika harus diajarkan dalam konteks, bukan hanya lewat aplikasi. Pengalaman bernalar dan mengeksplorasi harus diperkaya, dan aplikasi juga harus disertakan, tetapi tidak boleh dibatasi hanya pada aplikasi. Kadang kita perlu belajar dan berpikir begitu saja, tanpa terikat pada kriteria penerapan yang arbitrer
  • Ironisnya, seabad lalu, setidaknya matematika yang lebih lanjut tampaknya diajarkan dengan cara seperti ini. Belakangan, saat mempelajari matematika baru, saya jadi bergantung pada buku ajar awal hingga pertengahan abad ke-20. Tentu saja mungkin ini bias penyintas, dan hanya buku ajar yang bagus dari masa itu yang diingat
    Saya tidak suka buku ajar baru karena terlalu disesuaikan dengan kepuasan instan. Mereka tidak menunjukkan bagaimana solusi dibangun, tetapi langsung memberi tahu cara menyelesaikan soal. Bahkan jika kemudian sedikit menjelaskan prinsip kerjanya, menurut saya urutannya benar-benar terbalik. Mereka merampas kesempatan untuk merenungkannya sendiri, memperkirakan bagaimana semuanya akan bertemu di akhir, dan mendapatkan momen “aha” di tengah jalan
    Cara ini juga memperkuat kecenderungan mereduksi matematika menjadi manipulasi simbol. Jika rumus diberikan di paragraf pertama, seluruh penjelasan setelahnya akan terpaku pada rumus itu. Notasi matematika paling baik ketika menjadi alat formalisasi dan perangkat pengingat untuk memantapkan konsep yang sudah cukup dipahami, dan paling buruk ketika dipakai sebagai kanal komunikasi utama

• Sentimen yang bagus, tetapi jelas juga bahwa banyak orang bahkan tidak mempelajari pemikiran matematis dasar dan menjadi sangat bingung. Saya penasaran apakah ada penelitian ilmiah yang mendukung klaim bahwa mereka bisa mempelajarinya dengan mudah, atau apakah ini sekadar mengarang argumen egalitarian yang cocok untuk buku matematika populer

  • Kemampuan bahasa juga sama. 21% orang dewasa di AS buta huruf, dan 54% memiliki kemampuan membaca di bawah tingkat kelas 6[1]. Angka ini lebih tinggi daripada negara maju lain. Misalnya, di Jerman 10% buta huruf, dan 32% memiliki kemampuan membaca di bawah tingkat kelas 5[2]
    Kecerdasan umum juga tampaknya menurun sejak 1970-an. Ini yang disebut efek Flynn terbalik[3], dan telah diukur di AS serta Eropa
    Memang benar sistem pendidikan dan faktor lain berpengaruh, tetapi menurut saya gagasan bahwa “semua orang bisa melakukan X” itu keliru dan berbahaya. Itu seperti mengatakan “tidak ada yang membutuhkan kursi roda” atau “semua orang bisa melihat dengan sempurna”. Manusia berbeda-beda, dan karena banyak nerd hanya bergaul dengan sesama nerd, persepsi mereka tentang masyarakat menjadi terdistorsi
    [1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
    [2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
    [3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
  • Fakta bahwa di beberapa negara, baik sekarang maupun dulu, kemampuan matematika populasi umum jauh lebih tinggi dan proporsi yang melanjutkan pembelajaran juga lebih besar, mengisyaratkan bahwa kemampuan itu bukan bawaan, melainkan tidak dipilih. Di Uni Soviet, lebih banyak waktu dicurahkan untuk pendidikan matematika, dan muncul budaya yang menganggap matematika menyenangkan
  • Individu yang sehat dan tidak memiliki masalah fungsional, dengan latihan yang cukup, bisa melakukan deadlift dua kali berat badannya sendiri. Namun kebanyakan orang tidak mencapai standar kebugaran dasar itu, karena mereka tidak meluangkan waktu untuk mencapai target tersebut
    Ada jurang yang sangat besar antara apa yang secara teoretis mungkin bagi seseorang dan apa yang benar-benar ia capai
  • Saya tidak tahu siapa yang mengatakan “bisa dipelajari dengan mudah”
  • Kita belajar cara menghafal, bukan cara berpikir. Sulit mengetahui apakah seseorang bisa melakukannya sebelum ia benar-benar mencoba berpikir

• Saya bukan guru matematika, tetapi saya menikmati matematika, dan beberapa kali membantu keluarga serta teman dalam pelajaran matematika mereka
  Sudah lama saya berpikir bahwa hampir semua orang pada dasarnya memiliki kemampuan untuk mempelajari matematika kira-kira setingkat SMA. Hanya saja, sebagian orang perlu usaha lebih besar. Kunci untuk mempertahankan usaha berkelanjutan adalah motivasi, dan banyak orang yang membenci matematika atau menganggap dirinya buruk dalam matematika hanya belum menemukan motivasi yang tepat
  Begitu motivasi muncul, materi mulai dipahami, dan mereka bisa memecahkan soal, semuanya menjadi jauh lebih mudah. Secara pribadi, terutama ketika mempelajari matematika yang sedikit lebih tinggi tingkatnya—hingga mencakup derivasi dan pembuktian tingkat rendah—saya merasa cara berpikir saya juga membaik di luar bidang matematika
  Dari membantu keluarga dan teman, saya juga belajar bahwa pendekatan untuk mulai memahami materi baru bisa sangat berbeda pada tiap orang. Sebagian orang lebih mudah lewat sudut pandang geometri atau grafik, sementara sebagian lain lebih cocok ketika sejak awal mendalami rumus. Satu cara tidak cocok untuk semua orang

  • Menurut saya, itulah salah satu hal yang coba dilakukan matematika Common Core: bahwa satu cara tidak cocok untuk semua orang. Namun bagian yang terlewat adalah bahwa siswa seharusnya boleh cukup menunjukkan satu cara dengan baik, alih-alih harus menunjukkan semua cara
  • Sudah lama saya merasa bahwa orang yang mampu membaca dan menulis setingkat SMA dalam bahasa ibunya juga memiliki kemampuan mental untuk mempelajari matematika setingkat SMA
    Dari sudut pandang pedagogi, menurut saya hambatan utama yang membuat kebanyakan orang tersandung dalam matematika bukanlah kompleksitasnya, melainkan cara mengajar yang kering. Aturan bahasa setidaknya sama kompleksnya, tetapi jauh lebih banyak orang mempelajari kemampuan bahasa setingkat SMA. Alasannya banyak, dan yang paling jelas adalah bahasa jauh lebih sering digunakan dalam keseharian

• Saya sama sekali tidak bisa disebut matematikawan serius, tetapi selama beberapa tahun terakhir ketika saya menanggapi tujuan itu dengan serius, saya belajar jauh lebih banyak daripada selama puluhan tahun saat saya menyingkirkannya karena merasa diri inferior
  Salah satu mentor yang sangat murah hati, yang mendorong saya untuk mencoba meski harus dipaksa, pernah berkata begini: “Tidak ada murid matematika yang buruk. Yang ada hanya guru matematika yang buruk, dan mereka pun pernah bertemu guru matematika yang buruk”

  • Sayangnya, saat menjadi postdoc, ada seorang matematikawan ternama yang bekerja bersama saya dan dengan nada seolah lucu menceritakan kisah ini. Ketika seorang kolega mendapat pertanyaan yang diawali “Mungkin ini pertanyaan bodoh, tapi…”, ia menjawab, “Tidak ada pertanyaan bodoh. Yang ada hanya orang bodoh”
    Jika terlalu sering bertemu orang seperti itu, dan jika orang seperti itu umum di bidang ini, mudah sekali memahami mengapa orang kehilangan semangat dan menyerah
  • Kalau begitu, bukankah semua murid yang belajar dari guru yang sama seharusnya mencapai kemampuan matematika yang sama? Saya tidak yakin apakah kenyataannya memang begitu

• Pada suatu titik dalam kurikulum, banyak anak muda bersentuhan dengan pemikiran matematika abstrak, tetapi akhirnya tidak memahaminya dan tersisih. Sayang sekali, karena di sinilah semuanya mulai melenceng, lalu kesenjangannya makin melebar setelah itu
  Berurusan dengan simbol dan persamaan rasanya seharusnya bisa diakses lebih luas. Ini hampir seperti aktivitas permainan, jadi semestinya tidak membuat orang merasa terasing
  Ini bisa jadi kegagalan para pendidik dalam mengenali jalur yang membuat otak mau menerima bentuk representasi dan manipulasi yang lebih abstrak
  Sebagai catatan, para matematikawan tampaknya tidak terlalu tertarik memecahkan masalah ini, dan banyak dari mereka sepertinya mendapatkan kesenangan kekanak-kanakan dari membuat matematika se-eksklusif mungkin. Contohnya, ada yang menolak representasi visual meski memang tidak presisi, padahal membantu membangun intuisi

  • Banyak orang tampaknya tersesat secara permanen sekitar saat operasi pecahan diperkenalkan. Mungkin ada titik-titik lain, tetapi bagi banyak orang, kira-kira di sanalah tempat paling awal mereka tersesat dan tidak pernah kembali
    Faktorisasi juga membuat banyak orang di kelas kami tertinggal. Frustrasinya besar karena itu tampak sama sekali tidak berguna, tetapi prosesnya banyak melibatkan tebakan; beberapa teman sekelas bereaksi seperti diminta menggali parit dengan sendok lalu menimbunnya lagi: “kalau begitu, matematika sana selamanya”
  • Saya tidak tahu seberapa luas fenomena ini, tetapi melihat Do Not Erase[0], tampaknya cukup banyak matematikawan terkemuka menggunakan representasi visual dalam pekerjaan mereka
    [0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...

• Menurut saya masalahnya adalah kebanyakan orang bahkan tidak pernah sampai ke bagian yang menarik. Saya ingat tidak begitu menyukai matematika sampai semester pertama di universitas, ketika belajar teori himpunan, mendefinisikan sistem bilangan dari awal, lalu berlanjut ke monoid, grup, ring, dan seterusnya
  Mendefinisikan dari awal itu benar-benar memuaskan

  • Menariknya, reaksi saya hampir kebalikannya. Saya bukan matematikawan, tetapi begitu semuanya menjadi definisi, mata saya justru sayu. Dalam banyak kasus tidak jelas mengapa definisi itu diperlukan, dan definisinya tampak terlalu rumit
    Butuh waktu, tetapi sekarang jauh lebih baik. Saya mulai menerimanya seperti permainan kecil yang aturannya kurang lebih saya tahu. Sekarang saya mengakui bahwa matematikawan sering mengkhawatirkan abstraksi semaksimal mungkin atau kasus tepi patologis yang aneh. Berkat itu, saya bisa menelusuri kompleksitasnya tanpa merasa kewalahan seperti dulu
  • Setuju. Banyak bagian yang menarik juga tersembunyi di balik istilah yang secara historis kabur. Namun saya juga sepakat bahwa menulis penjelasan yang mudah didekati adalah keterampilan tersendiri yang sulit dan membutuhkan keahlian
    Setelah memahami sesuatu, sangat sulit untuk kembali ke pola pikir saat belum memahaminya dan menemukan penjelasan yang membuat idenya “klik”. Menurut saya banyak matematika jauh lebih mudah daripada kelihatannya, tetapi sering kali tidak ada penjelasan yang memudahkan orang menangkap gagasan intinya
    Misalnya, saya ingin menulis explorable[0] yang menjelaskan notasi posisi berbasis bilangan untuk suatu basis bilangan bulat dengan cara yang bisa diikuti anak yang bisa membaca jam. Sepertinya perkalian juga bisa diajarkan bersamaan
    Intinya adalah membayangkan penghitung yang bentuknya seperti jam analog. Ada angka 0 sampai 9 serta tombol +1 dan -1, dan ia bisa menghitung dari 0 sampai 9. Jika 1 ditambahkan ke 9, ia kembali ke 0, jadi untuk mengatasinya kita menempelkan penghitung kedua. Setiap kali penghitung pertama berputar satu putaran penuh, penghitung kedua dinaikkan 1. Karena satu putaran penghitung pertama adalah 10 langkah, satu langkah pada penghitung kedua berarti 10 langkah. Jika penghitung kedua juga ingin menghitung 10 langkah, tinggal tambahkan penghitung ketiga
    Lalu pertanyaan alaminya adalah apa yang terjadi jika angkanya lebih sedikit daripada 0 sampai 9. Jika 0 sampai 7, itu oktal; jika 0 dan 1, itu biner; angka yang lebih banyak bisa ditambahkan dengan huruf alfabet, dan seterusnya
    Ini adalah representasi yang sangat fisik dari notasi posisi desimal, dan membuatnya mudah dihitung serta diikuti. Konsep tingkat lanjut seperti “basis” atau “pangkat” tidak diperlukan, tetapi kemudian menjadi abstraksi yang mudah dibangun di atasnya
    Saat bertanya kepada teman-teman yang punya anak, biasanya anak-anak bisa membaca jam pada usia 4–6 tahun, dan sekitar usia 8 tahun semuanya bisa menghitung sampai 100. Secara teori, dengan pendekatan ini, pada usia itu mereka tampaknya sudah bisa memahami gagasan biner dan heksadesimal
    Menariknya, tulisan itu juga mengatakan bahwa berkat notasi posisi, hampir semua orang dewasa bisa langsung menjawab “berapa 1 miliar dikurangi 1?”
    [0] https://explorabl.es/
  • Jika tertarik pada ilmu komputer, saya penasaran apakah Anda pernah melihat kursus Software Foundations dari UPenn. Kursus itu mengikuti pendekatan serupa, membangun berbagai prinsip dan konstruksi matematika yang menarik dari dasar. Dan tidak berhenti di sana, tetapi berlanjut sampai metode formal untuk analisis dan verifikasi perangkat lunak
    https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
  • Sangat setuju. Di SMA, banyak hal didefinisikan secara samar. Saya ingat baru benar-benar memahami apa itu “f o g” setelah mempelajari definisi monoid
    Limit dan turunan pun, jika mendapatkan definisi yang tepat, membuat semua rumus dan teorema yang dipakai di SMA bisa diturunkan dengan cukup mudah. Di SMA kami kebanyakan hanya menghitung dan bernalar sederhana, tetapi di universitas kami membuktikan semuanya. Saya suka perubahan sudut pandang itu
  • Di universitas, saya mengambil Logika Formal II karena sekaligus memenuhi persyaratan jurusan ilmu komputer dan filsafat. PHIL 104 juga tercantum sebagai MATH 562, karena profesor yang mengajar Logic I bisa mengajarkan apa pun yang ia inginkan di mata kuliah lanjutannya
    Secara formal saya mengambil prasyaratnya, tetapi kenyataannya itu mata kuliah logika ilmu komputer dasar, jadi saya benar-benar kewalahan. Namun itu salah satu kelas paling menyenangkan yang pernah saya ambil di universitas
    Kami menerima teks persis soal ujian akhir beberapa minggu sebelumnya, dan boleh menyiapkan apa saja, termasuk bekerja sama dengan mahasiswa lain atau bertanya kepada profesor lain. Para profesor lain pun umumnya tidak begitu paham. Tujuannya adalah menjawab 1–2 dari 10 soal, dan meski tidak bisa pun setidaknya mendapat B+
    Andai ingatan saya lebih baik, tetapi salah satu soal yang berhasil saya jawab sepertinya adalah membuktikan teorema Post menggunakan mesin Turing. Saya tidak pernah memakai lagi pengetahuan dari kelas itu, tetapi masih teringat sampai sekarang. Saya ingin mempelajari lagi titik temu yang memikat antara filsafat dan ilmu komputer itu
    Bagian terbaiknya adalah perpaduan antara matematika yang sulit dan pertanyaan metafisik yang pelik tentang matematika yang banyak praktisinya benci karena dianggap melemahkan pekerjaan mereka. Jika masuk sedalam itu, kita sadar bahwa tidak mungkin tidak bersinggungan dengan topik yang lebih membuat kepala pusing

• Di SMA, pada dasarnya yang dilatih hanyalah matematika terapan, terutama agar mahir kalkulus. Itu pun sebagian besar hanya “memasukkan nilai”, dan pekerjaan seperti itu bisa dengan mudah diotomatisasi dengan Mathematica
  Ketika masuk universitas dan mengambil teori bilangan serta aljabar abstrak, saya terkejut mendapati matematika itu indah sampai sulit dijelaskan. Baru setelah mengambil analisis real saya melihat bahwa kalkulus pun punya sisi yang tidak tampak seperti buang-buang waktu
  Suatu hari saya kembali ke SMA dan dengan bersemangat bertanya kepada Andrew Merrill, mentor ilmu komputer saya saat itu, mengapa ia tidak memperkenalkan teori grup kepada saya. Jawabannya adalah SAT. Karena materi seperti itu tidak muncul di SAT, tidak ada alasan untuk mengajarkannya

  • Setidaknya pada awal 2000-an, kalkulus tidak muncul baik di SAT standar maupun ujian Math Subject II[0]
    Kalkulus diajarkan karena merupakan prasyarat untuk teknik dan fisika, dan karena setelah perlombaan luar angkasa hal itu dianggap penting
    [0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
  • Memang tidak ada di SAT, tetapi perlu juga dipikirkan mengapa tidak ada
    Di Kanada pun hingga tahun pertama universitas ada kurikulum serupa yang berpusat pada kalkulus, dengan sedikit aljabar linear disisipkan. Alasannya karena kalkulus diperlukan dalam teknik, fisika, sebagian bidang kimia dan biologi, statistik, sebagian bidang ekonomi, dan sebagainya
    Di masyarakat, matematika terutama adalah alat. Saya mengatakan ini sebagai orang yang mengambil matematika murni dan berfokus pada aljabar serta teori bilangan. Bagi mayoritas siswa, kegunaan praktis memang inti utamanya. Berbeda dari sains atau humaniora, matematika memiliki lapisan abstraksi yang sulit dinikmati tanpa perancangan kerangka yang disengaja

• Saya ingin mengatakan, “Bodoh, masalahnya ekonomi.” Kelonggaran mental juga merupakan sumber daya. Kebanyakan orang tidak mempelajari matematika bukan karena tidak mau, melainkan karena tidak bisa
  Jika dalam survei orang ditanya apa yang akan mereka lakukan bila diberi pendapatan dasar yang menanggung semua pengeluaran dan kebutuhan, saya rasa banyak yang akan memilih penyempurnaan diri atau seni. Berlatih dan belajar matematika juga termasuk keduanya

  • Saya setuju bahwa jika seseorang stres dan memiliki kebiasaan psikologis yang buruk, ia akan merasa menderita dan sengsara dalam situasi apa pun
    Dalam hal ini, berfokus pada mindfulness seperti vipassana bisa sangat membantu. Namun mindfulness bukan latihan intelektual, melainkan sesuatu yang benar-benar harus dijalani. Jika bermeditasi beberapa jam sehari, dalam beberapa bulan Anda akan sampai ke tempat yang baik
  • Saya rasa eksperimen seperti itu sudah dilakukan saat Covid. Banyak orang tinggal di rumah dan menerima uang, kadang hingga 2 tahun. Saya penasaran berapa banyak musisi baru yang masuk nominasi Grammy setelah itu, apakah ada wajah baru di Oscars, atau apakah MOMA memamerkan penulis yang sebelum pandemi bekerja sebagai barista
    Setidaknya dari anekdot di sekitar saya, justru banyak orang yang anaknya bertambah
  • Sulit bagi saya untuk setuju. Saya melihat seni pada umumnya sama seperti hiburan. Saya ingin pandai matematika, dan saya juga tidak setuju bahwa itu berkaitan dengan kelonggaran mental
    Karena ini bukan kompetisi, saya tidak perlu lebih pandai matematika daripada orang lain, tetapi upaya lain seperti kriptografi, algoritma yang lebih baik, dan pemahaman fisika dibatasi oleh pemahaman matematika saya yang masih primitif
    Jika saya seorang jutawan, bersantai di rumah tepi pantai sambil mempelajari banyak matematika pada waktu luang akan menjadi salah satu hal yang saya kejar
  • Pendapatan dasar untuk aktualisasi diri sepertinya bagus. Saya jadi membayangkan karya-karya hebat seperti apa yang akan dibuat orang jika pasar tidak membuat kita terorganisasi di sekitar perangkat lunak yang buruk
  • Ada yang mengatakan agar kita melihat kenyataan. Jika semua kebutuhan terpenuhi, akan jauh lebih banyak orang yang duduk bermabuk obat dan bermain gim video daripada yang menyelesaikan karya seni